定積分的簡單應(yīng)用——求體積

1、（北師大版）選修22：定積分編寫教師：焦旭利14.2定積分的簡單應(yīng)用定積分的簡單應(yīng)用(二)復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：（1）求曲邊梯形面積的方法是什么？（2）定積分的幾何意義是什么？（3）微積分基本定理是什么？引入：引入：我們前面學(xué)習(xí)了定積分的簡單應(yīng)用——求面積。求體積問題也是定積分的一個重要應(yīng)用。下面我們介紹一些簡單旋轉(zhuǎn)幾何體體積的求法。1.簡單幾何體的體積計算簡單幾何體的體積計算問題：設(shè)由連續(xù)曲線和直線，及軸圍成的平面圖形（如圖甲）繞軸()yfx?

2、xa?xb?xx旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，如何求？VV分析：在區(qū)間內(nèi)插入個分點，使，把曲線[]ab1n?0121nnaxxxxxb?????????（）分割成個垂直于軸的“小長條”，如圖甲所示。設(shè)第個“小長()yfx?axb??nxi條”的寬是，。這個“小長條”繞軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個厚度是1iiixxx????12in??x的小圓片，如圖乙所示。當(dāng)很小時，第個小圓片近似于底面半徑為的小ix?ix?i()iiyfx?圓柱。因此，第個小圓

3、臺的體積近似為iiV2()iiiVfxx???該幾何體的體積等于所有小圓柱的體積和：V2221122[()()()]nnVfxxfxxfxx?????????這個問題就是積分問題，則有：22()()bbaaVfxdxfxdx??????（北師大版）選修22：定積分編寫教師：焦旭利3223330012|33aaVaaydyaya????????????A類型二：求組合型幾何體的體積類型二：求組合型幾何體的體積例2：如圖，求由拋物線與直線及

4、所圍成的圖形繞軸旋28(0)yxy??60xy???0y?x轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積。思路：思路：解答本題可先由解析式求出交點坐標。再把組合體分開來求體積。解：解：解方程組得：28(0)60yxyxy????????24xy?????與直線的交點坐標為28yx??60xy???(24)所求幾何體的體積為：26220264112(8)(6)1633Vxdxxdx?????????????規(guī)律方法：規(guī)律方法：解決組合體的體積問題，關(guān)鍵是對其構(gòu)

5、造進行剖析，分解成幾個簡單幾何體體積的和或差，然后，分別利用定積分求其體積。練習(xí)2：求由直線，直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體2yx?1x?xx積。解：解：旋轉(zhuǎn)體的體積：1204(2)3Vxdx?????類型三：有關(guān)體積的綜合問題：類型三：有關(guān)體積的綜合問題：例3：求由曲線與所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。212yx?2yx?x思路：思路：解題的關(guān)鍵是把所求旋轉(zhuǎn)體體積看作兩個旋轉(zhuǎn)體體積之差。畫出草圖確定被積