基于幾何學(xué)的數(shù)學(xué)建模

1、1,數(shù)學(xué)建模理論與實(shí)踐,—— 基于幾何學(xué)的數(shù)學(xué)建模,2,基于幾何學(xué)的數(shù)學(xué)建模,一、幾何優(yōu)化模型二、普通幾何概率模型三、（補(bǔ)充）蒙特卡羅模型,3,一、幾何優(yōu)化模型,我們都知道，平面幾何里有一個(gè)基本公理：平面上兩點(diǎn)之間的連線(xiàn)，線(xiàn)段最短。這里的最短，就是一種幾何優(yōu)化思想。,問(wèn)題的提出：,4,一、幾何優(yōu)化模型,現(xiàn)在的問(wèn)題是：例1：在一條筆直的流水線(xiàn)上，有5個(gè)機(jī)器人?，F(xiàn)要在流水線(xiàn)上設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站，使得各機(jī)器人到供應(yīng)站的距離總和為最短，問(wèn)

2、供應(yīng)站應(yīng)設(shè)在哪里？一般地，如果有n 個(gè)機(jī)器人，供應(yīng)站又應(yīng)設(shè)在哪里？例2：在一條筆直的流水線(xiàn)上，有 7 個(gè)點(diǎn)分別有機(jī)器人3、2、2、1、2、4、3個(gè)，現(xiàn)要在流水線(xiàn)上設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站，使得各機(jī)器人到供應(yīng)站的距離總和為最短，供應(yīng)站應(yīng)設(shè)在哪里？若最后一個(gè)點(diǎn)上多 1 個(gè)機(jī)器人，將如何？若最后一個(gè)點(diǎn)上多 3 個(gè)機(jī)器人，又如何？,問(wèn)題的提出：,5,模 型 假 設(shè),1. 流水線(xiàn)在一條筆直的直線(xiàn)上,2. 機(jī)器人、供應(yīng)站都是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度,建

3、 模 目 的,最佳的供應(yīng)站設(shè)點(diǎn)位在哪？,一、幾何優(yōu)化模型,6,一、幾何優(yōu)化模型,例1的求解：,7,一、幾何優(yōu)化模型,例1的求解：,8,一、幾何優(yōu)化模型,例1的求解：,9,一、幾何優(yōu)化模型,例1的求解：,10,一、幾何優(yōu)化模型,例1的求解：,11,一、幾何優(yōu)化模型,例2的求解：,在若干點(diǎn)上機(jī)器人有重復(fù)，考慮將此種情形化成例1的情況，問(wèn)題迎刃而解！具體此略。,12,二、普通幾何概率模型,概率，又稱(chēng)為幾率、或然率，是反映某種事件發(fā)生的可能性大

4、小的一種數(shù)量指標(biāo)．它介于0和1之間。這里的事件是指隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的某個(gè)可能結(jié)果。概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)分支學(xué)科，它有著悠久的歷史。其中以古典概型特別成熟。,問(wèn)題的提出：,13,二、普通幾何概率模型,古典概型不僅要求基本事件的出現(xiàn)等可能性，而且要求樣本空間為有限集。但實(shí)際問(wèn)題卻經(jīng)常碰到無(wú)限樣本空間的情形。對(duì)于無(wú)限樣本空間的情形，?？赊D(zhuǎn)化為幾何概型來(lái)解決。所謂幾何概型主要用長(zhǎng)度、面積、體積等有關(guān)幾何的直觀概念來(lái)解決問(wèn)題。古典

5、概型與幾何概型的相同點(diǎn)：兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的；古典概型與幾何概型的不同點(diǎn)：古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有無(wú)限多個(gè)。,問(wèn)題的提出：,14,二、普通幾何概率模型,對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要建立概率模型，找出隨機(jī)事件與所有基本事件相對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問(wèn)題，利用幾何概型公式求解。,問(wèn)題的提出：,15,二、普通幾何概率模型,假設(shè)小王家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在下午1:30到2:30之

6、間把報(bào)紙送到小王家，而小王離家去工作的時(shí)間在下午2:00到3:00之間，問(wèn)小王在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙（稱(chēng)為事件）的概率是多少?,例子及其解答,16,二、普通幾何概率模型,例子及其解答,17,二、普通幾何概率模型,例子及其解答,18,二、普通幾何概率模型,例子及其解答,19,二、普通幾何概率模型,例子及其解答,20,三、（補(bǔ)充）蒙特卡羅模型,蒙特卡羅方法（Monte Carlo），也稱(chēng)統(tǒng)計(jì)模擬方法，是在二次世界大戰(zhàn)期間隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電

7、子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一類(lèi)非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。蒙特卡羅方法在應(yīng)用物理、原子能、固體物理、化學(xué)、生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)行為等領(lǐng)域中得到廣泛利用?！　∶商乜_方法的名字來(lái)源于世界著名的賭城 —— 摩納哥的蒙特卡羅。其歷史起源可追溯到1777年法國(guó)科學(xué)家蒲豐提出的一種計(jì)算圓周率?的方法 —— 隨機(jī)投針?lè)?，即著名的蒲豐投針問(wèn)題。,問(wèn)題的提出：,21,三、（補(bǔ)充）蒙特卡羅模型,蒲豐投針問(wèn)題的重要性并非是為了求得

8、比其它方法更精確的π值，而是在于它是第一個(gè)用幾何形式表達(dá)概率問(wèn)題的例子。計(jì)算π的這一方法，不但因其新穎，奇妙而讓人叫絕，而且它開(kāi)創(chuàng)了使用隨機(jī)數(shù)處理確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計(jì)算的前導(dǎo)。,問(wèn)題的提出：,具體內(nèi)容參見(jiàn)文件：蒲豐投針 ―― Monte Carlo 算法,22,1. （P71）在一條筆直的流水線(xiàn)上，有5個(gè)機(jī)器人，它們順序間隔為1千米。試在流水線(xiàn)上設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站，使得各機(jī)器人到供應(yīng)站的距離總和為最短，并

9、求出這個(gè)最短距離總和。若有奇數(shù)個(gè)機(jī)器人，又將如何？ 2. （P71）丈夫和他的妻子上街購(gòu)物，他們決定在下午4:00到5:00之間在某一街角相會(huì)。他們約好當(dāng)其中一人先到后，一定要等另一人20分鐘，若另一人仍不到則離去。試問(wèn)這對(duì)夫婦能相遇的概率為多少（假定他們到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間是隨機(jī)的，且都在約定的一小時(shí)內(nèi)）？ 3. 設(shè)計(jì)一種蒙特卡羅模型用于估計(jì)無(wú)理數(shù) ln2 的近似值。(提示：ln2 等于1/(1+x)在[0,1] 上的定積分),書(shū)面