基于幾何學的數(shù)學建模

1、1,數(shù)學建模理論與實踐,—— 基于幾何學的數(shù)學建模,2,基于幾何學的數(shù)學建模,一、幾何優(yōu)化模型二、普通幾何概率模型三、（補充）蒙特卡羅模型,3,一、幾何優(yōu)化模型,我們都知道，平面幾何里有一個基本公理：平面上兩點之間的連線，線段最短。這里的最短，就是一種幾何優(yōu)化思想。,問題的提出：,4,一、幾何優(yōu)化模型,現(xiàn)在的問題是：例1：在一條筆直的流水線上，有5個機器人。現(xiàn)要在流水線上設置一個零件供應站，使得各機器人到供應站的距離總和為最短，問

2、供應站應設在哪里？一般地，如果有n 個機器人，供應站又應設在哪里？例2：在一條筆直的流水線上，有 7 個點分別有機器人3、2、2、1、2、4、3個，現(xiàn)要在流水線上設置一個零件供應站，使得各機器人到供應站的距離總和為最短，供應站應設在哪里？若最后一個點上多 1 個機器人，將如何？若最后一個點上多 3 個機器人，又如何？,問題的提出：,5,模 型 假 設,1. 流水線在一條筆直的直線上,2. 機器人、供應站都是一個質點，沒有長度,建

3、 模 目 的,最佳的供應站設點位在哪？,一、幾何優(yōu)化模型,6,一、幾何優(yōu)化模型,例1的求解：,7,一、幾何優(yōu)化模型,例1的求解：,8,一、幾何優(yōu)化模型,例1的求解：,9,一、幾何優(yōu)化模型,例1的求解：,10,一、幾何優(yōu)化模型,例1的求解：,11,一、幾何優(yōu)化模型,例2的求解：,在若干點上機器人有重復，考慮將此種情形化成例1的情況，問題迎刃而解！具體此略。,12,二、普通幾何概率模型,概率，又稱為幾率、或然率，是反映某種事件發(fā)生的可能性大

4、小的一種數(shù)量指標．它介于0和1之間。這里的事件是指隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)的某個可能結果。概率論是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學分支學科，它有著悠久的歷史。其中以古典概型特別成熟。,問題的提出：,13,二、普通幾何概率模型,古典概型不僅要求基本事件的出現(xiàn)等可能性，而且要求樣本空間為有限集。但實際問題卻經(jīng)常碰到無限樣本空間的情形。對于無限樣本空間的情形，常可轉化為幾何概型來解決。所謂幾何概型主要用長度、面積、體積等有關幾何的直觀概念來解決問題。古典

5、概型與幾何概型的相同點：兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的；古典概型與幾何概型的不同點：古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個。,問題的提出：,14,二、普通幾何概率模型,對于復雜的實際問題，解題的關鍵是要建立概率模型，找出隨機事件與所有基本事件相對應的幾何區(qū)域，把問題轉化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解。,問題的提出：,15,二、普通幾何概率模型,假設小王家訂了一份報紙，送報人可能在下午1:30到2:30之

6、間把報紙送到小王家，而小王離家去工作的時間在下午2:00到3:00之間，問小王在離開家前能得到報紙（稱為事件）的概率是多少?,例子及其解答,16,二、普通幾何概率模型,例子及其解答,17,二、普通幾何概率模型,例子及其解答,18,二、普通幾何概率模型,例子及其解答,19,二、普通幾何概率模型,例子及其解答,20,三、（補充）蒙特卡羅模型,蒙特卡羅方法（Monte Carlo），也稱統(tǒng)計模擬方法，是在二次世界大戰(zhàn)期間隨著科學技術的發(fā)展和電

7、子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為基礎的一類非常重要的數(shù)值計算方法。蒙特卡羅方法在應用物理、原子能、固體物理、化學、生態(tài)學、社會學以及經(jīng)濟行為等領域中得到廣泛利用?！　∶商乜_方法的名字來源于世界著名的賭城 —— 摩納哥的蒙特卡羅。其歷史起源可追溯到1777年法國科學家蒲豐提出的一種計算圓周率?的方法 —— 隨機投針法，即著名的蒲豐投針問題。,問題的提出：,21,三、（補充）蒙特卡羅模型,蒲豐投針問題的重要性并非是為了求得

8、比其它方法更精確的π值，而是在于它是第一個用幾何形式表達概率問題的例子。計算π的這一方法，不但因其新穎，奇妙而讓人叫絕，而且它開創(chuàng)了使用隨機數(shù)處理確定性數(shù)學問題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計算的前導。,問題的提出：,具體內容參見文件：蒲豐投針 ―― Monte Carlo 算法,22,1. （P71）在一條筆直的流水線上，有5個機器人，它們順序間隔為1千米。試在流水線上設置一個零件供應站，使得各機器人到供應站的距離總和為最短，并

9、求出這個最短距離總和。若有奇數(shù)個機器人，又將如何？ 2. （P71）丈夫和他的妻子上街購物，他們決定在下午4:00到5:00之間在某一街角相會。他們約好當其中一人先到后，一定要等另一人20分鐘，若另一人仍不到則離去。試問這對夫婦能相遇的概率為多少（假定他們到達約定地點的時間是隨機的，且都在約定的一小時內）？ 3. 設計一種蒙特卡羅模型用于估計無理數(shù) ln2 的近似值。(提示：ln2 等于1/(1+x)在[0,1] 上的定積分),書面