對(duì)函數(shù)極限概念的認(rèn)識(shí)與教學(xué)方法研究[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　對(duì)函數(shù)極限概念的認(rèn)識(shí)與教學(xué)方法研究</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用

2、數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱(chēng) </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)最重要的概念之一，也是一個(gè)

3、教學(xué)的難點(diǎn).對(duì)于極限概念的教學(xué)方法已有許多專(zhuān)家學(xué)者進(jìn)行了探討.本文從已有發(fā)表的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和方法的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)極限概念的認(rèn)識(shí)與教學(xué)方法進(jìn)一步研究.概括總結(jié)了一些函數(shù)極限概念的由來(lái)，各種教學(xué)法方法的比較，由數(shù)列的極限引出函數(shù)極限的方法來(lái)進(jìn)行教學(xué).利用函數(shù)極限的概念來(lái)求解一些實(shí)際問(wèn)題以強(qiáng)化對(duì)函數(shù)極限的認(rèn)識(shí)，從而使豐富了對(duì)函數(shù)極限概念的認(rèn)識(shí).針對(duì)不同的函數(shù)極限，討論了不同的教學(xué)方法供大家參考，希望通過(guò)本文對(duì)函數(shù)極限概念的認(rèn)識(shí)和教學(xué)方法的研究能對(duì)

4、加深大家對(duì)函數(shù)極限概念和教學(xué)方法的理解.</p><p>　　關(guān)鍵詞：函數(shù)極限；教學(xué)方法；連續(xù)函數(shù)；無(wú)窮大；無(wú)窮小</p><p>　　Function Limit And Teaching Method Research</p><p>　　Abstract：Function limit is one of the most important concepts

5、in higher mathematics， also is a teaching difficulty. Many experts and scholars have discussed the teaching method of limit concept. This paper basis from existing teaching experience and methods of the concept of functi

6、on limit to further research the teaching methods. Summarized some origins of the function limit, and compared various teaching concept, the sequence of limits lead to the function of limit to carry on the teaching. U&l

7、t;/p><p>　　Keywords： Function limit, a teaching method；Continuous function, Infinite; An infinitesimal</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1 緒論………………………………………………………………………………………

8、……1</p><p>　　2 數(shù)列極限概念與教學(xué)……………………………………………………………………………2</p><p>　　2.1數(shù)列極限的概念與分析定義………………………………………………………………2</p><p>　　2.2數(shù)列極限的教學(xué)……………………………………………………………………………4</p><p>　　3 函

9、數(shù)極限概念的與教學(xué)………………………………………………………………………5</p><p>　　3.1函數(shù)極限的概念與重要性質(zhì)定理…………………………………………………………5</p><p>　　3.1.1自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限…………………………………………………7 3.1.2自變量趨于無(wú)窮時(shí)的極限………………………………………………… ………7<

10、/p><p>　　3.1.3函數(shù)連續(xù)性的概念………………………………………………………… ………7</p><p>　　3.1.4 間斷點(diǎn)………………………………………………………………………………8</p><p>　　3.2函數(shù)極限的教學(xué)……………………………………………………………………………11</p><p>　　3.2.1 如何理解定

11、義…………………………………………………………………11</p><p>　　3.2.2 怎樣運(yùn)用極限定義證明極限…………………………………………………14</p><p>　　4總結(jié)……………………………………………………………………………………………15</p><p>　　參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………………………………16<

12、;/p><p>　　致 謝……………………………………………………………………………………………17</p><p><b>　　1 緒 論</b></p><p>　　在我們?nèi)粘Ｉ钪羞€是學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到很多類(lèi)似無(wú)窮的問(wèn)題，這時(shí)就需要我們用極限的思想來(lái)解決它.他不僅僅涉及我們的生活學(xué)習(xí)，而且涉及到了很多科學(xué)方面的研究，比如科學(xué)家們?cè)谥圃旆磳?dǎo)系

13、統(tǒng)的時(shí)候需要把導(dǎo)彈的路線細(xì)分成無(wú)數(shù)的線段之和，這時(shí)必須用到微分極限的思想.可見(jiàn)極限是一個(gè)能解決實(shí)際問(wèn)題的理論研究，我們也就有了研究極限的必要性，但是我們研究的極限沒(méi)有涉及比較深?yuàn)W的方面，只是初步的研究函數(shù)極限的基本概念，性質(zhì)和極限存在的條件，由數(shù)列的極限引出函數(shù)極限的方法來(lái)進(jìn)行教學(xué).我們本科所學(xué)的函數(shù)極限主要研究數(shù)列極限，函數(shù)極限，左右極限，無(wú)窮小，無(wú)窮大，無(wú)窮大無(wú)窮小的比較和各種求極限的各種方法，比如：1：零比零的形式，2：無(wú)窮比無(wú)窮

14、的形式3：無(wú)窮減去無(wú)窮的形式4：零乘以無(wú)窮的形式5：零的零次方形式6：類(lèi)未定式，其中零比零的形式的求解法可通過(guò)分解因式或有理化得方法進(jìn)行求解，消去零因子再通過(guò)運(yùn)算法則或連續(xù)函數(shù)的求解法求解或通過(guò)利用等價(jià)無(wú)窮小的運(yùn)算法則.無(wú)窮比無(wú)窮的形式可通過(guò)洛畢達(dá)法則或通過(guò)變數(shù)替換化為零比零型.無(wú)窮減去無(wú)窮的形式可以通過(guò)通分，有理化，變量替換來(lái)求解.零乘以無(wú)窮的形式可以用法則或抓大頭的方法來(lái)求解</p><p>　　近年來(lái)，由于

15、函數(shù)極限廣泛的應(yīng)用背景，同時(shí)隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展，函數(shù)極限的模型也越來(lái)越豐富，國(guó)內(nèi)外各個(gè)大學(xué)和科學(xué)研究所的學(xué)者專(zhuān)家對(duì)函數(shù)極限的研究都取得了喜人的成果，國(guó)內(nèi)外也有多篇介紹函數(shù)的極限的學(xué)術(shù)論文，并且總結(jié)出了一套相對(duì)完整的理論。文獻(xiàn)[1]和 [2]對(duì)函數(shù)概念和求法的進(jìn)行了探討；文 [3]，[4] ，[5] ，[6]都談到了函數(shù)極限的教學(xué)方法。文獻(xiàn)[7]， [8]， [9]， [10]對(duì)一些不定式函數(shù)極限概括和總結(jié)。由于函數(shù)極限的種類(lèi)有很多，

16、求法各不相同，我們遇到函數(shù)極限的問(wèn)題要先判定是哪種類(lèi)型的極限再去用相對(duì)應(yīng)的方法去求解不能盲目的去運(yùn)用其它方法求解.函數(shù)極限認(rèn)識(shí)和運(yùn)用遠(yuǎn)不只這些，比如還有多元函數(shù)的極限等這里就不一一闡述了，可以說(shuō)函數(shù)極限研究到現(xiàn)今其內(nèi)容已相當(dāng)豐富，它的理論系統(tǒng)也已比較完整，但我們還是應(yīng)該看到在這塊領(lǐng)域當(dāng)中還有很多不明確的問(wèn)題需要進(jìn)一步總結(jié)，本學(xué)位論文希望利用大學(xué)本科所學(xué)數(shù)學(xué)分析知識(shí)來(lái)對(duì)上述問(wèn)題做一些簡(jiǎn)單的總結(jié)和探討． </p><p&

17、gt;　　2 函數(shù)的極限的概念與教學(xué) </p><p>　　2.1 數(shù)列極限的概念與分析定義</p><p>　　極限概念早在古代就已萌生，例如在公元前3世紀(jì)，我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的著名思想家莊子在一書(shū)中的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”的論斷，就是數(shù)列極限的思想的體現(xiàn).又如，在公元3世紀(jì)，我國(guó)魏晉時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)中注釋中創(chuàng)造了“割圓術(shù)”的方法來(lái)計(jì)算圓周率，他從圓的內(nèi)接正

18、6邊形面積算起，依次將邊數(shù)加倍，算出了圓的內(nèi)接12邊形的面積，內(nèi)接正24邊形的面積，內(nèi)接正48邊形的面積，內(nèi)接正96邊形的面積……，來(lái)逐步逼近圓的面積A，劉徽認(rèn)為如此增加圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失，”這里，劉徽給出了逼近圓的面積的極限過(guò)程，即把極限的概念應(yīng)用于近似計(jì)算，從而算出了圓周率的近似值為3.1416，這是數(shù)學(xué)史上運(yùn)用極限的思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)典之作.</p>

19、<p>　　定義2.1： 按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，簡(jiǎn)記為{}.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列中的數(shù)可以不同或部分相同，甚至完全相同.第n項(xiàng)稱(chēng)為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)，{}中的n稱(chēng)為數(shù)列的下標(biāo).給定了一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列就給定了.</p><p>　　例1： 數(shù)列{}={}，即1，</p><p>　　例2： 數(shù)列{}={}，即1，-1,1，…, ,…</

20、p><p>　　例3：數(shù)列{}={}，即0</p><p>　　例4： 數(shù)列{}={2n-1}，即1,3,5，…2n-1，…</p><p>　　對(duì)于數(shù)列{}，若有則稱(chēng)數(shù)列{}是單調(diào)減少的.單調(diào)遞增或遞減的數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列.例2中的數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列.</p><p>　　定義2.2： 對(duì)于數(shù)列{}，若存在正數(shù)M，使得對(duì)于一切n都有，則稱(chēng)數(shù)列{}

21、是有界的.有界數(shù)列{}的點(diǎn)列全部落在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)，無(wú)界數(shù)列{}的點(diǎn)列，無(wú)論區(qū)間多長(zhǎng)，總有落在該區(qū)間外的點(diǎn).例1，例2，例3中的數(shù)列是有界的，例4中的數(shù)列是無(wú)界的.我們觀察上述4個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)，可以把它們分為2類(lèi)：第一類(lèi)，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，通項(xiàng)無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù).例如，在例1中，隨著n的無(wú)限增大，通項(xiàng)=無(wú)限趨近于0，在例3中，隨著n的無(wú)限增大，通項(xiàng)=無(wú)限趨近于1.第2類(lèi)，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，通項(xiàng)不趨近于任何常數(shù)，例如在例2中，隨著n的無(wú)限增大

22、.通項(xiàng)=總是在1和-1之間跳動(dòng).在例4中，隨著n的無(wú)限增大，通項(xiàng)=2n-1無(wú)限增大.</p><p>　　所謂的數(shù)列的極限問(wèn)題，就是研究當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列{}的通項(xiàng)是否無(wú)限趨近于某一個(gè)常數(shù)a，若無(wú)限趨近于某一個(gè)常數(shù)a，則稱(chēng)數(shù)列{}以a為極限；若不無(wú)限趨近于任何常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列{}沒(méi)有極限.</p><p>　　但這僅僅是對(duì)數(shù)列極限概念不精確的描述，例如，“n無(wú)限增大”和“無(wú)限趨近于a”的精

23、確含義是什么，就沒(méi)有用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)清楚.</p><p>　　在數(shù)學(xué)上，可以用“n大于任何給定的正整數(shù)N”來(lái)刻畫(huà)“n無(wú)限增大”；用是任何給定的小整數(shù)）來(lái)刻畫(huà)“無(wú)限趨近于a”.這樣，我們就可以用下述定義來(lái)精確刻畫(huà)數(shù)列的極限.</p><p>　　定義2.3： 設(shè)有數(shù)列{}和常數(shù)a，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多少小），總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí),有,則稱(chēng)數(shù)列{}以a為極限,或稱(chēng){

24、}收斂于a,記作=a或a(n).如果這樣的常數(shù)不存在,則稱(chēng){}沒(méi)有極限,可表示為不存在,或稱(chēng)數(shù)列{}是發(fā)散的.例如,例1,例3中的數(shù)列是收斂的,例2,例4中的數(shù)列是發(fā)散的.數(shù)列{}收斂于a的幾何意義,當(dāng)我們把數(shù)列{}看成數(shù)軸上的點(diǎn)列時(shí),數(shù)列{}收斂于a,意味著對(duì)于無(wú)論多么小的正數(shù),對(duì)點(diǎn)a的領(lǐng)域U(a, )(即開(kāi)區(qū)間(a-,a+)),總存在正整數(shù)N,使得點(diǎn)列的第N個(gè)點(diǎn)以后的所有點(diǎn),…都落在U(a, )內(nèi).從=a及其意義可以看出, 是任意給

25、定的,正整數(shù)N是隨著的給定而選定的.</p><p>　　2.2 數(shù)列極限的教學(xué)</p><p>　　概念是思維的細(xì)胞，只有很好的掌握概念，才能進(jìn)一步的學(xué)好與之相應(yīng)的理論.</p><p>　　學(xué)生學(xué)習(xí)極限時(shí)總覺(jué)得很有困難，其原因在于它和中學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法有了很大區(qū)別，中學(xué)數(shù)學(xué)是常量的數(shù)學(xué)，運(yùn)算基本上是常量的運(yùn)算，而且這些運(yùn)算可以用加減來(lái)概括；而高等數(shù)學(xué)是關(guān)于變量

26、的科學(xué)，需要在變化中把握問(wèn)題得本質(zhì).極限是人類(lèi)思維對(duì)具體問(wèn)題的，由量變帶質(zhì)變，逐級(jí)抽象的結(jié)果，處理問(wèn)題的發(fā)生了很大的變化.高等數(shù)學(xué)中的概念方法都是全新的，初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生不能用已知的概念方法同化所學(xué)知識(shí)，難以把新知識(shí)納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必須重新建立.因此，搞好極限的教學(xué)顯得格外重要.</p><p>　　首先我們要闡明概念的來(lái)龍去脈，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.極限是關(guān)于變量變化趨勢(shì)的科學(xué)，在現(xiàn)實(shí)生活中我們都在不自覺(jué)的

27、運(yùn)用著，幾乎所有的自然現(xiàn)象，社會(huì)現(xiàn)象，都存在著變化趨勢(shì)的問(wèn)題.如對(duì)股票變化的預(yù)測(cè)，天氣的預(yù)測(cè)等，這樣講可使學(xué)生對(duì)極限要解決的問(wèn)題有一個(gè)宏觀的了解.然后由特殊到一般，建立概念，以數(shù)列為例，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：通項(xiàng)=隨著n的無(wú)限增大將和0無(wú)限接近.進(jìn)一步，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)明：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)=和0的距離要多小有多小.進(jìn)一步，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，要有多小有多小.上述兩步，用距離來(lái)說(shuō)明趨勢(shì)，是思維的第一次飛躍.接下來(lái)，把要多小有多小數(shù)量化.如要求<0.1

28、可取n>10即可，又要求<0.01可取n>100即可…上述的0.1和0.01是對(duì)和0的接近程度要多小的具體顯示，而相對(duì)的n=10和n=100是說(shuō)要多小這一事實(shí)隨n無(wú)限增大的可以實(shí)現(xiàn)性，都是定量說(shuō)明.</p><p>　　然而具體不能代替一般，為此出現(xiàn)了任意小的正數(shù)要求<可取n>即可.的存在，說(shuō)明任意小的的可以實(shí)現(xiàn)性，靜止中蘊(yùn)含著運(yùn)動(dòng).通過(guò)任意小的正數(shù)，以及的存在性，揭示了和0無(wú)限接近

29、時(shí)的關(guān)系，而且這一關(guān)系是數(shù)列{}只能和0接近，把0換成其它數(shù)不行.仔細(xì)分析上述關(guān)系，把上述特例一般化，便得到合乎邏輯的極限概念.</p><p>　　定義2.4： 設(shè)有數(shù)列{}，a是常數(shù)，若對(duì)任意>0，總存在自然數(shù)N，對(duì)任意的自然數(shù)n>N，有則稱(chēng)數(shù)列的極限是a（或a是數(shù)列的極限）.</p><p>　　接著我們要認(rèn)真分析概念的內(nèi)涵，進(jìn)一步揭露實(shí)質(zhì)，極限的定義實(shí)際上是兩個(gè)過(guò)程的相

30、互說(shuō)明，一個(gè)是因變量的過(guò)程，一個(gè)是自變量的過(guò)程.上述定義用的任意小性描述和的接近程度.N隨的變化而變化，極限的定義正好是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，對(duì)和關(guān)系的本質(zhì)揭露.將因變量的要求，轉(zhuǎn)化為自變量的要求，先后N的次序.對(duì)N存在性的理解，可聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)例，進(jìn)一步指出其必要性和在邏輯論證中的地位，有了概念，接下來(lái)要研究其性質(zhì)，包括由定義直接得到的性質(zhì)及四則運(yùn)算性質(zhì)，其目的在于運(yùn)用.在研究由定義直接得到的性質(zhì)時(shí)，可進(jìn)一步揭示極限的特征，使學(xué)生加深對(duì)

31、概念的理解，如N不存在，并不唯一，的替代形式及n>N反映極限的唯一性等等，這樣學(xué)生在運(yùn)用時(shí)就會(huì)變得更加靈活.研究四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)的任務(wù)，此時(shí)要講好極限符號(hào)和四則運(yùn)算符號(hào)的換序問(wèn)題，主要是換序的條件.這也是教學(xué)的重要內(nèi)容.</p><p>　　上述教學(xué)環(huán)節(jié)可以說(shuō)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中是常見(jiàn)的，除了把握好以外，還可以隨時(shí)向?qū)W生說(shuō)明，這對(duì)引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，培養(yǎng)科學(xué)的思維方法，以及學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)理論的建構(gòu)，會(huì)起到事半功倍的作用

32、.</p><p>　　3 函數(shù)極限概念的與教學(xué)</p><p>　　3.1 函數(shù)極限的概念與分析定義</p><p>　　因?yàn)閿?shù)列可看作自變量為n的函數(shù)=,n為正整數(shù)，所以數(shù)列的極限為a，就是當(dāng)自變量n取正整數(shù)時(shí)且無(wú)限增大（即n）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于確定的數(shù)a，把極限概念中的函數(shù)為而自變量的變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)那么這個(gè)確定的數(shù)就

33、叫做自變量在這一變化過(guò)程中函數(shù)的極限.這個(gè)極限時(shí)與自變量的變化過(guò)程不同，函數(shù)極限就表現(xiàn)為不同的形式，數(shù)列極限看作函數(shù)當(dāng)n時(shí)的極限，這里的自己變量的變化過(guò)程是n.下面講述自變量的變化過(guò)程為其它情形時(shí)函數(shù)的極限，主要研究?jī)煞N情形：</p><p>　　自變量x任意接近于某個(gè)有限值或說(shuō)x趨于有限值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化情形.</p><p>　　自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大即趨于無(wú)窮大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)

34、值的變化情形.</p><p>　　3.1.1 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限</p><p>　　現(xiàn)在考慮自變量x的變化過(guò)程為的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于一個(gè)確定的數(shù)A，那么就是說(shuō)A是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，當(dāng)然這里我們首先假定點(diǎn)的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)是有定義的.</p><p>　　定義3.1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意的正數(shù)（不論它多少小

35、），總存在正整數(shù)，使得當(dāng)x滿(mǎn)足不等式0<<時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿(mǎn)足不等式</p><p><b>　　<</b></p><p>　　那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作=A</p><p>　　如果這樣的常數(shù)A不存在那么稱(chēng)時(shí)，沒(méi)有極限，習(xí)慣上表達(dá)不存在，定義3.2 =A0時(shí)，存在>0當(dāng)0<<時(shí)，有<

36、</p><p>　　對(duì)極限的定義的理解注意以下幾點(diǎn)：</p><p>　　定義中的<，表示x與的距離小于，而0<<表示x，因此0<<，表示有沒(méi)有極限與在點(diǎn)是否有定義并無(wú)關(guān)系.</p><p>　　定義中的刻畫(huà)與常數(shù)A的接近程度，刻畫(huà)x與的接近程度，是任意給的，一般是是隨著的變化而確定的.</p><p>　　因

37、為初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以求函數(shù)的在處的極限只要求函數(shù)的值）即可.</p><p>　　下面是有關(guān)函數(shù)極限的一些概念：</p><p>　　定義3.3 左極限 ）===A對(duì)于任意的正數(shù)（不論它多少?。?，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)x滿(mǎn)足不等式0< x -<時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿(mǎn)足不等式</p><p><b>　　<.</b>

38、;</p><p>　　定義3.4 右極限 ）===A對(duì)于任意的正數(shù)（不論它多少小）總存在正整數(shù)，使得當(dāng)x滿(mǎn)足不等式0< -x<時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿(mǎn)足不等式<.</p><p>　　3.1.2 自變量趨于無(wú)窮時(shí)的極限</p><p>　　無(wú)窮?。阂?為極限的量稱(chēng)為無(wú)窮小 </p><p>　　=A0時(shí)，存在一個(gè)X>0，

39、當(dāng)時(shí)，恒有<.</p><p>　　=A0時(shí)，存在一個(gè)>0當(dāng)0<<時(shí)，有<.4：無(wú)窮大（實(shí)際上是極限不存在的一中形式）</p><p>　　在自變量的某一變化過(guò)程中，若函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)窮大，則稱(chēng)函數(shù)為無(wú)窮大量.</p><p>　　=0時(shí)，存在一個(gè)X>0，當(dāng)時(shí)，恒有.</p><p>　　=0時(shí)，存在一>

40、;0，當(dāng)0<<時(shí)，恒有.</p><p>　　注：無(wú)界變量與無(wú)窮大的區(qū)別：無(wú)窮大量一定是無(wú)界變量，但是無(wú)界變量不一定是無(wú)窮大量，例如y==xsinx是無(wú)界變量，但不是無(wú)窮大量，因?yàn)槿==2n+時(shí)，=2n+</p><p>　　，當(dāng)n充分大時(shí)，可以大于一預(yù)先給定的正數(shù)M，取x==2n時(shí)，=0.</p><p>　　無(wú)窮小的比較：設(shè)=0，=0.</p

41、><p>　　若lim=0，則稱(chēng)是比高階的無(wú)窮小，記=0（）.</p><p>　　若lim=，則稱(chēng)是比高階的無(wú)窮小.</p><p>　　若lim=c，則稱(chēng)是比同階的無(wú)窮小.</p><p>　　若lim=1，則稱(chēng)是比等階的無(wú)窮小.</p><p>　　3.1.3 函數(shù)連續(xù)性的概念 </p><p&g

42、t;　　定義3.5 設(shè)函數(shù)在的領(lǐng)域內(nèi)有定義，給定x在處以增量x，相信的得到函數(shù)增量y=-.若極限，則稱(chēng)函數(shù)在x=處連續(xù).</p><p>　　定義3.6 設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足條件：</p><p>　?。?）在的領(lǐng)域內(nèi)有定義；</p><p><b>　?。?）存在；</b></p><p><b>　?。?）=<

43、/b></p><p><b>　　則稱(chēng)在處連續(xù).</b></p><p>　　注：一般來(lái)講，證明的命題用函數(shù)極限的第一個(gè)定義方便；判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù)，尤其是判斷分段函數(shù)在分界點(diǎn)處是否連續(xù)用定義2比較方便.</p><p>　　定義3.7 若函數(shù)在（a，b）內(nèi)任一點(diǎn)均連續(xù).則稱(chēng)在（a，b）內(nèi)連續(xù).</p><p&g

44、t;　　定義3.8 若函數(shù)在（a，b）連續(xù)，在x=a處右連續(xù)，在x=b處左連續(xù)，則稱(chēng)在上連續(xù).</p><p>　　3.1.4 間斷點(diǎn) </p><p>　　定義3.9 若函數(shù)在處出現(xiàn)如下3種情形之一：</p><p><b>　　（1）在處無(wú)定義；</b></p><p><b>　　（2）不存在；<

45、/b></p><p>　　（3）則稱(chēng)為的間斷點(diǎn).</p><p>　　下面是一些重要的定理與公式</p><p>　　定理3.1 =A=A.</p><p>　　定理3.2 =A=A，其中=0.</p><p>　　定理3.3 （保號(hào)性定理）=A，A0則存在一個(gè)0，當(dāng)x，x 時(shí)，0.</p>&l

46、t;p>　　定理3.4 若=A，0，則A0,</p><p>　　定理3.5 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.</p><p>　　定理3.6（夾逼定理）設(shè)在的領(lǐng)域內(nèi)，恒有，==A，則. =A.</p><p>　　定理3.7 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)</p><p>　　有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮??；、</p><p>　　

47、任意個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮?。?lt;/p><p>　　無(wú)窮小乘以有界量仍為無(wú)窮??；</p><p>　　定理3.8 （無(wú)窮大與無(wú)窮小之間的關(guān)系定理）</p><p>　　在同一變化趨勢(shì)下無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮??；非0的無(wú)窮小量之倒數(shù)為無(wú)窮大.</p><p>　　定理3.9 極限的運(yùn)算法則 設(shè)=A，=B，</p><p&

48、gt;　　則（1）lim=lim=A+B</p><p>　?。?）limf（x）g（x）=limf（x）limg（x）=AB、</p><p><b>　?。?）lim==</b></p><p>　　定理3.10 洛比達(dá)法則</p><p>　　法則1（型）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）滿(mǎn)足條件</p>

49、<p><b>　　（1）=0，=0；</b></p><p>　　（2）f（x），g（x）在的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，（在處除外）且；</p><p><b>　　（3）= </b></p><p>　　法則（型）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）滿(mǎn)足條件</p><p><b>　?。?）=0，=

50、0；</b></p><p>　　(2)存在一個(gè)X0，當(dāng)，f（x），g（x）可導(dǎo)，且；</p><p><b>　?。?）存在；</b></p><p><b>　　則=</b></p><p>　　法則2 （）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）滿(mǎn)足條件</p><p>

51、<b>　?。?），；</b></p><p>　?。?）f（x），g（x）在的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，（在處除外）且；</p><p><b>　?。?）存在；</b></p><p><b>　　則= .</b></p><p>　　法則 （）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）滿(mǎn)足條件</

52、p><p><b>　?。?）= ，= ；</b></p><p>　　(2)存在一個(gè)X0，當(dāng)，f（x），g（x）可導(dǎo)，且；</p><p><b>　?。?）存在；</b></p><p><b>　　則=</b></p><p>　　利用洛畢達(dá)法則應(yīng)該注

53、意的事項(xiàng)：</p><p>　?。?）只有或得未定式才可能用法則，只要是或，則可一直用下去；</p><p>　?。?）每用完一次法則都要將式子整理化簡(jiǎn)；</p><p>　?。?）為簡(jiǎn)化運(yùn)算經(jīng)常將法則與等價(jià)無(wú)窮小結(jié)合使用;</p><p>　　(4) 不存在，不一定不存在；</p><p>　　（5）當(dāng)x時(shí)，極限式中

54、含有sinx，cosx，不能用法則；當(dāng)x時(shí)，極限式中含有sin，cos；</p><p>　　定理3.11 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)；</p><p>　　重要公式（1）： =1，該極限的特點(diǎn)：型未定式</p><p><b>　　注：=0</b></p><p><b>　　重要公式（2）： </

55、b></p><p>　　注：關(guān)于冪指函數(shù)有以下結(jié)論:</p><p>　　設(shè)limu（x）=a>0,limv(x)=b,且limu(x)v(x)存在,則= .</p><p>　　設(shè)lim u（x）=0, limv(x)= ,且limu(x)v(x)存在,則lim=</p><p>　　設(shè)limu(x)=1,limv(x)= ,

56、且lim存在，則=</p><p>　　重要公式（3）：函數(shù)f（x）在x=處連續(xù)</p><p>　　重要公式（4）：當(dāng)x+時(shí)，以下各函數(shù)趨于+的速度</p><p>　　知道了函數(shù)趨于無(wú)窮的速度后，即刻可以求出一些極限，例如：</p><p><b>　　=0，=</b></p><p>　　重

57、要公式（6）：幾個(gè)常用極限：</p><p><b>　　，特例</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　3.2 函數(shù)極限

58、的教學(xué)</p><p>　　在多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐中,我較深地體會(huì)到:在數(shù)學(xué)教材的諸多定義,定理，法則,公式中,關(guān)于極限的定義和利用定義證明極限是學(xué)生感到較為抽象難懂的概念,特別是對(duì)于初學(xué)者,往往難以接受.因此,積累多年的教學(xué)體驗(yàn),談?wù)勔?jiàn)解.在我們現(xiàn)有教材中,關(guān)于極限定義是描述性定義,它直觀地反映了極限的概念,比較粗糙.對(duì)于初學(xué)極限概念的學(xué)生,不大適應(yīng),因此,我在此定義的基礎(chǔ)上,再把極限定義補(bǔ)充成“—”的精確定義.但

59、極限定義的“—”的思想方法學(xué)生也不好接受,對(duì)于用定義證明極限時(shí)為什么落腳找或N ,如何找到和N 也感到相當(dāng)困難.針對(duì)這個(gè)情況,結(jié)合自己多年來(lái)對(duì)這一問(wèn)題教學(xué)的一些做法如下:</p><p>　　3.2.1 如何理解定義</p><p>　　極限作為工具，主要是用來(lái)研究刻劃某一個(gè)過(guò)程中的變量的變化，我參考了各種教科書(shū)，在一般的教科書(shū)中所討論的極限，有那么兩種基本形式：</p>&

60、lt;p><b>　?、?</b></p><p><b>　?、?</b></p><p>　　比較一下可以看到，這些定義的實(shí)質(zhì)都是相同的，其中最基本的有，現(xiàn)在以這個(gè)定義為例子.</p><p>　　對(duì)于函數(shù)的極限，其定義是：如果對(duì)于每一個(gè)預(yù)先給定的任意小的正數(shù)，總存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)于適合不等式的一切X

61、，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)f（x）都滿(mǎn)足不等式，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)Y=f（x）當(dāng)時(shí)的極限.上述定義，是精確定義，要掌握這個(gè)定義，應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：1：要明確，的意義和作用，設(shè)變量，反映在數(shù)軸上，點(diǎn)x與1的距離越來(lái)越小，可以小于0.1,0.01,0.001····用不等式表示就是，····那么0.1,0.01,0.001····這些

62、很小的正數(shù)就刻劃了X與1的接近程度，由于時(shí)，這些很小的正數(shù)可以任意小，我們就用或表示，寫(xiě)做，滿(mǎn)足不等式的點(diǎn)x就組成了1的的領(lǐng)域(或1 的鄰域) ,鄰域內(nèi)的這些點(diǎn),全在區(qū)間(1 -,1 +) 內(nèi).可以看出, 取得愈小,鄰域愈小,則x 愈接近1 ,因此,定義中, 被用來(lái)刻劃自變量x→時(shí),x 任意趨近的相近程度.被用來(lái)刻劃函數(shù)f (x) →A 時(shí), f (x) 任意趨近A 的相近程度.2：要抓住定義的實(shí)質(zhì)———兩個(gè)不等式以上精確定義的實(shí)質(zhì),就

63、是其中的兩個(gè)不等式: 和,如何理解這兩個(gè)不等式呢? 在教材中函數(shù)的極限是這樣用描述法定義的:“設(shè)函數(shù)f ( x) 在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定</p><p><b>　　例：用定義證明</b></p><p>　　分析：用定義，就是要證明，對(duì)于預(yù)先給定的任意>0總存在>0使得時(shí)，不等式總成立.由于=1，A=4，是預(yù)先給定的任意小的正數(shù)，關(guān)鍵在于找，找出的事為了使

64、得成立時(shí)保證成立.于是就假設(shè)成立來(lái)倒推出，倒退要求下一步成立能保證上一步成立.要使，即，可取=.</p><p>　　證明：對(duì)于任意小的>0，取=，則當(dāng)時(shí)，，即成立，證畢.</p><p>　　可見(jiàn)，證明的全過(guò)程，緊緊圍繞2個(gè)不等式，也即是抓住了極限的實(shí)質(zhì)，運(yùn)用定義解決問(wèn)題.</p><p>　　3：要透視理解定義中的每一句話(huà)</p><p

65、>　　(1) 當(dāng) 時(shí),函數(shù)f (x) (雖然在除外) 是有意義的,因?yàn)閒 (x) 有意義,不等式才有意義,至于 點(diǎn),從,可x ≠ ,即定義沒(méi)有要求,在x ≠也一定成立.故f (x) 在x ≠ 是否有意義,就不作要求,舉一個(gè)很能說(shuō)明問(wèn)題的例子: - 1) / (x - 1) = 2 ,函數(shù)在x = 1 處顯然是無(wú)意義,但它的極限存在.另外,如果“”被改成“”或理解定義時(shí)忽略了 ,則會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤,因?yàn)闈M(mǎn)足“”的一切x包括了 ,那么要

66、(x) 對(duì)一切x成立, f (x) 在 就應(yīng)有意義.這樣,上例就不存在極限,顯然是錯(cuò)誤的.(2) 是任意小的正數(shù),但一經(jīng)給定后,就看成確定的數(shù),從而可確定,如上例題中要使| 2 (x + 1) - 4| <分別小于= 0. 01 , = 0. 0001 ,由證明知,相應(yīng)的=/ 2 = 0. 005 ,δ2=/ 2 = 0. 00005 ,故依賴(lài)于,常記為.一般說(shuō)來(lái), 愈小, 也就愈小.但要注意,在一般性證明中, 不能取成一個(gè)確定

67、的數(shù),而是對(duì)任意小的找.(3) 對(duì)于同一個(gè), 不是唯一的.即當(dāng)符合要求時(shí),若0 <′<,則更符合要求.因?yàn)闈M(mǎn)足<的點(diǎn)X ,一定滿(mǎn)足，而且找</p><p>　　3.2.2 怎樣運(yùn)用極限定義證明極限</p><p>　　用定義證明極限,也是學(xué)生普遍感到較為困難的,對(duì)于數(shù)列和函數(shù)的極限證明,上面已舉了兩個(gè)例子.如前所說(shuō),用定義證明極限,要緊緊圍繞兩個(gè)不等式,也就是找到符合條件

68、的N 或.基本的思路是:對(duì)于> 0 ,假設(shè)| f (x) - A|<成立,倒推不等式找出.一旦找到了,證明也就完成了.為了進(jìn)一步說(shuō)明其證明方法靈活性,下面再分析兩個(gè)例子.</p><p><b>　　例3.1 證明</b></p><p>　　分析:對(duì)于> 0 ,要使| - 4| <成立,即| x + 2| | x - 2|<,但這是不

69、能由| x - 2| </ | x + 2| 取得=/ (x + 2) ,因?yàn)榻o定后, 是可以相應(yīng)確定的,而/ | x + 2| 中含有x ,并不能確定,由于是任意小的正數(shù),它取的愈小,愈能保證|x2 - 4| <成立.故不妨先取= = 1 ,即令| x - 1| < 1 ,這時(shí)有| x + 2| = | x - 2 + 4| < | x - 2| + 4 < 1 + 4 = 5 ,則| x + 2| |x

70、 - 2| < 5| x - 2| ,那么,要使| x + 2| | x - 2| <,可使5| x - 2|<,即取=/ 5 ,因?yàn)楫?dāng)| x - 2| <= 1 ,同時(shí)| x - 2| < =/ 5 時(shí),才有| - 4| = | x + 2| | x - 2| < 5| x - 2| 5/ 5 =,即| - 4| <ε成立,所以取= min{ , } = min{1 , / 5}.</p

71、><p>　　證明:對(duì)于> 0 ,取= min{1 , / 5} ,則當(dāng)| x - 2| <時(shí),</p><p>　　必有| - 4| = | x + 2| | x - 2| < 5| x - 2| < 5 / 5 =,即|- 4| <成立, ∴證畢.</p><p>　　小結(jié):上面證明的關(guān)鍵是令| x - 2| < 1 后,將|

72、 - 4| = |x + 2| | x - 2| 擴(kuò)大成5| x - 2| ,這樣| x - 2| 的系數(shù)變?yōu)槌?shù),容易由5| x - 2| <確定,而且,由放大后5| x - 2| <成立,所以| x2 - 4| <更成立.但不能忽略放大的條件| x - 2|< 1 ,所以應(yīng)取1 與/ 5 之中的小者,這樣| x - 2| <就能保證| x - 2| < 1 和| x - 2| </ 5 都成

73、立,因而能由| x - 2| <推| - 4| <,一般地,對(duì)于這類(lèi)題,由| f (x) - A| <不好找到時(shí),可先令| x - | <將| f (x) - A| 放大成a| x - | ,從而確定=/ a ,于是找到= min{,} ,到此,定義中的“總存在”得到證實(shí),那么,找時(shí),是否都要將| f (x) - A|放大,要看具體情況,因?yàn)椴煌问降臉O限,定義中不等式方向不一樣,有時(shí)不用放大,而用縮小.<

74、;/p><p>　　總之,運(yùn)用極限定義證明極限時(shí),必須正確運(yùn)用絕對(duì)值的基本關(guān)系式,掌握不等式的運(yùn)算性質(zhì),初等函數(shù)的性質(zhì),按定義要求,緊緊圍繞兩個(gè)不等式,尋找δ的過(guò)程,有時(shí)需放大,有時(shí)需縮小,或恒等變形.通過(guò)多做練習(xí),掌握“ε—δ”的學(xué)習(xí)方法, 從而為接下來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打好扎實(shí)基礎(chǔ).這樣學(xué)起來(lái)就輕松些。</p><p><b>　　4 總 結(jié)</b></p>

75、<p>　　數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，它與我們的生活息息相關(guān)，從事不同的行業(yè)，它對(duì)我們工作帶來(lái)的作用之大，都是顯而易見(jiàn)的。同時(shí)我們能更好的認(rèn)識(shí)自然，了解事物的本質(zhì)．函數(shù)的極限在自然界中有著廣泛的應(yīng)用背景，因此近幾年關(guān)于函數(shù)的極限的各方面研究都取得了突破性的進(jìn)展，這些研究成果滲透到了社會(huì)的方方面面，為社會(huì)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，各國(guó)的專(zhuān)家學(xué)者對(duì)函數(shù)的極限做了深入的研究，并且已經(jīng)取得很多重要有益的結(jié)論，并且這些結(jié)論在函數(shù)的極限研究上

76、經(jīng)常被采用．根據(jù)所總結(jié)的文獻(xiàn)來(lái)看，許多學(xué)者已對(duì)函數(shù)的極限性質(zhì)、判定方法及其應(yīng)用方面有了很大的研究和了解,我們所學(xué)習(xí)的函數(shù)極限只涉及1維和2維的問(wèn)題,其實(shí)在我們很多實(shí)際應(yīng)用方面的時(shí)候都涉及到N維的問(wèn)題.隨著素質(zhì)教育的普及和教育改革的深入培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)與實(shí)踐能力已成為高校的主要目標(biāo),而我們學(xué)生數(shù)學(xué)的底子比較薄,所以我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是有一定難度的,尤其是貫穿微積分始終的極限概念及其思想方法對(duì)我們的學(xué)生猶如一道難以逾越的障礙

77、,希望通過(guò)本文的講解能加深同學(xué)對(duì)函數(shù)極限的認(rèn)識(shí).</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]吳傳生，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分［M］高等教育出版社 2003.</p><p>　　[2]李賽博，對(duì)高等數(shù)學(xué)中極限概念和極限求法的探討［J］,科學(xué)導(dǎo)刊2001,(1)：160.</p><p>　　[3]趙

78、云平，淺談函數(shù)極限［J］ ,科教文匯, 2009,(34)：129.</p><p>　　[4]賈玉峰，淺談高等數(shù)學(xué)中求極限的方法［J］， 赤峰學(xué)院報(bào)2008,(3)：15-17.</p><p>　　[5]宋顥，函數(shù)極限的求法探討［J］，現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)報(bào)2010 ,(12)：360—361.</p><p>　　[6]賀金波，函數(shù)極限的一種簡(jiǎn)化求法［J］，湖南師范學(xué)

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80、lt;/p><p>　　[10]李進(jìn)，郭軍，一類(lèi)極限的冪指函數(shù)極限求法［J］，高等函授學(xué)報(bào)2008 ,(12)：30-31. </p><p>　　[11]唐新華，淺談函數(shù)極限的幾種求法及注意事項(xiàng)［J］，科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)2009：67.</p><p>　　[12]任峰，淺談函數(shù)極限的若干常用求法［J］，科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)2009：246.</p><p>

81、;　　[13]王五生，不定式函數(shù)極限的七種求法［J］，河池師專(zhuān)學(xué)報(bào)2004.6：5-8. </p><p>　　[14]祥輝 ，李坤花，極限的多種求法［J］，常州教育學(xué)院學(xué)報(bào)2007,(8)：185—186. </p><p>　　[15] 曾亮，幾類(lèi)不定式極限的求法與技巧［J］，中國(guó)西部科技報(bào)2008,(7)：73-74. </p><p>　　[16].Walt

82、er Rudin著，Principle of Mathematical Analysis［M］,China Machine Press 2003. </p><p>　　[17]莫文娟，關(guān)于極限定義的教學(xué)方法［J］，廣西教育學(xué)院報(bào)2004,7:180-181. </p><p>　　[18]胡洪池，關(guān)于數(shù)列極限的教學(xué)與研究［J］，唐山師范學(xué)院報(bào)，2003,25（2）：55-56.</