畢業(yè)論文（設計）等價無窮小量在求極限上的應用

1、<p><b>　　數(shù)理學院</b></p><p>　　JINGGANGSHAN UNIVERSITY</p><p><b>　　畢業(yè)論文（設計）</b></p><p>　　等價無窮小量在求極限上的應用</p><p>　　姓 名

2、 </p><p>　　單位地址 　　 井岡山大學　　　 </p><p>　　郵政編碼 343009 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　系?。ㄔ海?　　　數(shù)理學院 </p>&

3、lt;p>　　指導教師　 </p><p><b>　　2013年5月1日</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘要–––––––––––––––––––––––––––––1</p><p>　

4、　引言–––––––––––––––––––––––––––––2</p><p>　　一、無窮小量–––––––––––––––––––––––––3</p><p>　　1.1 無窮小量的定義––––––––––––––––––––––3</p><p>　　1.2 等價無窮小量的一些基本性質(zhì)––––––––––––––––––3</p><

5、p>　　1.3無窮小量階的比較及等價無窮小量的定義––––––––––––––3</p><p>　　二、等價無窮小量–––––––––––––––––––––––4</p><p>　　2.1等價無窮小量的重要性質(zhì)––––––––––––––––––––4</p><p>　　2.2一些常用的等價無窮小量––––––––––––––––––––4</p

6、><p>　　三、極限問題的解法––––––––––––––––––––––5</p><p>　　3.1可以直接求極限的問題–––––––––––––––––––––5</p><p>　　3.2 用兩個重要極限求極限–––––––––––––––––––––5</p><p>　　3.3用洛必達法則求極限–––––––––––––––––––

7、–––6</p><p>　　3.4用等價無窮小量求極限–––––––––––––––––––––7</p><p>　　3.5等價無窮小代換的局限性––––––––––––––––––––8</p><p>　　3.6階數(shù)的求法–––––––––––––––––––––––––9</p><p>　　3.7利用泰勒公式求函數(shù)極限––––––

8、––––––––––––––9</p><p>　　四、等價無窮小替換的優(yōu)勢–––––––––––––––––––11</p><p>　　五、方法總結(jié)–––––––––––––––––––––––––12</p><p>　　參考文獻–––––––––––––––––––––––––––13</p><p>　　英文摘要––––––––––

9、–––––––––––––––––14</p><p><b>　　【摘 要】</b></p><p>　　無窮小量從提出到正式的定義經(jīng)過了一番曲折，還引發(fā)了一次數(shù)學危機，等價無窮小量的提出，在微積分領域可以說具有劃時代的意義，它為解決正項級數(shù)與極限等類型的問題帶來了很大的方便，特別是在極限問題上。這里我們只重點討論它在求極限方面的應用以及優(yōu)勢，等價無窮小代換是一種

10、應用很廣泛的求極限方法，但是要注意遵守無窮小量的替換法則，才能使得計算簡化而又不出錯，當然本文會具體去討論應用中要注意的事項。正確使用等價無窮小量能解決洛必達法則所不能解決的問題。在求極限問題中，方法有很多，比如利用兩個重要的極限求極限，利用洛必達法則還有等價無窮小替換以及泰勒公式等方法求極限，這些方法都有它的優(yōu)越性，但是我們總想要去尋求一種最簡單便捷的方法得到結(jié)果，其中等價無窮小替換有著不可替代的地位，以及優(yōu)越的簡化計算的作用。<

11、;/p><p>　　【關鍵詞】 等價無窮小量；洛必達法則；兩個重要的極限；泰勒公式；優(yōu)越性。</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　微積分還有一個名稱，叫“無窮小分析”。其實微積分是由牛頓和萊布尼茨獨自完成的，一開始他們就是從直觀的無窮小量開始的。數(shù)學中的分析學早期就叫無窮小分析，無窮小量在當時是一個讓人頭疼的概念。<

12、/p><p>　　按照牛頓的流數(shù)法來計算導數(shù)的方法如下 ： </p><p>　　算法雖然很簡單，可是確實有矛盾。我們知道，要使等式中式成立，則必需≠0，而要式成立，則需。問題就成了討論到底是不是0? 如果是零0，怎么能用它做除數(shù)? 如果不是，又怎么能把包含著的項去掉呢?這也是當時微積分的一個悖論——貝克萊悖論。就這樣，在完善微積分基礎理論問題的過程中，數(shù)學界出現(xiàn)了比較混亂的局面，并由此引發(fā)

13、了第二次數(shù)學危機。直到柯西系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論。他認為，如果硬要把這里的作為確定的量，即使是0，都不算準確，它會與極限的定義發(fā)生矛盾；應該是要它如何小就如何小的量，將這樣一個量命名為無窮小量。所以，本質(zhì)上它是以零為極限的變量。定義為變量，才解開了人們對無窮小量概念的模糊認識。第二次數(shù)學危機結(jié)束，貝克萊悖論得到解決。改用極限的概念 ,那么求導數(shù)的過程就可以改寫為：</p><p>　　這樣，就沒有矛盾了。于是，無窮

14、小量正式誕生了。</p><p><b>　　一、無窮小量</b></p><p>　　1.1無窮小量的定義</p><p>　　設f在某空心鄰域內(nèi)有定義.若,則稱?為當時的無窮小量。</p><p>　　1.2無窮小量的一些基本性質(zhì)</p><p>　　根據(jù)無窮小量的定義，可以類似地定義當，，，

15、以及時的無窮小量與有界量。</p><p>　　這里我們很容易判斷,如函數(shù),,,均為當時的無窮小量。 </p><p>　　在這里我總結(jié)了一些無窮小量的性質(zhì)：</p><p>　?。?)無窮小量是一個變量。在變化過程中以零為極限.</p><p>　　如函數(shù) ，當時的無窮小量,但當時不是無窮小量。</p><p>　　

16、(2) 絕對值非常小的數(shù)并不就是無窮小量；無窮小量是無限趨近于0 而又不等于0的量。</p><p>　?。?）在一次運算過程中，有限個無窮小量的和、差、積還是無窮小。</p><p>　　【注意】無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小。</p><p>　　例如，時是無窮小，但個之和為1，不是無窮小。</p><p>　　（4）無窮小量與有界量

17、的乘積為無窮小量。</p><p><b>　　如：，，</b></p><p>　　1.3無窮小量階的比較及等價無窮小量的定義</p><p>　　1）若 ,則稱當時，是高階無窮小，或稱為的低階無窮小，記作= ().</p><p>　　特別，f為當x→時的無窮小量記作 = ().</p><p&

18、gt;　　2)若存在正數(shù)K和L,使得在某上有,則稱與為當時的同階無窮小量.特別當時，則稱與必為當同階無窮小。</p><p>　　3) 若，則稱與是當時的等價無窮小量.記為～.</p><p>　　注：當x→0 時，與 雖然都是無窮小量，卻不能進行階的比較，所以在進行階的比較時還要注意有沒有意義。</p><p><b>　　二、等價無窮小量</b&

19、gt;</p><p>　　2.1等價無窮小量的重要性質(zhì)</p><p>　　設,,,, 等均為同一自變量變化過程中的無窮小。</p><p>　　性質(zhì)一：若～,～, 且存在，則</p><p><b>　　()</b></p><p>　　性質(zhì)二：若～，～，則～.</p><

20、p>　　性質(zhì)一是等價無窮小量商的極限求法；性質(zhì)二是等價無窮小量的傳遞性.</p><p>　　2.2一些常用的等價無窮小量: (當 時)</p><p>　?。?）～； （2）～； （3）～； </p><p>　?。?）～； （5）～； （6）～；</p><p>　　（7）～； （8）～. &

21、lt;/p><p><b>　　三、極限問題的解法</b></p><p>　　3.1 可以直接求極限的問題</p><p>　　3.1.1 直接將的代入所求極限的函數(shù)中去，若存在，即為其極限。</p><p><b>　　例1 </b></p><p>　　若不存在，可以代

22、入進去，看分子分母的值判斷屬于哪一類型，再做打算。</p><p><b>　　例如：</b></p><p>　　就不能直接代入，但可以知道這是一個型的不定式，我們可以用以下的方法來求解。</p><p>　　3.1.2 （因式分解）：</p><p><b>　　例2 。</b><

23、;/p><p>　　3.1.3 （分子（分母）有理化）：</p><p><b>　　例3</b></p><p>　　3.2用兩個重要極限求極限</p><p>　　在高等數(shù)學里， 有兩個極限是很重要的，在求極限上很有用。這里我們只寫出結(jié)論來，證明省略：</p><p><b>　?。?）

24、 </b></p><p>　　很多時候我們都會用到這兩個重要的極限去快速的解決一些特殊的極限問題，列舉兩個例題：</p><p><b>　　例4 求 </b></p><p><b>　　例5 求</b></p><p><b>　　解 </b></p&

25、gt;<p>　　可是這兩個重要極限的使用也有其局限性，對于更一般的極限，就不能用了，我們只能另辟蹊徑。</p><p>　　3.3用洛必達法則求極限</p><p>　　我們定義兩個無窮小或兩個無窮大量之比的極限為型或型不定式極限。這兩種情況都不能直接用商的極限運算法則計算。而導數(shù)就是討論型不定式極限的，所以，我們可以用導數(shù)作為工具來研究一般不定式的極限。這種方法我們稱之為

26、“洛必達法則”。</p><p><b>　　例6 </b></p><p>　　解：很明顯這里是不能直接代入1的，用以上幾種方法都顯得“雞肋”，我們用洛必達法則試試。則有：</p><p>　?。ǚ肿臃帜竿瑫r求導）</p><p>　　用洛必達法則很容易就得出結(jié)果，那么看一下下面這個例題</p><

27、;p><b>　　例7 </b></p><p>　?。?），現(xiàn)在我們直接使用洛比達法則，則</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　會發(fā)現(xiàn)，分子分母上的求導運算越來越復雜，并沒有起到簡化的作用。那么怎么辦呢?我們這時候要想到等價無窮小替換，如果在第（1）步中對分母上的無窮小量用等價無窮小

28、量來替換，則</p><p>　　這時再使用洛比達法則，運算過程就變的簡單了。</p><p>　　同樣的我們看到下面這個例題：</p><p><b>　　例8 </b></p><p>　　解： 原式   （用洛必達法則）</p><p><b>　?。▽=0代入）&

29、lt;/b></p><p><b>　?。ㄓ寐灞剡_法則）</b></p><p>　　用洛必達法則求不出結(jié)果，會一直循環(huán)下去.怎么辦？用等價無窮小量代換.</p><p>　　3.4用等價無窮小量求極限</p><p>　　回到上面的例8，因為x～sinx～tanx(x→0)，所以,原式= =1，問題迎刃而解。

30、我們再一次看到了洛必達法則的局限性以及等價無窮小替換的方便。</p><p><b>　　例9 </b></p><p>　　解 當→時,～,～.</p><p><b>　　.</b></p><p>　　同樣的，這里如果只使用洛必達法則，上式越變越復雜,求出結(jié)果也是累的半死.改用等價無窮小替換

31、就方便的多了。</p><p>　　那么是不是任何時候都可以用等價無窮小來替換呢？</p><p>　　3.5等價無窮小代換的局限性</p><p>　　下面我們通過一個例題來具體討論一下：</p><p>　　例10:（1） （2）</p><p>　　先算第（1）題，利用重要極限和運算法則直接求：</p&g

32、t;<p>　　如果改用等價無窮小替換： </p><p>　　明顯這是一個錯誤的結(jié)論。</p><p>　　同樣的第（2）題也利用重要極限和運算法則直接求：</p><p>　　改用等價無窮小計算：</p><p><b>　　結(jié)果與上式相同.</b></p><p>　　可是

33、為什么會這樣呢？有的可以作等價替換，而有的題目作替換后就出錯？</p><p>　　【注意】兩個函數(shù)相減時就不能隨便用等價無窮小替換了。</p><p>　　那么怎么判斷兩個函數(shù)相減時用等價無窮小替換到底是不是合適的呢？</p><p>　　其實我們只要搞清楚等價無窮小代換的實質(zhì)，原因就出在它的余項上。</p><p>　　第（1）題若用等價

34、無窮小，實際上應當為</p><p>　　因為分子是的高階無窮小，而不是的高階無窮小，所以不一定等于零。</p><p><b>　　第（2）題中</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　【注】無窮小量的的和，差，積還是無窮小量。</p><p>

35、　　這里分子是的高階無窮小，那么分子與的比值的極限為零。</p><p>　　也就是余項的階數(shù)一定要統(tǒng)一，在余項的階數(shù)不同的情況下，就不可隨便等價代換。</p><p>　　以上結(jié)果說明在錯用等價無窮小量時，一般是階數(shù)的判斷上出現(xiàn)錯誤，那么階數(shù)應該怎么求呢？請看下面的例題</p><p><b>　　3.6階數(shù)的求法</b></p>

36、<p><b>　　例11 </b></p><p><b>　　解</b></p><p><b>　　例12 </b></p><p><b>　　證：</b></p><p>　　所以，當。也就是，只要使得兩個作比較的無窮小量的極限

37、的是常數(shù)，此時，與之作比較的變量的冪就是階數(shù)。</p><p>　　如果作比較的無窮小量階數(shù)不同，即等價無窮小替換出現(xiàn)條件限制，而使用洛必達法則又很復雜的情況下，我們還可以考慮使用泰勒公式。</p><p>　　3.7利用泰勒公式求函數(shù)極限</p><p>　　泰勒定理：若函數(shù)在[a,b]上存在直至n階的連續(xù)導函數(shù)，在（a,b）內(nèi)存在（n+1）階導函數(shù)，則對任意給定

38、的∈[a,b]，至少存在一點ε∈（a,b）,使得</p><p>　　一般我們用到的都是時的特殊形式：</p><p>　　也稱為（帶有佩亞諾余項的）麥克勞林公式。下面我們將用到這兩個公式，</p><p>　　讓我們將例10稍作修改，以便計算</p><p><b>　　第（1）題求改為 </b></p>

39、<p><b>　　求</b></p><p>　　同樣，是在時，將與作比較，所以將和都要展開到項，有如下展開式：</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　第（2）題求</

40、b></p><p>　　這里是在時，將與作比較，所以只需將展開到，就可以了。有如下展開式：</p><p><b>　　所以，.</b></p><p>　　這里我們先初步了解用泰勒公式的基本步驟，可以看到對于這些簡單的極限用泰勒公式也很容易算出結(jié)果。下面我們再看個復雜一點的：</p><p><b>

41、　　例13 求極限</b></p><p>　　解 我們分別用帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式去展開分子和分母,即：</p><p><b>　??；；</b></p><p>　　其實，我們不難發(fā)現(xiàn)，用泰勒公式雖然可以解決一些較復雜的求極限問題。但是過程著實復雜，而且一不小心就容易在計算上出錯，而往往一步錯，就會導致整個結(jié)果全錯，而且錯

42、誤還不容易發(fā)現(xiàn)，最麻煩的是要去判斷應該展開到哪一項。所以泰勒公式表現(xiàn)出優(yōu)點的同時，也顯現(xiàn)出弊端。這里就再一次體現(xiàn)出等價無窮小替換的好處了。</p><p>　　四、等價無窮小替換的優(yōu)勢</p><p><b>　　例14 求</b></p><p>　　解 首先，我們用兩個重要極限解答：</p><p><

43、b>　　因為 ,</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　然后，再用洛必達法則解題：</p><p><b>　　原式==</b></p><p>　　我們看一下等價無窮小替換：</p><p>　　由于等價于,等價于，則由等價無

44、窮小替換有：</p><p>　　從這個例子中我們看到，求解函數(shù)極限的方法有很多種，以上我們基本上都羅列出了這些主要解題方法。我們解題當然是得出正確的結(jié)果最重要，運用泰勒公式雖然基本上可以解決一些“難啃的骨頭”，但是過程與其他的方法一樣，往往顯得很繁瑣，這是我們不想看到的。正是出于這種考慮，我們發(fā)現(xiàn)恰當?shù)乩脽o窮小替換能夠快速、準確地求解一些函數(shù)極限。</p><p><b>　

45、　五、方法總結(jié)</b></p><p>　　這么多求極限的方法，在運用這些方法的時候要注意什么呢？作個總結(jié)，如下:</p><p>　?。?）能直接簡單計算出來的就直接計算。</p><p>　　（2）若不能直接計算出來，檢查是否滿足或型不定式，再用洛必達法則，若條件符合洛必達法則，就可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。不符合條件，不可隨便用。

46、</p><p>　?。?）如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結(jié)合。比如用等價無窮小量替換等等. </p><p>　?。?）等價無窮小替換在使用的過程中也要注意兩個函數(shù)相減時不能濫用等價無窮小替換，要想用就必須注意余項的情況，進而確定能否用，不能用的時候，可考慮用泰勒公式。</p><p>　?。?）一般情況下，都不會單一地去使用某個方

47、法，而是幾種變換相結(jié)合，達到最優(yōu)的解題效果，這就要求熟練地掌握這些方法的運用。</p><p>　　極限計算是《數(shù)學分析》中的一個重要內(nèi)容。求極限的方法有很多，洛必達法則、泰勒公式、等價無窮小替換都是常用的方法?？v觀這些方法，等價無窮小代換是比較理想的，它具有簡潔、快速、便于計算、在掌握限制條件的情況下不易出錯等眾多優(yōu)勢。當然沒有單一的萬能公式可以解決所有的問題，任何方法都有缺陷，我們只是挑選相對來說最簡便的。通

48、常這些方法會結(jié)合起來一起使用，目的肯定是使解題步驟簡化，減少運算錯誤。其替換的原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蚴竭M行代換，即在等價無窮小量的代換中，可以分子分母同時進行代換，也可以只對分子（或分母）進行代換。當分子或分母為和（差）的形式時，就不能隨便進行等價無窮小量替換了。而應將和式作為一個整體進行代換；當分子或分母為幾個因式相乘積時，也可以只對其中某些因式進行等價無窮小量代換?？傮w來說，只有因式才可以進行等價無窮小量替換，幾個函數(shù)相加減時就

49、不能隨便用等價無窮小替換了。</p><p><b>　　參 考 文 獻</b></p><p>　　[ 1 ]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）（第三版）北京：高等教育出版社,2008.重印.</p><p>　　[ 2 ]楊文泰,等價無窮小量代換定理的推廣[J].甘肅高師學報,2005,10（2）：11～13.</p>&l

50、t;p>　　[ 3 ] 王斌.用洛必達法則求不定式極限的局限性的探討[J].</p><p>　　[ 4 ] 華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　[ 5 ] 盛祥耀. 高等數(shù)學[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987.</p><p>　　[ 6 ] 馮錄祥. 關于等價無窮小量代換的一個注記[J

51、]. 伊犁師范學院學報。</p><p>　　[ 7 ] 段麗凌,楊賀菊. 關于等價無窮小量替換的幾點推廣.[ J ].</p><p>　　[ 8 ]同濟大學應用數(shù)學系,主編.高等數(shù)學.第5版[M].高等教育出版社,2002,7 56～59.</p><p>　　[ 9 ] 馬振明,呂克噗.微分習題類型分析[ M ] .蘭州：蘭州大學出版社,1999.59,45-

52、65.</p><p>　　[10] 崔克儉,應用數(shù)學[ M ],北京：中國農(nóng)業(yè)出版社,2004.</p><p>　　[11] 張云霞. 高等數(shù)學教學[J]. 山西財政稅務?？茖W校學報 , 2001.04.</p><p>　　[12] 任治奇 , 梅胤勝.數(shù)學分析[M]. 渝西學院學報(社會科學版) , 1998.02</p><p>　

53、　[13] Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods [J]. Journal of Computer Research and Development , 2001, 38(1): 121- 125.</p><p>　　[14] Shivakumar N, G.Moli

54、na H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n], 1995: 9- 17.</p><p>　　[15] Shivak

55、umar N, G.Molina H. Building a Scalable and Accurate Copy Detection Mechanism [A]. The 1st ACM Conference on Digital Libraries[C]. USA Bethesada Maryland: [s. n], 1996: 34- 41.</p><p>　　【ABSTRACT】</p>

56、<p>　　Dimensionless from put forward to some twists and turns after the formal definition, triggered a crisis of mathematics, equivalent infinite small forward, can say is of epoch-making significance in the field

57、of calculus, which in order to solve the problems of the positive series and limit type has brought great convenience, especially on the limit problem. Here we only focus on it in the limit as well as the advantages of a

58、pplication of equivalent infinitesimal substitution is an application of</p><p>　　【Keywords】: Equivalent infinite small; L 'hospital's rule; Two important limits; Taylor formula; Superiority. </p