晶體幾何學(xué)

1、現(xiàn)代材料研究方法,緒論,材料：你們最關(guān)心的是什么？性能：你認(rèn)為與哪些因素有關(guān)？結(jié)構(gòu)：有哪些檢測分析技術(shù)？,,俄歇電子,(二次電子):二次電子中部分電子的能量具有和特定元素相對應(yīng)的特征值,能測得的具有特征值的俄歇電子僅限于來自試樣表面二,三層的原子,第一章、晶體幾何學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié)、晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,1、晶體 ：外觀上晶體常具良好的幾何多面體外形。本質(zhì)上說， 晶體是內(nèi)部質(zhì)點在三維空間作規(guī)則排列的物質(zhì)。即具有長程有序。如水晶，NaCl等

2、。,鄰苯二甲酸氫,冰洲石的菱面體晶體,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,鍺酸鉍,晶體規(guī)則的幾何外形是晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)規(guī)律性的外在反映,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,2.常見晶體結(jié)構(gòu)類型?常見單質(zhì)的晶體結(jié)構(gòu)Fcc: 金,銀,銅,鋁,鎳,鉑,?-鐵等Bcc: 鎢,鉬,鉻,釩,鈮,鉭,?-鐵

3、,?-鈦,鈉,鋰等Hcp: 鎂,鋅,?-鈦,?-鈷等金剛石型結(jié)構(gòu):金剛石,硅,鍺等?常見化合物的晶體結(jié)構(gòu)NaCl型:MgO,VC,NbC,TiC,ZrC,NiO,PbS,TiOCsCl型:ZnO,?-AgCd,?-CuZn,?-AlFe,FeCo,NiAl閃鋅礦型:ZnS,BeS,CdTe,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,3. 空間點陣：由各類等同

4、點在三維空間排列構(gòu)成的表示晶體結(jié)構(gòu)中物質(zhì)分布周期規(guī)律的三維幾何圖形。即表征晶體結(jié)構(gòu)中原子排列周期性的一種幾何圖象.,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,紅球：氯離子 藍球：鈉離子,氯化鈉晶體中，氯離子是一類等同點，鈉離子是另一類等同點。由Na+和Cl-各自組成面心立方晶格，是兩個面心立方結(jié)構(gòu)套構(gòu)組成，屬于復(fù)式結(jié)構(gòu)。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

5、 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,等同點：在晶體結(jié)構(gòu)中的種類相同，分布位置或周圍環(huán)境也相同的一類點. 等同點必須具備的兩個條件：位置或質(zhì)點種類相同；質(zhì)點周圍環(huán)境相同,晶體中所有的質(zhì)點的重復(fù)規(guī)律－－在空間上呈格子狀。這種結(jié)構(gòu)圖形就是空間格子,空間點陣示意圖空間點陣可由單胞重復(fù)排列而得,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,空間點陣的要素：

6、A、結(jié)點：空間點陣中的點是抽象的幾何點，它代表晶體結(jié)構(gòu)中的原子、分子等相同點。只有幾何意義,并不是具體的質(zhì)點。B、行列：結(jié)點在直線上的排列。它相當(dāng)晶體上的晶棱或晶向。 C、面網(wǎng)：結(jié)點在平面上的排列。它相當(dāng)于晶體上的晶面。面網(wǎng)之間的間距稱為面網(wǎng)間距。D、單位點陣（平行六面體）：空間點陣中的一個最小重復(fù)單元。它相當(dāng)于晶體結(jié)構(gòu)中的單位晶胞（單胞）。E、點陣參數(shù)或晶體常數(shù)：坐標(biāo)系統(tǒng)晶軸：一般A軸左右、B軸前后、C軸直立。度量單位：

7、晶軸上的結(jié)點間距（點陣周期）a, b , c晶軸夾角：α,β,γ。晶體常數(shù)是一種晶體最重要的參數(shù)之一。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,晶體除了微觀結(jié)構(gòu)的周期性外，每種晶體還有其特殊的宏觀對稱性在結(jié)晶學(xué)中能反映晶體的周期性，又能反映其對稱性的特征，通常不一定取最小的結(jié)構(gòu)單元作為重復(fù)單元，而是按對稱性特點選取其結(jié)構(gòu)單元，通常是最小單元的幾倍，稱為結(jié)晶學(xué)原胞或簡稱

8、晶胞，一般而言，晶體的原胞和晶胞有習(xí)慣選取方法，上圖為立方晶系的三種結(jié)構(gòu)：簡立方、而心立方和體心立方的結(jié)構(gòu)及原胞選取示意圖。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點陣,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點陣,ZnS型(立方型),晶格：面心立方,配位比：4:4,(紅球－Zn2+ , 綠球－S2-),

9、晶胞中離子的個數(shù)：,CaF2的結(jié)構(gòu)：坐標(biāo)（x, y, z），z垂直紙面。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點陣,由兩種原子構(gòu)成的復(fù)雜面心立方結(jié)構(gòu)；,?：Ca原子坐標(biāo)（四個）,000、,,、,、,,,?： F 原子坐標(biāo)（八個）,沿z向上1/4， z層：a、b、c、d,,,,沿z向上3/4， z層：a、b、c、d,,,,,結(jié)論：?空間點陣表明了晶體物質(zhì)的一個最根本性質(zhì)

10、-----周期性?一個晶體物質(zhì)，無論其內(nèi)部結(jié)構(gòu)多么復(fù)雜，都只有一種空間點陣,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣,晶體是具有格子構(gòu)造的固體，因此所有晶體也有它們所共有的格子構(gòu)造所決定的性質(zhì)。A.自限性：晶體具有自發(fā)的形成規(guī)則幾何外形的特征。不同晶體學(xué)平面作為表面時會因原子排列密度、鍵性質(zhì)的不同而造成不同的表面能，熱力學(xué)原理造成晶體會盡可能以低表面能的晶面作為表

11、面。B.均勻性：晶體不同部分的宏觀性質(zhì)相同，反映了晶體性質(zhì)的平移特性。因為晶體的具有格子構(gòu)造的固體，在晶體的各個不同部分質(zhì)點的分布與排列都是一樣的。,第二節(jié).晶體性質(zhì),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié) 晶體性質(zhì),AA方向，H＝45，小刀可刻動。BB方向，H＝65，小刀不能刻動。,C.異向性（各向異性）：晶體的物理性質(zhì)隨觀測方向而變化的現(xiàn)象稱為各向異性。晶體的性

12、質(zhì)因方向不同而有差異。這是因為晶體在不同的方向上質(zhì)點的排列方式不同而決定的。晶體的很多性質(zhì)表現(xiàn)為各向異性，如壓電性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、磁學(xué)性質(zhì)及熱學(xué)性質(zhì)等。例如：石墨的電導(dǎo)率，當(dāng)我們沿晶體不同方向測其電導(dǎo)率時，得到方向不同而石墨的電導(dǎo)率數(shù)值也不同的結(jié)果。 如蘭晶石在不同的方向上硬度有很大差異。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié) 晶體性質(zhì),D.對稱性：晶體中相等的晶面、晶

13、棱、角頂以及晶體的物理化學(xué)性質(zhì)在不同方向或位置上有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)。晶體的宏觀性質(zhì)一般說來是各向異性的，但并不排斥晶體在某幾個特定的方向可以是異向同性的。晶體的宏觀性質(zhì)在不同方向上有規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為晶體的對稱性。 晶體的對稱性反映在晶體的幾何外形和物理性質(zhì)兩個方面。實驗表明，晶體的許多物理性質(zhì)都與其幾何外形的對稱性相關(guān)。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

14、第二節(jié) 晶體性質(zhì),E. 最低內(nèi)能與固定熔點：實驗表明：從氣態(tài)、液態(tài)或非晶態(tài)過渡到晶體時都要放熱，反之，從晶態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷B(tài)、液態(tài)或氣態(tài)時都有要吸熱。表明：在相同的熱力學(xué)條件下，與同種化學(xué)成分的氣體、液體或非晶體相比，晶體的內(nèi)能最小。即在相同的熱力學(xué)條件下，以具有相同化學(xué)成分的晶體與非晶體相比，晶體是穩(wěn)定的，非晶體是不穩(wěn)定的，后者有自發(fā)轉(zhuǎn)變?yōu)榫w的趨勢。 晶體具有固定的熔點。當(dāng)加熱晶體到某一特定的溫度時，晶體開始熔化，且在

15、熔化過程中保持溫度不變，直至晶體全部熔化后，溫度才又開始上升。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié) 晶體性質(zhì),對稱的普遍性：自然界中，植物、動物、建筑物的外形等。對稱定義：對稱是物體上相等的部分有規(guī)律地重復(fù)。對稱的必要條件：1·物體上有相等的部分；2·這些相等的部分有規(guī)律地重復(fù)（通過操作，如旋轉(zhuǎn)、反映、反伸使相等部分重復(fù)）。,第三節(jié)、晶體

16、的基本對稱性,一、對稱的概念,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對稱性,晶體對稱的特點 晶體的對稱則是由其內(nèi)部的格子構(gòu)造所決定的，因此，晶體對稱有其特點：1.所有的晶體都是對稱的，只要是晶體，就具有格子構(gòu)造，格子是對稱的。這是晶體對稱的普遍性。2.晶體的對稱是有限的，晶體對稱受格子構(gòu)造的規(guī)律所限制，只有符合格子構(gòu)造的對稱才能在晶體上反映出來。3.晶

17、體的對稱不僅表現(xiàn)在形式上，還表現(xiàn)在物理化學(xué)性質(zhì)上。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對稱性,對稱是晶體結(jié)構(gòu)的基本特性之一。 對稱操作：如果一個物體經(jīng)過一定的動作后，其位置，形態(tài)相對觀察者來說沒有變化，稱此現(xiàn)象為規(guī)律重復(fù)。使得物體沒有變化的動作稱為對稱操作（或稱對稱動作、對稱變換、對稱運用）。在對稱動作中所憑借的幾何元素（點、線、面）稱為對稱元素（或?qū)ΨQ要素）

18、晶體外形上可能存在的對稱要素: 對稱面、對稱軸、旋轉(zhuǎn)反伸軸、旋轉(zhuǎn)反映軸、對稱中心,,二、晶體的對稱操作及對稱要素,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對稱性,1.對稱面（m） 通過晶體中心的假想平面，把晶體分為互為鏡象反映的兩個部分。相應(yīng)的操作是對平面的反映。對稱面必通過晶體幾何中心，且垂直平分某些晶面、晶棱，或包含某些晶棱。 晶體中有的沒有

19、對稱面，最多的有9個對稱面。,,,菱方晶系的3個對稱面,立方晶系中的9個對稱面a）垂直晶面和通過晶棱中點，并彼此互相垂直的3個對稱面。b）包含一對晶棱，垂直斜切晶面的6個對稱面,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對稱性,?宏觀對稱操作,2·對稱軸（Cn） 通過晶體中心的一根假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)一定的角度后，可使晶體上的相等部分重復(fù)，或者說晶

20、體重合。 對稱軸的操作是繞直線旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)重復(fù)的最小旋轉(zhuǎn)角為基轉(zhuǎn)角α，旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)重復(fù)的次數(shù)稱為軸次n。兩者之間的關(guān)系是：n=360°/α。一般旋轉(zhuǎn)軸記為Cn(國際符號記為n,n=1,2,3,4,6),,,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對稱性,,?宏觀對稱操作,不可能使五邊形互相連接充滿整個平面,如圖所示，不難設(shè)想，如果晶體中有n=5的對稱軸，則垂

21、直于軸的平面上格點的分布至少應(yīng)是五邊形，但這些五邊形不可能相互拼接而充滿整個平面，從而不能保證晶格的周期性。,晶體中不可能出現(xiàn)5次軸及高于6次的對稱軸。這是由于它們不符合空間格子構(gòu)造規(guī)律。只有1、2、3、4、6次五種對稱軸才能按空間格子中結(jié)點分布要求構(gòu)成面網(wǎng)網(wǎng)孔，不留間隙地排滿整個平面。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對稱性,?宏觀對稱操作,3·對稱中心

22、（i） 對稱中心是晶體中心一個假想點，通過此點，任意直線的等距離兩端必定出現(xiàn)對應(yīng)點。對稱中心的操作是對此點的反伸（過此點作任意直線，則在該直線上距對稱中心等距離的兩端必定出現(xiàn)晶體上的相等部分)。,晶體可以有對稱中心，也可能沒有對稱中心。若晶體存在對稱中心，它必定與幾何中心重合。晶體若有對稱中心，其所有晶面必定兩兩平行，大小相等，方向相反。,由對稱中心聯(lián)系起來的呈反向平行的相等晶面,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

23、 第三節(jié) 晶體的基本對稱性,?宏觀對稱操作,4·旋轉(zhuǎn)反伸軸（倒轉(zhuǎn)軸） 旋轉(zhuǎn)反伸軸是通過晶體中心的一根假想直線，晶體繞此直線旋轉(zhuǎn)一定的角度后，再通過中心倒反，可使晶體上的相等部分重復(fù)。操作:旋轉(zhuǎn)+反伸。Li1=i Li2=m Li3=L3+i Li6=L3+m,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對稱性,

24、需要特別引起注意: Li6的對稱特點雖與L3+P相當(dāng),但Li6是六次對稱,其對稱程度要高于三次,不能替代. 與對稱軸情況一樣，倒轉(zhuǎn)軸也只可能有1、2、3、4、6五種軸次。,?宏觀對稱操作,1.平移 將晶體結(jié)構(gòu)（或空間點陣）平行移到與原來環(huán)境完全相同的位置，這種對稱操作稱為平移。2.螺旋旋轉(zhuǎn) 繞一固定軸旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)(360o/n)角度后，接著平移t方能得到規(guī)律重復(fù)。這種復(fù)合對稱操作 稱為螺旋旋轉(zhuǎn)。3.

25、滑移 憑借一個平面施行反映之后，再平行于該面施行平移t，而使晶體結(jié)構(gòu)圖形得到規(guī)律重復(fù)，這種對稱操作稱為滑移。滑移操作中的反映面 稱為滑移面，或滑移對稱面。,?微觀對稱操作,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第三節(jié) 晶體的基本對稱性,第四節(jié)、晶系與布拉菲點陣 不同晶體的點陣參數(shù)是不同的。盡管自然界的晶體有幾千種，但根據(jù)這些點陣參數(shù)的特點，可以把空間點陣歸類為七個晶系：

26、,立方晶系(等軸晶系) 正方晶系(四方晶系)六方晶系菱形晶系(三方晶系)正交晶系(斜方晶系)單斜晶系三斜晶系,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點陣,根據(jù)結(jié)點在單胞中的分布，單位點陣有 簡單（原始）點陣（P）： 結(jié)點均在角頂上 底心點陣（C）： 除角頂外每一對面上各有一個結(jié)點 體心點陣（I）： 除角頂外中央有一個結(jié)點面心點陣（F）： 除角頂外每個面

27、上均還有一個結(jié)點,根據(jù)點陣參數(shù)的特點和結(jié)點的分布，所有晶體空間點陣的種類有14種。它們是法國晶體學(xué)家布拉菲總結(jié)出來的，故亦稱為布拉菲點陣。,單胞中結(jié)點的數(shù)目：　　　　簡單（原始）點陣： 1 底心點陣： 2 體心點陣： 2 面心點陣： 4,簡單點陣 : 1 ［［000］］,體心點陣: 2 [000] [1/2 1/2 1/2 ],底心點陣:2 [000] [1/2 1/2 0 ],

28、面心點陣: 4[000] [1/2 1/2 0][1/2 0 1/2] [ 0 1/2 1/2],第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點陣,七大晶系與14種布拉菲點陣,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第四節(jié) 晶系與布拉菲點陣,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

29、 第四節(jié) 晶系與布拉菲點陣,?定義點對稱操作的集合所構(gòu)成的群即點群.點群以高度的數(shù)學(xué)抽象方式表述了實際晶體的點對稱性.?點群的用途及推導(dǎo)方法晶體結(jié)構(gòu)的許多固體物理學(xué)性質(zhì)的對稱性都與其所對應(yīng)的點群有關(guān).晶體或其他物體所具有的點對稱性可以通過點群符號簡潔的描述出來.根據(jù)這些符號人們可以知道其全部點對稱性,即點群符號可以對應(yīng)著晶體或物體的全部點對稱性。,第五節(jié)、晶系與32點群,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

30、 第五節(jié) 晶系與32點群,7個晶系的劃分和32晶體學(xué)點群,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第五節(jié) 晶系與32點群,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第五節(jié) 晶系與32點群,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第五節(jié) 晶系與3

31、2點群,滑移面: 亦稱象移面, 是一種復(fù)合的對稱要素。其輔助幾何要素有兩個：一個假想的平面和平行此平面的某一直線方向。相應(yīng)的對稱變換為：對于此平面的反映和沿此直線方向平移的聯(lián)合，其平移的距離等于該方向行列結(jié)點間距的一半。,第六節(jié)、微觀對稱與空間群,晶體微觀對稱的主要特點 在晶體構(gòu)造中，任何一個對稱要素有無窮多個相同對稱要素和它平行。出現(xiàn)了一種在宏觀對稱中不可能出現(xiàn)的對稱操作——平移操作。從而出現(xiàn)了其特有的對稱要素：平移

32、軸和滑移面。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對稱與空間群,滑移面為一假想平面，對此平面反映，并平行此面的某一方向移動一定距離，可使相等部分重復(fù)（亦可先平移再反映）滑移面是復(fù)合操作（平移+反映）對稱面m，滑移面a，b，c表示沿X、Y、Z軸方向滑移該軸上結(jié)點間距的一半?；泼鎛和d是沿兩個任意晶軸的交角的平分線方向滑移，稱距為（a+b）/2或者（c+b）/2、（a+c）/2，

33、d滑移面（為金剛石型滑移）移距為（a+b）/4或者（c+b）/4、（a+c）/4,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對稱與空間群,平移軸：為一直線方向，相應(yīng)的對稱變換為沿此直線方向平移一定的距離。對于具有平移軸的圖形，當(dāng)施行上述對稱變換后，必可使圖形相同部分重復(fù)，亦即帶個圖形復(fù)原。在平移這一對稱變換中，能夠使圖形復(fù)原的最小平移距離，稱為平移軸的移距。,螺旋軸: 是一種復(fù)合的對

34、稱元素。其輔助幾何要素為：一根假想的直線及與之平行的直線方向。相應(yīng)的對稱變換為圍繞此直接旋轉(zhuǎn)一定角度和沿此直線方向平移的聯(lián)合。,各種對稱軸和螺旋軸對比二次軸有兩種：二次對稱軸(2)和二次螺旋軸(21)。2l可以這樣理解，2為軸次(螺旋軸基轉(zhuǎn)角α=180°)，以右下方的角碼1做分子，軸次做分母，表示二次螺旋軸的移距t=1／2T。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀

35、對稱與空間群,三次軸有三種：三次對稱軸(3)，右旋三次螺旋軸(31)和左旋三次螺旋軸(32)。31：表示右旋(逆時針)時向上的移距，t=1／3T；32表示逆時鐘旋時，向上移距，；t=2／3T(順時針左旋時向上的移距仍為1／3T)。四次軸有四種：四次對稱軸(4)，右旋四次螺旋軸(41)，中性四次螺旋軸(42),左旋四次螺旋軸(43)。螺旋軸中，當(dāng)逆時鐘右旋時向上的移距分別為1／4T、2／4T和3／4T。42為雙軌中性螺旋軸。即在垂

36、直螺旋軸的同一層面網(wǎng)上，有兩個結(jié)點同時旋轉(zhuǎn)(d=90°)和滑移(t=2／4T=1／2T)，經(jīng)過兩個晶胞(2T)在一周內(nèi)復(fù)原而形成雙軌螺旋。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對稱與空間群,螺旋軸根據(jù)其基轉(zhuǎn)角α，分為二、三、四和六次螺旋軸。每一種螺旋軸又可根據(jù)其移距t，與平行該軸的結(jié)點間距T的相對大小分為一種或幾種：對稱軸可以視為螺旋軸的移距t=0者。螺旋軸的國際符

37、號ns，n為螺旋軸的軸次(n只能等于1、2、3、4和6)，s為小于n的自然數(shù)。螺旋軸有21；3l；32；41；42：43；61；62；63；64、65共11種。一次螺旋軸實際上只是一個簡單的一次對稱軸，無特殊意義。,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對稱與空間群,空間群,晶體結(jié)構(gòu)中一切對稱要素的組合稱為空間群。共有230種。晶體對稱型與空間群之差異，即是否有平移操作。

38、點群無平移的原因: A、晶體幾何外形是有限的，平移操作是不能成立 B、對稱型中所有對稱要素都必須是共點。 C、晶體外部對稱上所不能存在的滑移面和螺旋軸等微觀上特有的對稱要素。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對稱與空間群,空間群的符號 包含了空間格子類型, 對稱元素及其相互之間的關(guān)系。國際符號分兩個部分：前半部分是平移群的符號，即布拉維格子

39、的符號，按格子類型的不同而分別用字母P、R、I、C、F等表示之。后半部分則是其他對稱要素之集合的符號，類似于點群符號的表達, 但有的被微觀對稱要素取代。,空間群的國際符號,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對稱與空間群,1) 垂直紙面方向的對稱元素；2) 從左至右(y方向)的對稱元素；3) 由上到下(x方向)的對稱元素。,1 2

40、 3,1 2 3,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第六節(jié) 微觀對稱與空間群,第七節(jié)、晶面指數(shù)和晶向指數(shù),晶面坐標(biāo),一個空間點陣的晶面或晶向的，為表示晶面和晶向空間點陣中的相對位置，人們設(shè)計了晶面指數(shù)和晶向指數(shù)。較常用的是由英國晶體學(xué)家米勒1839年設(shè)計的，故亦稱米勒指數(shù),1、晶面指數(shù)晶面指數(shù)確定的方法：A、量出

41、待定晶面在三個晶軸的截距，并用點陣周期a, b, c度量它們。 B、取三個截距的倒數(shù) 1/1 , 1/2 , 1/3C、把它約簡化為最簡的整數(shù)h, k, l, 并用小括號括起來，就構(gòu)成該晶面的晶面指數(shù)（h k l）。,,,,,,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù),,,,,,,,1,1/1,(100),1,1,1,1,(110),1,1,1,1,1,1,(111

42、),1/2,1,2,1,(210),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù),,,,,｛111｝晶面族中的晶面組,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù),★ 六方系的四軸坐標(biāo)系：標(biāo)準(zhǔn)定向以6次軸為c軸，2個2 次軸為a軸和 b軸。6個柱面屬同一平面族，但指數(shù)為,,,,,,,,,,,,,,,四軸坐標(biāo)系

43、6個柱面指數(shù)為,三軸指數(shù)[uvw] 與四軸指數(shù)[uvtw]之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù),A、當(dāng)晶面交于晶軸的負端時，對應(yīng)的指數(shù)就是負的，并將負號標(biāo)在數(shù)字的上面。B、晶面指數(shù)中第一、二、三位分別代表與A、B、C軸的關(guān)系，它們之間不能隨意變換。C、一個晶面指數(shù)實際上是代表某個方向上的一組面，而不是一個面。D、當(dāng)晶面指數(shù)中某個位置上的指數(shù)為

44、0時，表示該晶面與對應(yīng)的晶軸平行。如（100）(001） 。,2、晶向指數(shù)晶向指數(shù)表示某一晶向（線）的方向。晶向指數(shù)的確定方法：A、過坐標(biāo)原點找一條平行于待定晶向的行列。B、在該行列中任選一個結(jié)點，量出它在三個坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)值（用a, b, c度量）C、將它們化為簡單的整數(shù)u, v, w，并用方括號括起來，便構(gòu)成晶向指數(shù) [uvw]。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶

45、面指數(shù)和晶向指數(shù),1/2,1,0,1,2,0,0,0,0,0,1,1/2,-1,0,1,-2,0,1 1 1,1,1/2,0,2,1,0,1 1 1,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第七節(jié) 晶面指數(shù)和晶向指數(shù),第八節(jié)、倒易點陣1. 倒易點陣的概念 倒易點陣是由晶體點陣（正點陣）按一定對應(yīng)關(guān)系建立的與其相聯(lián)系的另外一個假想空間點陣。倒易點陣是與

46、正點陣相對應(yīng)的量綱為長度倒數(shù)的一個三維空間（倒易空間）點陣，它的真面目只有從客觀存在的性質(zhì)及其與正點陣的關(guān)系中才能真正了解 。,2. 倒易點陣中單位矢量的定義 設(shè)正點陣的原點為O，基矢為 ，倒易點陣的原點為O*，基矢為 ，則有式中V為正點陣中單胞的體積.表明某一倒易基矢垂直于正點陣中和自己異名的二基矢所成平面。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

47、 第八節(jié) 倒易點陣,倒易基矢和正空間基矢之間的關(guān)系,,,,O(O*),a,b,c,,,,,,,,,,,(010),,(100),,(001),,C*,,a*,,b*,,f,,y,,w,由：a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·b = 0 a*·a = b*·b = c*·c

48、= 1,可導(dǎo)出：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點陣,V和V*分別為正空間的體積和倒易空間陣胞的體積。,由,有：,a, b, g分別是兩個矢量的夾角；a,b,c倒易點陣的方向如前所定義的。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點陣,和,有：,因此倒易空間的陣胞體積和正空間的陣胞體積

49、互為倒數(shù)關(guān)系。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點陣,因此有：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點陣,面ABC與3個軸的交點分別為A，B，C，截距為a/h, b/k, c/l, 則：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

50、第八節(jié) 倒易點陣,在倒易點陣中，由原點O*指向任意坐標(biāo)為（hkl）的陣點的矢量度g hkl （倒易矢量）為：ghkl = h a* + k b* + l c*,所以矢量ghkl與(hkl)面垂直，與面法線平行。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點陣,式中（h,k,l）為正點陣的晶面指數(shù)，上式表明：　　 倒易矢量ghkl垂直于正點陣中相應(yīng)

51、的（h,k,l）晶面，或平等于它的法向N hkl 。倒易點陣中的一點代表的是正點陣中的一組晶面。倒易點陣就是與正點陣中所有（hkl）面組相對應(yīng)的倒易矢量的集合。,③倒易矢量的長度等于正點陣中相應(yīng)晶面間距的倒數(shù)，即,ghkl =　1/ dhkl,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點陣,正點陣和倒點陣的幾何對應(yīng)關(guān)系倒易點陣中的一個點代表正點陣中的一組晶面,,正點

52、陣,倒點陣,,,,,,,,,,,,,,,,,（111）,,,,,（021）,,,,,,（011）,o,c,b,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,100,010,001,011,111,021,101,110,020,120,121,102,002,012,022,112,122,000,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

53、 第八節(jié) 倒易點陣,例：在a，b軸組成的平面中畫出單斜晶系晶系的倒易空間與正空間的對應(yīng)關(guān)系（假設(shè)c軸垂直與紙面，a=0.4nm，b＝0.8nm），并在圖中標(biāo)出(100), (010), (110)三個晶面在正空間和倒易空間的位置？,,,a (nm),b (nm),,,,0.4,0.4,,,0.8,0.8,,,a* (nm-1),b* (nm-1),,1nm-1,,,,,,,(100),(010),,,,,,,,,a (O*),(1

54、10),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第八節(jié) 倒易點陣,第九節(jié)、晶帶、晶面間距和晶面夾角,1、晶帶與晶帶定律：在空間點陣中，所有平行于某一直線的一組晶面的組合稱為一個晶帶?；蛘哒f交線相互平行的一組晶面的組合稱為一個晶帶。這一直線就稱為晶帶軸，它用晶向指數(shù)來表示。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,晶帶

55、定律： 已知一個晶面 (hkl) 和它所屬的晶帶[uvw]，從很容易得到二者之間的關(guān)系：hu+kv+lw=0，通常把這個關(guān)系式稱為晶帶定律。,晶帶定律給出了晶面與晶向之間的關(guān)系，它如果晶向[uvw]包括在晶面(hkl)中，二者就滿足這個關(guān)系式。有了這個關(guān)系，我們就可以根據(jù)已知的晶面或晶帶來求得另外一些晶面或晶帶。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,晶面（h

56、kl）的法線向量為矢量g，故有：,晶向L可表示為：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,晶帶定律的應(yīng)用1)已知兩晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，求交線[uvw]。h1u+k1v+l1w=0h2u+k2v+l2w=0u：v：w=(k1l2-k2l1):(l1h2-l2h1):(h1k2-h2k1),當(dāng)：,因此有：,2)已知兩晶帶[u1v1w1]和[u2v2

57、w2]，求晶面指數(shù)(hkl)。hu1+kv1+lw1=0hu2+kv2+lw2=0h:k:l=(v1w2-v2w1):(w1u2-w2u1):(u1v2-u2v1) 例 已知兩晶帶[010]和[001]，求二者決定的晶面。h0+k1+l0=0h0+k0+l1=0h:k:l=(1×1-0×0):(0×0-1×0):(0×0-0×1)=1:0:0晶面[100],2、

58、晶面間距的計算　　　　晶面間距(面網(wǎng)間距)指兩個相鄰晶面間的垂直距離。對晶面(hkl), 一般用d(hkl)來表示其晶面間距。一般的規(guī)律是，在空間點陣中，晶面的晶面指數(shù)越小，其晶面間距越大，晶面的結(jié)點密度越大，它的X射線衍射強度越大，它的重要性越大。晶面間距在X射線分析中是十分重要的。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,若已知某個晶體的晶體常數(shù)a、b、c和α、β、γ，

59、根據(jù)解析幾何原理，很容易推導(dǎo)出計算晶面間距的公式。,立方晶系,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,根據(jù)倒易矢量g*與面間距的關(guān)系：,可知：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,正方晶系,斜方晶系,所以：,3、晶面夾角的計算 若已知某晶體上兩個晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，可以求二者

60、之間的夾角 (晶面法線的夾角 )。立方晶系的公式 ：,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第九節(jié) 晶帶、晶面間距和晶面夾角,第十節(jié)、晶體投影 借助二維圖形表示三維晶體及點陣等圖形中直線、平面的取向及它們之間的相互配置情況，稱晶體投影。 晶體學(xué)中用保角投影。 球面投影： 引入?yún)⒖记?，晶體置于球心，將各直線或平面平移至過球

61、心再投影。 直線：延長，交球面于一點，跡點。 平面：擴展至球面交成一大圓，圓為該平面的跡線。 法線延長，交球面于一點，點為該平面的極點。,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,球面上任一點P′的位置用球坐標(biāo)表示。記為P′（ρ，φ），ρ為極角，φ為輻角。,角度測量：（經(jīng)緯線網(wǎng)） 以球心為圓心，球直徑為直徑， 經(jīng)

62、線：過N、S的一組大圓； 緯線：平行赤道的平面與球面相交而成的一組小圓，圓心均在N、S軸上。,,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,極射赤面投影：為便于使用，球面投影以極射赤面投影的保角變換形式變換成平面投影。以赤道平面為投影平面，上半球S極為投射點，以⊙或?表示，下半球N極為投射點，以?或 － 表示,,,,,,,,,P″點在投影基圓的位

63、置為：,為投影基圓半徑；?為P′的極角,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,1）與投影面平行的水平小圓投影為基圓的同心圓2）任意傾斜的小圓投影為小圓3）與投影面垂直的小圓為小圓弧。,球面上水平小圓的極射赤平投影,球面上傾斜小圓極射赤平投影,球面上直立小圓的極射赤平投影,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

64、 第十節(jié) 晶體投影,4）球面上大圓的投影，水平大圓投影為基圓，與投影面垂直的大圓投影為直線。5）傾斜大圓投影為大圓弧，大圓法線投影點為該大圓的極點。P為大圓BAC的極點，因此大圓極點與大圓弧上任意一點的角距都為90°，,直立大圓的極射赤平投影,傾斜大圓的極射赤平投影,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,表示極射面投影圖上極點的位置

65、以及測量極點間的夾角關(guān)系的一種坐標(biāo)網(wǎng)，稱烏氏網(wǎng)。烏氏網(wǎng)就像地球的經(jīng)緯線，由刻劃在參考球上的網(wǎng)絡(luò)投影而來。取參考球一直徑NS為南北極，通過球心O'并垂直于NS的大圓為赤道，平行于赤道大圓的一系列等角距離的平面與參考球相交形成緯線，通過NS軸等距離平面形成經(jīng)線。,吳氏網(wǎng),第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,極氏網(wǎng),若以赤道平面上一點為投射點，投影面平行

66、于NS軸就得到如圖所示的烏氏網(wǎng)；若以N或S為投射點，而投影面平行于赤道平面，則得到如圖所示的極網(wǎng)。烏氏網(wǎng)和極網(wǎng)的基圓直徑可做成任意尺寸，其網(wǎng)格的角間距多為2° 。,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,二極點間的夾角測定： 轉(zhuǎn)動投影圖，使二極點處于同一經(jīng)線大圓（包括基圓）或赤道上，二點間緯度差或赤道上經(jīng)度差即為極點間夾角，

67、如圖所示。,極點間夾角的測量,,(b),(c),(a),,,,,,,,,,,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,求與已知極點成等夾角的軌跡：轉(zhuǎn)動投影圖使已知極點P位于烏氏網(wǎng)的赤道線WE上，在P點兩側(cè)求出二等角距點Q、R、PQ=PR=某確定角度（如30°），以QR為直徑作圓（圓心P'），此小圓即為與P點成30°角的點的軌跡。若夾角

68、較大（50°），使Q、R中之一點落于基圓之外，則可過P點作一經(jīng)線大圓，在P點二側(cè)的大圓上求出與其夾角為50°的二點M、T，將其與赤道上的一點共三點求圓P“，此圓即為欲求的軌跡。,求與極點成等夾角點的軌跡a)軌跡在正面時 b)部分軌跡在背面時,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié) 晶體投影,轉(zhuǎn)動軸垂直于投影面：軸的投影即為基圓圓心，只需將極點P在

69、它所在的圓周上向指定方向轉(zhuǎn)過預(yù)定的角度ψ到達P’即可（如圖所示）。轉(zhuǎn)動軸平行于投影面：軸的投影為基圓直徑，轉(zhuǎn)動投影圖，使轉(zhuǎn)動軸與烏氏網(wǎng)的NS軸重合，待轉(zhuǎn)動的點沿它所在的緯線向指定方向轉(zhuǎn)動預(yù)定的角度（如圖中A1→A2）若需轉(zhuǎn)至投影圖背面，則應(yīng)用不同符號標(biāo)明（如圖B1→B1’ )。,極點平行于投影面的軸轉(zhuǎn)動,極點繞垂直于投影面的軸轉(zhuǎn)動,第一章 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 第十節(jié)