第2節(jié)-定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 (1)

1、第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,一、平面圖形的面積,1.直角坐標(biāo)情形,面積元素:,,,,,面積,(1) 由連續(xù)曲線 y = f (x) ( f (x) ? 0), 直線 x=a, x=b (a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積,若f (x)有正有負,則曲邊梯形面積為,,,,,,,面積元素:,(2) 由連續(xù)曲線 y=f(x), y=g(x), 直線 x=a, x=b (a<b)所圍成的平面圖形的面積:,,,一般地，,及y軸圍

2、成的平面圖形的面積為,一般地，,及y軸圍成的平面圖形的面積為：,一般地，,解,先求兩曲線的交點,面積元素,選x為積分變量,,,,,,例1,,,例2,圍成的平面圖形的面積.,,,解,由對稱性,,交點,,,解,兩曲線的交點,,,,例3,,,,此題選y為積分變量比較好,,,選擇積分變量的原則：,(1)積分容易；(2)盡量少分塊.,解,例4,有時需要把邊界函數(shù)參數(shù)化.,解,橢圓的參數(shù)方程,由對稱性知總面積等于第一象限部分面積的4倍,,,例5,

3、解,例6,345頁,,,,,,面積元素,曲邊扇形的面積,2.極坐標(biāo)情形,扇形面積公式,,解,例7,解,例8,解,例9,,,旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．,,,,圓柱,圓錐,圓臺,二、體積,1. 旋轉(zhuǎn)體的體積,,a,b,,,,,,,,,,,,,體積元素:,旋轉(zhuǎn)體的體積為,,,直線OP的方程為,解,例1,例2,,解,例3,解,利用圓面積,例4,解,下面再補充介紹一個方法.,上例:,,套筒法:

4、,解,例5,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:,可看作平面圖OABC與OBC分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:,可看作平面圖OABC與OBC分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.,或用“套筒法”:,2. 平行截面面積為已知的立體的體積,解,建立坐標(biāo)系如圖,,截面面積,所以立體體積,例6,垂直于 x 軸的截面為直角三角形,,,,,,,,,,,三、平面曲線弧長,并依次連接相鄰分點得

5、一內(nèi)接折線，,則稱此極限為曲線弧AB的弧長. 此時稱弧為可求長的.,定理(弧長公式),證,在第三章“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”中弧微分一節(jié)知,,即得證.,推論1,,推論2,證,解,例1,例2,解,例3,解,例4,解,的弧長.,練習(xí)：,P279 習(xí)題6-21. 2.(1)(3) 3. 5.(1)(2) 6. 7. 8.(1)12. 13. 14. 15