畢業(yè)論文--求函數(shù)極限的方法

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘 要…………………………………………………………………………………...….....1</p><p>　　Abstract…………………………………………………………………………………...........1</p><p>　　1 引 言……………………………………

2、………….……………………………….........2</p><p>　　2 求函數(shù)極限的方法…………………………....…………………………..........................2</p><p>　　2.1 利用定義求極限..........................................................................

3、...............................2</p><p>　　2.2 利用迫斂性求極限.....................................................................................................4</p><p>　　2.3 利用歸結(jié)原則求極限...............

4、..................................................................................4</p><p>　　2.4 利用洛比達法則求極限.............................................................................................5</p

5、><p>　　2.5 利用泰勒公式求極限.................................................................................................7</p><p>　　2.6 用導數(shù)的定義求極限........................................................

6、.........................................8</p><p>　　2.7 利用定積分求極限.....................................................................................................9</p><p>　　2.8 利用級數(shù)收斂的必要性求極限.

7、..............................................................................10</p><p>　　2.9 利用Stolz公式求極限...........................................................................................10</p&g

8、t;<p>　　3 總結(jié).......................................................................................................................................13</p><p>　　參考文獻……………………………………………………………………………………...13

9、</p><p><b>　　求函數(shù)極限的方法</b></p><p>　　摘 要：函數(shù)極限是高等數(shù)學的重要組成部分，它是微積分的理論基礎(chǔ)，所以求函數(shù)極限成為這一部分的重中之重.靈活掌握函數(shù)極限的求法是學好高等數(shù)學的基礎(chǔ).函數(shù)的極限有很多種求法，比如: 利用函數(shù)極限的定義、利用泰勒公式、利用洛必達法則、利用級數(shù)收斂性、利用Stolz公式等.</p>&

10、lt;p>　　關(guān)鍵詞: 函數(shù)極限; 洛必達法則; 泰勒公式; 級數(shù)收斂性; Stolz公式.</p><p>　　The Counting Methods of Function Limit</p><p>　　Abstract: Function limit which is an important part of advanced mathematics, is the the

11、oretical basis of calculus, Therefore, counting the function limit is a top priority for it. The flexibility to master the counting methods of the function limit is the foundation of learning advanced mathematics well. T

12、here are various ways to counting the function limit, such as using the definition of function limit, the Taylor's formula, the L'Hopital's rule, the series convergence, the Stolz formula and s</p><

13、;p>　　Key words: The function limit; the L'Hopital's rule; the Taylor's formula; the series convergence; the Stolz formula</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　在自然科學、工程技術(shù)，甚至某些社會

14、科學中，函數(shù)是被廣泛應(yīng)用的數(shù)學概念，從小學開始我們就已經(jīng)接觸到了函數(shù)，函數(shù)貫穿了我們整個的學習時段.既然函數(shù)在數(shù)學學習中處于核心地位，那么我們用什么方法來研究函數(shù)呢？這個方法就是極限.在數(shù)學分析與微積分學中，極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部內(nèi)容，因此掌握好極限的求解方法是學習數(shù)學分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán).本文將通過一些典型例題來討論求函數(shù)極限的方法.</p><p><b>　　求函數(shù)極

15、限的方法</b></p><p><b>　　利用定義求極限</b></p><p>　　定義2.1.1(趨于時的函數(shù)極限)：函數(shù)在點的空心鄰域內(nèi)有定義，是一個確定的數(shù)，若對任意的正數(shù)，存在，使得當時，都有，則稱趨向于的極限存在，且為，記作.</p><p>　　下面舉例說明如何根據(jù)定義來求這種函數(shù)極限，我們要特別注意的值是如何確

16、定的，它和有什么關(guān)系.</p><p>　　例2.1.1 證明 </p><p>　　證： ＞0， ＜成立，</p><p><b>　　解得 ＜</b></p><p>　　取于是存在0 ＜＜ ,</p><p><b>　　有＜</b></p><

17、p><b>　　故 </b></p><p>　　注：一般的取值要依賴于，但它不是由唯一確定的.在上例中還可以把取得更小一些，這取決于函數(shù)式放縮的程度.</p><p>　　定義2.1.2(趨向時的函數(shù)極限)：設(shè)為定義在上的函數(shù)，為定值，若對任給正數(shù)，存在正數(shù)(≥）使得當＞時有 ＜.則稱函數(shù)當時以為極限，記作或.</p><p>　　趨向

18、于時的函數(shù)極限的定義與定義2.1.2相似，只要把定義中的＞改為即可.</p><p>　　下面同樣舉例說明用定義求這種函數(shù)極限的方法.</p><p>　　例2.1.2 證明 =</p><p>　　分析 這是一個關(guān)于自變量n趨向于無窮大的函數(shù)極限，n相當于定義中的，先將函數(shù)式適當放大，再根據(jù)函數(shù)定義求證函數(shù)極限.</p><p><

19、;b>　　證： ，</b></p><p><b>　　當 ，</b></p><p><b>　　有 ，</b></p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　當時，有 </b></p>&l

20、t;p><b>　　故 =</b></p><p>　　注 1 在上式中運用了適當放大的方法，這樣求解比較簡便.但要注意這種放大必須要“適度”，這樣才能根據(jù)給定的來確定N，同時要注意此題中的N不一定非要是整數(shù)，只要是正數(shù)即可.</p><p>　　注 2 函數(shù)在所求點的極限與函數(shù)在此點是否連續(xù)無關(guān)，函數(shù)極限表示的是自變量趨向某點時函數(shù)值的變化規(guī)律.<

21、;/p><p><b>　　利用迫斂性求極限</b></p><p>　　我們常說的迫斂性或夾逼定理：若有且 則.</p><p>　　例 2.2.1 求極限</p><p>　　分析： 即，易知關(guān)于單調(diào)遞增.</p><p><b>　　即得 </b></p>

22、<p>　　當，上式左、右兩端各趨于0和1，似乎無法利用迫斂性，原因在于放縮太過粗糙，應(yīng)尋求更精致的放縮.</p><p>　　解： 對各項的分母進行放縮，而同時分子保持不變. 就得如下不等關(guān)系：</p><p>　　令，上式左、右兩端各趨于，得</p><p><b>　　利用歸結(jié)原則求極限</b></p>&l

23、t;p>　　歸結(jié)原則 設(shè)在內(nèi)有定義，存在的充要條件是：對任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等．</p><p>　　例 2.3.1 求極限</p><p>　　分析： 利用復(fù)合函數(shù)求極限，令，求解．</p><p>　　解： 令 ，則有</p><p><b>　??；，</b></p>

24、<p>　　由冪指函數(shù)求極限公式得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故由歸結(jié)原則得</b></p><p>　　注 1 歸結(jié)原則的意義在于把函數(shù)歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理，對于，，和這四種類型的單側(cè)極限，相應(yīng)的歸結(jié)原則可表示為更強的形式．</p><p&

25、gt;　　注 2 若可找到一個以為極限的數(shù)列，使不存在，或找到兩個都以為極限的數(shù)列與，使與都存在而不相等，則不存在．</p><p>　　利用洛比達法則求極限</p><p>　　洛比達法則一般被用來求型不定式極限及型不定式極限．用此種方法求極限要求在點的空心鄰域內(nèi)兩者都可導，且作分母的函數(shù)的導數(shù)不為零．</p><p>　　例 2.4.1 求極限</p&

26、gt;<p><b>　　解： 由于，且有</b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　由洛比達法則可得: </p><p>　　例 2.4.2 求極限</p><p>　　解： 由于，并有，，</p><p><b>

27、　　由洛比達法則可得：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由于函數(shù)，均滿足洛比達法則的條件，所以再次利用洛比達法則：</p><p>　　注 1 如果仍是型不定式極限或型不定式極限，只要有可能，我們可再次用洛比達法則，即考察極限是否存在，這時和在的某鄰域內(nèi)必須滿足洛比達法則的條件．</p&g

28、t;<p>　　注 2 若不存在，并不能說明不存在．</p><p>　　注 3 不能對任何比式極限都按洛比達法則求解，首先必須注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛比達法則的其他條件．比如這個簡單的極限雖然是型，但若不顧條件隨便使用洛比達法則，就會因右式的極限不存在而推出原極限不存在的錯誤結(jié)論．</p><p><b>　　利用泰勒公式求極限</b>

29、;</p><p>　　對于求某些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用洛比達法則更為方便，下列為常用的展開式：</p><p><b>　　1、</b></p><p><b>　　2、</b></p><p><b>　　3、</b></p><p>

30、<b>　　4、</b></p><p><b>　　5、</b></p><p><b>　　6、</b></p><p>　　上述展開式中的符號都有:</p><p>　　例 2.5.1 求極限</p><p>　　分析：當時，此函數(shù)為型未定式，滿

31、足洛必達法則求極限.若直接用洛必達法則就會發(fā)現(xiàn)計算過程十分復(fù)雜，稍不注意就會出錯.先用泰勒公式將分子展開，再求極限就會簡潔的多.</p><p><b>　　解： </b></p><p><b>　　因此 </b></p><p>　　所以 </p><

32、;p><b>　　用導數(shù)的定義求極限</b></p><p>　　常用的導數(shù)定義式：設(shè)函數(shù)在點處可導，則下列式子成立：</p><p><b>　　1．，</b></p><p><b>　　2．．</b></p><p>　　其中是無窮小，可以是，的函數(shù)或其他表達式．&

33、lt;/p><p>　　例 2.6.1 求極限 </p><p>　　分析 此題是時型未定式，在沒有學習導數(shù)概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，針對本題的特征，對分母分子同時進行有理化便可求解．但在學習了導數(shù)的定義式之后，我們也可直接運用導數(shù)的定義式來求解．</p><p><b>　　解： 令，　　則</b></p>&

34、lt;p><b>　?。?</b></p><p><b>　　利用定積分求極限</b></p><p>　　由定積分的定義知，若在上可積，則可對用某種特定的方法并取特殊的點，所得積分和的極限就是在上的定積分．因此，遇到求一些和式的極限時，若能將其化為某個可積函數(shù)的積分和，就可用定積分求此極限．這是求和式極限的一種方法．</p&g

35、t;<p>　　例 2.7.1 求極限</p><p>　　解： 對所求極限作如下變形：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　不難看出，其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個積分和，所以有</p><p>　　利用級數(shù)收斂的必要性求極限</p><p>　　給出一

36、數(shù)列，對應(yīng)一個級數(shù)，若能判定此級數(shù)收斂，則必有.由于判別級數(shù)收斂的方法較多，因而用這種方法判定一些以零為極限的數(shù)列極限較為方便.</p><p><b>　　例 2.8.1 </b></p><p>　　解：設(shè)，則級數(shù)為數(shù)項級數(shù).</p><p><b>　　由比值審斂法：</b></p><p>

37、;　　所以 收斂，</p><p>　　所以 </p><p>　　利用Stolz公式求極限</p><p>　　Stolz公式和洛必達法則是求極限的有效方法，它們分別適用于數(shù)列和函數(shù)的情形.對于一些分子分母為求和式的比式極限題目用通常方法進行證明是非常麻煩的，但是用

38、此定理就非常的簡單了，而用此定理可使分子分母中的很多項消去從而簡化計算，應(yīng)用比較方便.首先介紹一下此定理： </p><p>　　Stolz 定理1（）：已知兩個數(shù)列｛｝、{},數(shù)列{}嚴格單調(diào)上升，而且+，當+,=,其中為有限數(shù)或為＋或－則＝；</p><p>　　Stolz 定理2（）：已知兩數(shù)列{}、{}，0當+；數(shù)列{}嚴格單調(diào)下降而且0當+；= ，其中為有限數(shù)或為＋或－,則<

39、;/p><p>　　Stolz 定理的函數(shù)形式：</p><p>　　Stolz定理3（型）：若T>0為常數(shù)，</p><p><b>　　,,</b></p><p>　　+,當+且,在[a, +]內(nèi)閉有界，即b>a,， 在[a ,b]上有界，</p><p><b>　?。?/p>

40、. </b></p><p><b>　　則＝</b></p><p>　　Stolz 定理4（）：若T>0為常數(shù)，</p><p><b>　　1)0 ，</b></p><p>　　2) =0, =0，</p><p><b>　　3) ＝.

41、</b></p><p>　　則,其中＝或有限數(shù)或</p><p>　　例 2.9.1 設(shè)求</p><p>　　證明： 因為單調(diào)遞增且趨于</p><p><b>　　又 </b></p><p>　　故由Stolz定理知: </p><p>

42、<b>　　=</b></p><p>　　例2.9.2 若在（a,）內(nèi)有定義，而且內(nèi)閉有界，即任意[]（a,）, 在[]上有界，則</p><p><b>　　1）＝[ - ] </b></p><p>　　2) ()= ,其中（>c>0）.</p><p>　　證明：1）從題意知

43、 令=,則,都符合定理的條件，令T=1所以可以直接套用定理，</p><p><b>　?。剑絒 - ],</b></p><p>　　2) 令y=(),則=, </p><p><b>　　== ＝，</b></p><p>　　由的連續(xù)性，所以 =</p><p>&l

44、t;b>　　得證.</b></p><p>　　從上可以看出利用Stolz定理求極限的形式是非常有規(guī)律的，我們要善于發(fā)現(xiàn)式子的規(guī)律，但應(yīng)具體問題具體分析，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)所要求極限式的特點.</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　本文比較全面地總結(jié)了求函數(shù)極限的方法，包括利用函數(shù)極限的定義、利用迫斂性、利用歸

45、結(jié)原則、利用洛比達法則、利用泰勒公式、利用導數(shù)的定義、利用定積分、利用級數(shù)收斂的必要性、利用Stolz公式，從而幫助我們解決求各類函數(shù)極限過程中所遇到的問題.對函數(shù)極限求解方法的討論是本文的核心點，但需要注意的是，實際求函數(shù)極限時并不是依靠單一方法，而是把多種方法加以綜合運用.</p><p><b>　　參考文獻:</b></p><p>　　[1] 龔思德、劉序球

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