“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題的研究【畢業(yè)設(shè)計(jì)】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題的研究</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與

2、應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘　要</b><

3、/p><p>　　【摘要】“希望杯” 全國數(shù)學(xué)邀請賽正越來越盛行于中小學(xué)生中間，它的賽題覆蓋面廣，基礎(chǔ)之中暗含玄機(jī)，常常要求考生能夠舉一反三，觸類旁通。在歷經(jīng)21屆之后，“希望杯”高二試題關(guān)注的考點(diǎn)基本已定向，但試題靈活多變，主要考察學(xué)生思維方式。我將對“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題進(jìn)行一個粗略剖析，從試題分類，典型解法，應(yīng)試技巧等方面完成，希望可以為將要參加“希望杯”的高二學(xué)生提供借鑒。歷屆真題是法寶，我從中挑選

4、作為我開展研究的例題和觀摩題。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】高二“希望杯”；試題分類；典型解法; 應(yīng)試技巧.</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】The Hope cup is becoming more and more popular among the juniors and t

5、he seniors, whose problems involve widely and combine the basic knowledge with more or less some mystery. Generally they call for the examinees’ ability of extrapolation and the mental flexibility. After being held for 2

6、1 times, the Hope cup (Senior grade two) has its own direction of the selection of problemes, which aims to check the thinking mode of the students. I’m going to give an rough idea of the problems </p><p>

7、;　　【KEYWORDS】Hope cup (Senior grade two)； classification of the problems； typical solutions; better skills.</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘　要I</b></p><p>

8、　　(Senior grade two)錯誤!未定義書簽。</p><p>　　AbstractI</p><p><b>　　目　錄II</b></p><p><b>　　1序言1</b></p><p>　　1.1“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽簡介1</p><p&

9、gt;　　1.2“希望杯”之意義所在——希望1</p><p>　　1.3備考與競賽1</p><p>　　2“希望杯”高二數(shù)學(xué)邀請賽賽題歸納3</p><p>　　2.1集合問題3</p><p>　　2.1.1情形一例題3</p><p>　　2.1.2情形二例題4</p>&

10、lt;p><b>　　2.2復(fù)數(shù)5</b></p><p>　　2.2.1例題解析5</p><p>　　2.3三角函數(shù)與反三角函數(shù)6</p><p>　　2.3.1三角函數(shù)：考察重點(diǎn)集中于三角函數(shù)的變形化簡，求最值，利用三角函數(shù)的范圍求解參數(shù)范圍6</p><p>　　2.3.2反三角函數(shù)：最重

11、要的是四個常用反三角函數(shù)的定義域，值域，及最重要的圖像10</p><p><b>　　2.4數(shù)列11</b></p><p>　　2.4.1等差數(shù)列11</p><p>　　2.4.2等比數(shù)列13</p><p>　　2.4.3遞推數(shù)列14</p><p>　　2.5不等式

12、15</p><p>　　2.5.1解絕對值、根號不等式15</p><p>　　2.5.2不等式中的參數(shù)求解16</p><p>　　2.5.3不等式中的極值問題17</p><p>　　2.6指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)18</p><p>　　2.6.1求解不等式18</p><p&

13、gt;　　2.6.2參數(shù)的求解19</p><p>　　2.6.3大小比較，增減性20</p><p>　　2.7二次(高次)方程（或函數(shù)）及其根的問題21</p><p>　　2.7.1方程的根問題21</p><p>　　2.7.2參數(shù)求解22</p><p>　　2.7.3函數(shù)最值問題24

14、</p><p>　　2.8抽象函數(shù)24</p><p>　　2.8.1抽象函數(shù)的奇偶性和周期性24</p><p>　　2.8.2抽象函數(shù)表達(dá)26</p><p>　　2.8.3抽象函數(shù)具體化26</p><p>　　2.9解析幾何27</p><p>　　2.9.1直線

15、，圓及他們的位置關(guān)系27</p><p>　　2.9.2直線與圓錐曲線30</p><p>　　2.10向量32</p><p>　　2.10.1向量的加法和乘法32</p><p>　　2.10.2向量的模與夾角33</p><p>　　2.10.3向量共線和垂直34</p>&l

16、t;p>　　2.11線性規(guī)劃及其應(yīng)用34</p><p>　　2.12數(shù)形結(jié)合35</p><p><b>　　同類題型展示37</b></p><p>　　2.13統(tǒng)計(jì)與概率37</p><p><b>　　3總結(jié)38</b></p><p>　　3

17、.1論文總結(jié)38</p><p>　　3.2賽題預(yù)測39</p><p>　　4“希望杯”與MPSI考試39</p><p>　　4.1MPSI考試簡介39</p><p>　　4.2從“希望杯”到“MPSI ”39</p><p>　　4.2.12011年第二十二屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽（高二

18、 第2試）試題法文翻譯39</p><p>　　4.2.2試題相通44</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)47</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　序言</b></p><p>　　“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽簡介<

19、/p><p>　　第一屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽于1990年舉辦，在比賽拉開帷幕之前，主要創(chuàng)始人周國鎮(zhèn)、徐偉宣、梅向明、王壽仁等做了相當(dāng)多得準(zhǔn)備工作，經(jīng)過一番艱苦、充分的籌備，終于讓“希望杯”打響了這第一炮。此后，在各方給予的資金、人力的支持下，“希望杯”以上揚(yáng)的態(tài)勢穩(wěn)定發(fā)展，堅(jiān)持每年按時舉行，已經(jīng)成功舉辦22屆。到今天，“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽發(fā)展成為由中國科學(xué)技術(shù)協(xié)會普及部、中國優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)研究會、《數(shù)

20、理天地》雜志社、中青在線、華羅庚實(shí)驗(yàn)室等主辦的全國性數(shù)學(xué)競賽。“希望杯”的名字深入廣大師生心中。</p><p>　　在每年的“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽中，各考點(diǎn)在同一時間開始和結(jié)束競賽。每年三月中旬進(jìn)行第一試，四月中旬進(jìn)行第二試。每屆“希望杯”結(jié)束后，全國組委會、命題委員會都會進(jìn)行一系列的交流和總結(jié)活動：到各地或國外考察，組織講學(xué)活動，培訓(xùn)教練員，組織夏令營活動，將試題匯編成書等等?！跋Ｍ背砷L的意義在于讓數(shù)學(xué)

21、成為多數(shù)人的數(shù)學(xué)，將數(shù)學(xué)從課本中解放出來，從多方面、多角度、多層次發(fā)展數(shù)學(xué)，從學(xué)生群體開始提升整個民族的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。</p><p>　　“希望杯”之意義所在——希望</p><p>　　“希望杯”能夠激發(fā)參賽中小學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生們感受到來自數(shù)學(xué)的魅力。通過參加“希望杯”，拓展學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維，在靈活自如應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的過程中，改變以往對數(shù)學(xué)的生硬理解。一方面提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，讓他們

22、對應(yīng)試的數(shù)學(xué)更得心應(yīng)手，另一方面，從中小學(xué)起培養(yǎng)學(xué)生們對數(shù)學(xué)的興趣，為他們將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好鋪墊。</p><p>　　“希望杯”同時也為數(shù)學(xué)教師們的教學(xué)研究帶來了新的內(nèi)容，注入了新的活力。教師常年面對同樣的課本，用千篇一律的方法傳能夠倒背如流的知識?，F(xiàn)在有了“希望杯”的加入，教師們也有了新的追求。他們尋求挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)新的知識，挑戰(zhàn)舊知識的全新出場，在這個過程中，充滿意外和驚喜，使教師們再次燃起對教育的濃濃熱情，在

23、事業(yè)上再攀高峰。</p><p>　　“希望杯”在廣大師生之間播種希望，也給我們國家?guī)硐Ｍ?。?shù)學(xué)是其他學(xué)科發(fā)展的基礎(chǔ)，幾乎所有領(lǐng)域都有數(shù)學(xué)用武之地。國民的數(shù)學(xué)修養(yǎng)提升了，國家的發(fā)展就有可依靠的人才。數(shù)學(xué)教育是教育之基礎(chǔ)，之重點(diǎn)，“希望杯”給數(shù)學(xué)教育帶來希望，就是給中國教育帶來希望。</p><p><b>　　備考與競賽</b></p><p&g

24、t;　　“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽的宗旨是：鼓勵和引導(dǎo)中小學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容，適當(dāng)?shù)赝貙捴R面； 希望啟發(fā)他們注意數(shù)學(xué)與其它課程的聯(lián)系和數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用 ，同時鼓勵他們的鉆研和探究精神，以培養(yǎng)他們科學(xué)的思維能力。由此可見“希望杯”的試題內(nèi)容不超過考生現(xiàn)有數(shù)學(xué)水平，不超過教學(xué)進(jìn)度，它源于課本又高于課本，試題看似常見卻又富含思考性和啟發(fā)性，往往是在熟悉的題中暗含玄機(jī)，讓人有防不勝防之感。</p><p>　　但

25、是相對而言，“希望杯”更注重基礎(chǔ)，覆蓋面雖廣，但是只要能熟練運(yùn)用基本知識點(diǎn)，學(xué)會知識的靈活應(yīng)用和解題方法的總結(jié)，并舉一反三，觸類旁通，要應(yīng)付好這場考試是容易的。其中重要的一個備考手段就是充分利用歷屆真題。歷屆真題幾乎涵蓋所有考試知識點(diǎn)，將之各個擊破，就是“希望杯”的決勝之道。故我在本文中，選取歷屆真題中有價值的試題，將他們一一分類，找到每類題型的解決之法，也就算解讀了整個“希望杯”賽事了。</p><p>　　高

26、二參賽學(xué)生作為一個特殊的參賽群體，既可以暫時避開來自高考的壓力，又作為“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽參賽隊(duì)伍中年級最高的一個群體，此賽事對這批學(xué)生來講意義更為重大。他們對初高中知識掌握較全面，命題人可供選擇的知識點(diǎn)更寬泛，同時又因?yàn)樗麄兗磳⒚媾R高考，此賽事在鍛煉高二參賽學(xué)生的思維，拓寬他們的解題思路方面有很大貢獻(xiàn)。希望本文對高二考生提供一點(diǎn)幫助。</p><p>　　“希望杯”高二數(shù)學(xué)邀請賽賽題歸納</p>

27、<p><b>　　集合問題</b></p><p>　　這塊內(nèi)容的考察點(diǎn)很寬泛，除了集合與集合運(yùn)算的知識點(diǎn)外，還有更多內(nèi)容涉及，比如最常見的不等式，所以集合本身是簡單的，但集合問題是復(fù)雜的。</p><p>　　該類問題一般是先給出一至兩個（可能多于兩個）集合，情形一已知集合關(guān)系，確定滿足條件的集合或滿足條件的參數(shù)；情形二，求集合補(bǔ)集或判定集合間關(guān)系。

28、</p><p><b>　　情形一例題</b></p><p>　　例1 (1991年“希望杯” ，1試）3、設(shè)集合P = { x，1 }，Q = { y，1，2 }，其中x，y∈{ 1，2，…，9 }，且P Q。將滿足這些條件的每一個有序整數(shù)對（x，y）看作一個點(diǎn)，這樣的點(diǎn)的數(shù)目是（ B ）</p><p>　?。ˋ）9

29、 （B）14 （C）15 （D）21</p><p>　　解答：首先，；又P Q，故或者。</p><p>　　=；，；共14個不同的點(diǎn)。</p><p>　　例2(2007年“希望杯” ，1試）2、設(shè)集合A = { x | x 2 + x – 2 = 0 }，B = { x | a x – 2 = 0 }，

30、若A∩B = B，則對應(yīng)的a值的個數(shù)是（D ）</p><p>　?。ˋ）0 （B）1 （C）2 （D）3</p><p>　　解答：A∩B = B;，故或或；</p><p>　　可解得對應(yīng)的a值為，，。</p><p>　　例3（2007年“希望杯” ，2試）1、設(shè)集合M = { x |

31、< 0 }，P = { x |> 0 }，若M P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（D ）</p><p>　?。ˋ）( – ∞，1 ) （B）( 0，1 ) （C）( 1，+ ∞ ) （D）[ 1，+ ∞ ])</p><p>　　解答：，，，不滿足題意；</p><p><b>　　,,滿足題意；</b

32、></p><p>　　，，，滿足題意；故。</p><p>　　例4（2009年“希望杯” ，2試）21、已知關(guān)于的不等式的解集為M，若2及－1有且恰有一個不在M中，求實(shí)數(shù)的取值范圍。</p><p><b>　　解答：當(dāng)時，有</b></p><p><b>　　解得a的范圍為</b>&l

33、t;/p><p>　　當(dāng)時，有解得a的范圍為；</p><p>　　綜上所述：a的范圍為。</p><p><b>　　情形二例題</b></p><p>　　例1（1993年“希望杯” ，1試）13、設(shè)集合M = { y | x – y 2 = 1，x，y∈R }，N = { y | x – y = 1，x，y∈R }，則

34、M∩N是（ D ）</p><p>　?。ˋ）{ ( x，y ) | ( 1，0 ) } （B）{ ( x，y ) | ( 2，1 ) }</p><p>　?。–）{ ( x，y ) | ( 1，0 )，( 2，1 ) } （D）R</p><p>　　解答：該題主要是要看清代表元素，對M，,是以x軸為對稱軸的拋

35、物線，；對N, ，直線，。故M∩N= R。</p><p>　　例2（2004年“希望杯” ，1試）3、集合M是函數(shù)y = lg ( – x 2 + 8 x + 20 )的單調(diào)遞減區(qū)間，N = { x |≥ 0 }，那么“x∈M∪N ”是“x∈M∩N ”的（ B ）</p><p>　?。ˋ）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件</p>

36、<p>　?。–）充要條件 （D）既不充分又不必要條件</p><p>　　解答：– x 2 + 8 x + 20，故；</p><p>　??；x∈M∪N x∈M∩N。</p><p>　　例3（2004年“希望杯” ，1試）6、設(shè)f ( x ) = x 2 + b x + c ( b，c∈R )，A

37、= { x | x = f ( x )，x∈R }，B = { x | x = f ( f ( x ) )，x∈R }，如果A中只含一個元素，那么（C ）</p><p>　?。ˋ）A B （B）A B （C）A = B （D）A ∩ B =</p><p>　　解答：A中只含一個元素，即說當(dāng),只有一個值，不妨令=a（）；<

38、/p><p>　　則B中，x = f ( f ( x ) )= =a。故A = B。</p><p>　　例4（1992年“希望杯” ，2試）4、設(shè)集合A = { x | ≥ x – 1 }，B = { x | arcsin+ 2 arccos< π }，那么（ B ）</p><p>　?。ˋ）A = B （B）A B （C

39、）B A （D）A∩B =Φ</p><p>　　解答：A中，≥ x – 1，解得；</p><p>　　B中，arcsin+ 2 arccos< π，因?yàn)閍rcsin+ arccos= ，故arccos<，由</p><p>　　的圖像，可知。故A B。</p><p>　　例5（1992年“希望杯” ，2試）6、

40、A = { x | x =+++ … +，n∈N }，B = { x | 4 x 2 – 24 x + 35 < 0 }，則A∩B是（ C ）</p><p>　　（A）( 2，3 )] （B）{ 2，3 } （C）{ 3 } （D）空集</p><p><b>　　解答：A中，x=；</b></p

41、><p>　　B中，；故A∩B={ 3 }，當(dāng)。</p><p><b>　　復(fù)數(shù)</b></p><p>　　主要涉及i的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)的對應(yīng)</p><p><b>　　例題解析</b></p><p>　　例1（1996年“希望杯” ，2試）14、已知i

42、 2 = – 1，在集合{ s | s = 1 + i + i 2 + i 3 + … + i n，n ∈ N }中包含的元素是 。（答案：0，1，1 + i，i）</p><p>　　解答：s = 1 + i + i 2 + i 3 + … + i n</p><p>　　每四項(xiàng)一個循環(huán)且四項(xiàng)之和為0，故，，，。</p><p>　　例2（1999年

43、“希望杯” ，2試）5、在復(fù)平面內(nèi)由，，( i – 1 ) 3對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的三角形的最大內(nèi)角等于（ A ）</p><p>　?。ˋ）π – arccos （B）– arccos （C）45 （D）120</p><p>　　解答：=，=，( i – 1 ) 3，這三點(diǎn)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，；它們之間的距離為,,;</p>&

44、lt;p>　　是最大邊，所以是最大內(nèi)角。。</p><p><b>　　故。</b></p><p>　　例3（2001年“希望杯” ，2試）17、復(fù)數(shù)z滿足等式z +? | z | 3 = 0，則z = 。0，± i</p><p>　　解答:令，則z +? | z | 3 ，</p><p>　

45、　故實(shí)部、虛部均為0：，從第一試得，代入第二式，得</p><p><b>　　或。故。</b></p><p>　　例4（2002年“希望杯” ，2試）16、復(fù)數(shù)z滿足條件arg=，則| z |的取值范圍是________。（答案：[，]）</p><p><b>　　解答：令，則</b></p><

46、p><b>　　；因?yàn)?lt;/b></p><p>　　arg=，故= ，即；</p><p>　　可以看作是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，畫圖可知，該距離在。</p><p>　　三角函數(shù)與反三角函數(shù)</p><p>　　三角函數(shù)：考察重點(diǎn)集中于三角函數(shù)的變形化簡，求最值，利用三角函數(shù)的范圍求解參數(shù)范圍</p>

47、<p>　　三角函數(shù)的變形化簡:熟練運(yùn)用三角函數(shù)變形公式</p><p>　　例1（1990年“希望杯”，1試）15、A，B，C是三角形的三個內(nèi)角，那么cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 4 cos A cos B cos C = 　　　 ?！　。ù鸢福酣C 1）</p><p><b>　　解答：</b></p>

48、<p><b>　　。 </b></p><p>　　例2（1991年“希望杯” ，1試）2、如果sin θ + cos θ =，且0 < θ < π，則tan θ的值是（ A ）</p><p>　?。ˋ）– （B）– （C） （D）</p><p>　

49、　解答：聯(lián)立方程組即可，注意0 < θ < π，。</p><p>　　例3（2009年“希望杯” ，2試）12、銳角△ABC的三個內(nèi)角的度數(shù)成等比數(shù)列，且B＝2A，則其中最小角的值等于 ?！　。ù鸢福海?lt;/p><p><b>　　解答：分情況討論</b></p><p>　?、偃齻€內(nèi)角由小到大為：A&

50、lt;B<C,則;但C=4A=，為鈍角；舍棄。</p><p>　?、谌齻€內(nèi)角由小到大為：A<C<B,則；</p><p>　　最大角B=2A=<;可以</p><p>　?、廴齻€內(nèi)角由小到大為：C<A<B,則；但B=,鈍角。舍棄。</p><p>　　例4（2003年“希望杯” ，2試）11、銳角α，β，

51、γ成等差數(shù)列，公差為，它們的正切成等比數(shù)列，則α = ，β = ，γ = 。　?。ù鸢福?，，）</p><p><b>　　解答:令</b></p><p><b>　　所以。</b></p><p><b>　　同類題型展示</b></p><p&

52、gt;　　（1994年“希望杯” ，1試）20、△ABC的三個內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列，2 A，2 B，2 C的正割也成等差數(shù)列，則cos ( 2 B – 2 A )的值等于 ?！。ù鸢福?或–）</p><p>　?。?007年“希望杯” ，2試）9、已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足條件cos 3 A + cos 3 B + cos 3 C = 1，則△ABC（ C ）</p

53、><p>　?。ˋ）是銳角三角形 （B）是直角三角形 （C）是鈍角三角形 （D）的形狀不確定</p><p>　　（2004年“希望杯” ，2試）11、方程= 3 tan 2 x的解集是 。</p><p>　?。ù鸢福簕 x | x = k π – arctan ( 4 ±)，k∈Z }）</p><p

54、>　　（1998年“希望杯” ，2試）15、不等邊△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，它們的公差為θ，又csc 2 A，csc 2 B，csc 2 C也成等差數(shù)列，則cos θ = 。（答案：）</p><p>　?。?009年“希望杯” ，1試）13．若，則</p><p>　　的值是 ?！。ù鸢福海?lt;/p><p>

55、;　　求極值：一般有兩種情形，一是化為一個函數(shù)名，根據(jù)它的固定范圍求解，這里有個非常有用的公式；二是化為二次函數(shù)，利用自變量的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。各種函數(shù)應(yīng)用，基本不等式</p><p>　　例1（1991年“希望杯” ，1試）6、函數(shù)f ( x ) = a sin x + b的最大值是1，最小值是– 7，則b sin 2 x – a cos 2 x的最大值是（ C ）</p><

56、p>　?。ˋ）5或4 （B）4或– 5 （C）4或– 3 （D）5或– 3</p><p><b>　　解答: ,其中；</b></p><p>　　f ( x ) = a sin x + b的最大值是1，最小值是– 7，下面根據(jù)的正負(fù)討論：</p><p>　　若，則有，此時b

57、sin 2 x – a cos 2 x的最大值；</p><p>　　若，則有，此時b sin 2 x – a cos 2 x的最大值4.</p><p>　　例2（1993年“希望杯” ，1試）25、設(shè)θ∈R，則函數(shù)f ( θ ) = sin θ – cos θ + sin θ ? cos θ的值域是 ?！。ù鸢福篬 ––，1 ]）</p><p>

58、;　　解答：令t = sin θ – cos θ，則–≤ t ≤， 且f ( θ ) = –t 2 + t += –( t – 1 ) 2 + 1；</p><p>　　化為二次函數(shù)在固定區(qū)域上求值域。顯然對稱軸在定義域內(nèi)，故，</p><p>　　。故值域[ ––，1 ]。</p><p>　　例3（2004年“希望杯” ，2試）20、記關(guān)于x的函數(shù)y = cos

59、 2 x + 3 a sin x的最大值為g ( a )，則g ( a )的解析 。（答案：）</p><p>　　解答：；下面分類討論：</p><p>　?、?，即。函數(shù)值最大。；</p><p>　　②，即。函數(shù)值最大。</p><p><b>　　;</b></p><p>　　③

60、，即。函數(shù)值最大。。</p><p><b>　　同類題型展示</b></p><p>　?。?998年“希望杯” ，2試）14、函數(shù)y = sin 2 x + 2 a sin x – a – 2，( a∈R )的最大值為u，則u是a的函數(shù)，該函數(shù)的解析式為 。(答案：;)</p><p>　　（199

61、2年“希望杯” ，1試）13、方程3 cos x + 4 sin x = 6的解集是 。（答案：Φ）</p><p>　?。?997年“希望杯” ，1試）3、函數(shù)y = sin x cos x + cos x + sin x + 1的值域是（D ）</p><p>　?。ˋ）[ 0，+ ∞ ]) （B）( 0，+ ∞ ) （C）[–，+] （D

62、）[ 0，+]</p><p>　?。?994年“希望杯” ，1試）13、當(dāng)≤ x ≤時，函數(shù)y = tan x + cot x的最大值是 。</p><p><b>　　（答案：）</b></p><p>　　利用三角函數(shù)的范圍求解參數(shù)范圍</p><p>　　例1（1995年“希望杯” ，1試）13、已

63、知關(guān)于x的方程2 sin x = | a – 1 |有解，則在a的取值范圍內(nèi)所有整數(shù)的和是 。（答案：5）</p><p><b>　　解答：，即，所以；</b></p><p><b>　　取整數(shù)。</b></p><p>　　例2（1994年“希望杯” ，1試）17、使關(guān)于x的方程sin x = log

64、( 2 a 3 – 3 ) 有解的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?！　。ù鸢福骸?a ≤）</p><p>　　解答： ，只要利用一下。</p><p>　　反三角函數(shù)：最重要的是四個常用反三角函數(shù)的定義域，值域，及最重要的圖像</p><p>　　反三角函數(shù)的定義域和值域</p><p>　　例1（1998年“希望杯” ，2試）

65、3、函數(shù)y = arccos ( a x – 1 )在[ 0，1 ]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ D ）</p><p>　?。ˋ）( 1，+ ∞ ) （B）( 0，+ ∞ ) （C）( 0，1 )] （D）( 0，2 )]</p><p>　　解答：若，當(dāng)[ 0，1 ]，，則需滿足，故；</p><p>　　若，當(dāng)[ 0，1

66、 ]，，在y = arccos的定義域之外。故。</p><p>　　例2（1998年“希望杯” ，1試）12、當(dāng)< α < 2 π時，arccos ( sin α )的值等于 　　　。</p><p><b>　?。ù鸢福酣C α）</b></p><p><b>　　解答：</b></p>

67、;<p><b>　　當(dāng)</b></p><p>　　例3（1996年“希望杯” ，2試）17、函數(shù)y = arccos ( x – x 2 ) 的值域是 　 。</p><p>　?。ù鸢福篬 arccos，π ]）</p><p>　　解答，根據(jù)y = arccos x圖像可知</p><p

68、>　　例4（1992年“希望杯” ，1試）6、設(shè)α = arccos，β = arccos，γ = arcsin，則（ C ）</p><p>　?。ˋ）β < γ < α （B）γ < α < β （C）γ < β < α （D）α < β < γ</p><p><b>　

69、　圖像題</b></p><p>　　例1（1998年“希望杯” ，2試）13、不等式arcsin | x | > arccos | x | 的解集是 。</p><p>　?。ù鸢福篬 – 1, –])∪(，1 )]） </p><p>　　解答：畫圖可知，arcsin | x |與arccos | x |的圖像相交于

70、兩點(diǎn)</p><p>　?。?，），（，）。在這兩點(diǎn)的兩邊即是滿足題意的部分。</p><p>　　例2（1997年“希望杯” ，1試）5、不等式arcsin ( x – 1 ) < x的解是（ C ）</p><p>　?。ˋ）[ 0，1 ] （B）[ 1，2 ] （C）[ 0，2 ] （D）[ 0，+ ∞

71、 ])</p><p>　　用圖像可以發(fā)現(xiàn)，只要在定義域范圍內(nèi)，不等式均成立，</p><p><b>　　故只要，即。</b></p><p>　　例3（1995年“希望杯” ，1試）28、方程arccos | x | = arcsin 2 x的解是 　　。（答案：x =）</p><p>　　解答:從圖像可以看到

72、，交點(diǎn)處滿足arccos x = arcsin 2 x，兩邊取下，即 </p><p><b>　　故，解得 。</b></p><p><b>　　數(shù)列</b></p><p><b>　　等差數(shù)列</b></p><p><b>　　公式有限，多做變形</b

73、></p><p>　　例1（1990年“希望杯”，1試）1、等差數(shù)列的第p項(xiàng)是1990，第1990項(xiàng)是p，那么第p + q（q ≥ 1991）項(xiàng)（ B ）</p><p>　?。ˋ）是正數(shù) （B）是負(fù)數(shù) （C）是零 （D）符號不能確定</p><p><b>　　解答：由題意</b></p>

74、<p><b>　　，兩式相減得：</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　例2（1996年“希望杯” ，1試）16、等差數(shù)列{ a n }的項(xiàng)數(shù)m是奇數(shù)，并且a 1 + a 3 + … + a m = 44，a 2 + a 4 + … + a m – 1 = 33，則m = 。（答

75、案：7）</p><p><b>　　解答：共有項(xiàng)</b></p><p>　　共有項(xiàng)，將，但錯開相減：</p><p>　　而 m ( a 1 +d ) = m ( S 1 – S 2 ) ；故77=11 m</p><p>　　例3（2001年“希望杯” ，2試）4、已知等差數(shù)列{ a n }中，| a 3 | =

76、| a 9 |，公差d < 0，則使前n項(xiàng)和S n取最大值的n的值是（ C ）</p><p>　　（A）5 （B）6 （C）5和6 （D）5和6和7</p><p>　　解答：| a 3 | = | a 9 |，但公差d < 0，故得到，且，</p><p><b>　　，故5和6時最大

77、</b></p><p>　　例4(1991年“希望杯” ，1試）20、數(shù)列{ a n }是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列，按下列加括號的方式分成群：（a 1），（a 2，a 3），（a 4，a 5，a 6，a 7），…，各群所含的項(xiàng)的數(shù)目順次成公比為2的等比數(shù)列，試用a，d，n表示第n群各元素的和 。（答案：2 n – 1 a + ( 3 2 n – 3 – 2 n – 2 ) d）&

78、lt;/p><p>　　解答：第n群含項(xiàng)的數(shù)目為項(xiàng)，不妨記為，，，，先計(jì)算首項(xiàng)：</p><p>　　前n-1 個群中包含項(xiàng)的個數(shù)為，故第n個群中的各項(xiàng)分別為：</p><p><b>　　，，…，</b></p><p><b>　　和S=</b></p><p><b&

79、gt;　　=</b></p><p><b>　　==</b></p><p><b>　　同類題型展示</b></p><p>　　（1993年“希望杯” ，1試）19、等差數(shù)列的S 10 = 20，S 20 = 60，則S 30的值是 。</p><p><b&g

80、t;　?。ù鸢福?20）</b></p><p>　　（1995年“希望杯” ，1試）7、等差數(shù)列{ a n }的首項(xiàng)a 1 = – 5，它的前11項(xiàng)的平均值為5，若從中抽去一項(xiàng)，余下的10項(xiàng)的平均值為4，則抽去的是（ D ）</p><p>　?。ˋ）a 8 （B）a 9 （C）a 10 （D）a 11&l

81、t;/p><p>　　（1999年“希望杯” ，1試）3、某等差數(shù)列共2 n + 1項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)的和為95，偶數(shù)項(xiàng)的和為90，則第n + 1項(xiàng)是（ B ）</p><p>　?。ˋ）7 （B）5 （C）4 （D）2</p><p>　　（1995年“希望杯” ，2試）5、等差數(shù)列{ a n }的前n項(xiàng)的和記為S

82、 n，已知a 1 > 0，S 7 = S 13，則當(dāng)S n的值最大時，n =（C ）</p><p>　?。ˋ）8 （B）9 （C）10 （D）11</p><p>　?。?997年“希望杯” ，2試）11、等差數(shù)列{ a n }中，a 5 = 9，a 10 = 19，則2 n + 1 – 3是這個數(shù)列中的

83、第 　項(xiàng)。　　?。ù鸢福? n – 1）</p><p><b>　　等比數(shù)列</b></p><p>　　例1（2000年“希望杯” ，1試）2、等比數(shù)列{ a n }中，a 1 + a 2 + … + a 5 = – 27，a 6 + a 7 + … + a 10 = 3，則( a 1 + a 2 + … + a n ) =（ D ）</p

84、><p>　　（A）– 30 （B）30 （C） （D）–</p><p><b>　　解答：令，，…，則</b></p><p>　　是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。</p><p>　　( a 1 + a 2 + … + a n ) =</p><p>

85、　　例2（1999年“希望杯” ，1試）2、若無窮等比數(shù)列{ a n }的公比q = –，則=（ A ）</p><p>　?。ˋ） 1 （B）1 （C）– （D）</p><p><b>　　解答：</b></p><p>　　例3（1999年“希望杯” ，1試）15、已知等比數(shù)列{ a n

86、= a 1 q n – 1，q∈N，n∈N }中，對某個n > 6有a 1 + a n = 1094，a 2 a n – 1 =，則a 3 + a n – 2 = 。?。ù鸢福?26）</p><p><b>　　解答：，</b></p><p>　　將第二式代入第一式，得到或。根據(jù)q∈N，∈N，當(dāng)，=；故。=2187.</p&g

87、t;<p>　　為了滿足q∈N，n∈N，，。a 3 + a n – 2 = </p><p><b>　　同類題型展示</b></p><p>　　（1995年“希望杯” ，1試）17、若3，sin x + cos x，依次成等比數(shù)列，x∈[ 0，2 π ]，則x = 。（答案：或或或）</p><p&

88、gt;　?。?996年“希望杯” ，2試）11、等比數(shù)列{ a n }的公比為q，前n項(xiàng)和S n = A，則前3 n項(xiàng)的和S 3 n = ?！　。ù鸢福? 1 + q n + q 2 n ) A）</p><p><b>　　遞推數(shù)列</b></p><p>　　例1（1990年“希望杯”，1試）2、設(shè)S k =++ … +，則（ C ）&

89、lt;/p><p>　?。ˋ）S k + 1 = S k + （B）S k + 1 = S k ++</p><p>　?。–）S k + 1 = S k +–（D）S k + 1 = S k –+</p><p><b>　　解答：</b></p><p>　　例2（1994年“希望杯” ，1試）28、在數(shù)列

90、{ a n }中，a 1 = 13，a 2 = 56，對所有自然數(shù)n，都有a n + 1 = a n + a n + 2，則a 1994 = 　?！　。ù鸢福?6）</p><p>　　解答：題中給出的遞推公式不是那么容易看出規(guī)律，我們不妨寫出幾項(xiàng)，找找規(guī)律：</p><p><b>　　，，，，，，</b></p><p>　　，…

91、由此可見a n + 6 = a n， 故</p><p>　　例3（1993年“希望杯” ，2試）14、在數(shù)集序列{ 1 }，{ 2，3 }，{ 4，5，6 }，{ 7，8，9，10 }，… 中第100個數(shù)集內(nèi)所有數(shù)的和等于 。（答案：500050）</p><p>　　解答：第100個數(shù)集內(nèi)含100個元素。</p><p>　　前99

92、個數(shù)集一共含有個元素，故第100個數(shù)集為</p><p><b>　　和為</b></p><p><b>　　同類題型展示</b></p><p>　?。?009年“希望杯” ，2試）20、設(shè)集合A＝｛1，2，3，…，n｝，則集合A的所有非空子集中元素和的和等于 　　?！。ù鸢福海?lt;/p>&l

93、t;p>　?。?990年“希望杯”，1試，19）數(shù)列{ a n }中，若a 1 = – 1，a 2 = 2，a n + 1 – a n – a n + 2 = 0，則數(shù)列的前1990項(xiàng)的和等于 　　　 。（答案：5?。?lt;/p><p>　　（2004年“希望杯” ，2試）19、數(shù)列{ a n }中，a 1 = 1，a n + 1 =（其中n∈N*），a 2004 = 　　。（答案：2 +　）<

94、;/p><p>　?。?009年“希望杯” ，1試）17．已知數(shù)列中，，則數(shù)列的第10項(xiàng) ?！　。ù鸢福海?lt;/p><p><b>　　不等式</b></p><p>　　解絕對值、根號不等式</p><p>　　例1（1993年“希望杯” ，1試）9、已知a < 0，則不等式> x +a的解集是

95、（ D ）</p><p>　?。ˋ）[ –a，a ] （B）[ –a，a ]) （C）[a，–a ] （D）[a，–a ])</p><p>　　解答：首先，即，得到；</p><p>　　而在這個范圍內(nèi)，不等式右邊，故> x +a恒成立，所以。</p><p>　　例2（2002年“希望杯” ，1試）24、若a ≤ – 1，則不

96、等式≥ a的解是 。</p><p>　?。ù鸢福? – ∞，– 1 )]∪[( 1，+ ∞ ))</p><p><b>　　解答：或；</b></p><p>　　當(dāng)，≥ a，而a ≤ – 1，不等式左邊正，右邊負(fù)，恒成立，故；</p><p>　　當(dāng)，，≥ a，兩邊都為正，平方得</p>

97、;<p>　　，當(dāng)a ≤ – 1，，則上述不等式左邊為正，右邊為負(fù)，恒成立，故。</p><p><b>　　綜上，。</b></p><p><b>　　同類題型展示</b></p><p>　?。?996年“希望杯” ，1試）11、不等式> x – 1的解集是 　。（答案：x <）

98、</p><p>　?。?002年“希望杯” ，2試）8、不等式x – 2 – | x 2 – 4 x + 3 | ≥ 0的解集是（ A ）</p><p>　?。ˋ）[，] （B）[，]</p><p>　?。–）( – ∞，)]∪[(，+ ∞ ) （D）[，]</p><p>　　（200

99、9年“希望杯” ，1試）1．不等式的解集是（ C ）</p><p>　　A．（—2，—1） B．（1，2）C． D．</p><p><b>　　不等式中的參數(shù)求解</b></p><p>　　例1（2006年“希望杯” ，2試）2、若不等式| x – m | < 1成立的充分不必要條件是2 < x < 3，

100、則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ B ）</p><p>　?。ˋ）( 2，3 ) （B）[ 2，3 ] （C）( – ∞，2 ) （D） [ 3，+ ∞ ])</p><p>　　解答：| x – m | < 1，</p><p>　　的充分不必要條件是2 < x < 3，則滿足 。</p><p&

101、gt;　　例2(2006年“希望杯” ，1試）13、已知| a x – 3 | ≤ b的解集是[ –，]，則a + b = 　　 。</p><p><b>　?。ù鸢福?）</b></p><p>　　解答：| a x – 3 | ≤ b</p><p><b>　　若，則，得到，</b></p><

102、;p>　　若，則，得到，與矛盾，舍去。</p><p><b>　　同類題型展示</b></p><p>　?。?990年“希望杯”，1試）18、不等式≥ x + t的解集是空集，則實(shí)數(shù)t的取值范圍（用區(qū)間形式）是 。（答案：( – ∞，1 –)∪(+ 1，+ ∞ )）</p><p>　?。?000年“希望杯” ，1試

103、）15、若不等式>的解集為{ x | x ≥ 4 }，則整數(shù)k的最大值為 。（答案：12）</p><p>　　(2006年“希望杯” ，1試）18、不等式x + 2≤ a ( x + y )對于一切正數(shù)x、y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為 ?！。ù鸢福?）</p><p><b>　　不等式中的極值問題</b></p>

104、;<p>　　例1（2009年“希望杯” ，1試）23．已知函數(shù)，當(dāng) 時，的取得最大值 . ?。ù鸢福?lt;/p><p><b>　　解答：，</b></p><p>　　若，，，不可能取到最大值；故，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取到等號。</p><p>　　例2（199

105、0年“希望杯”，1試）20、若x，y > 0，且x + 2 y = 1，則( x +) ( y +)的最小值是。</p><p>　　解答：利用基本不等式，，故；</p><p>　??；當(dāng)，遞減，故的最小值在處取到：。故原式最小值為。</p><p>　　例3（2000年“希望杯” ，1試）7、設(shè)a > b > c，n∈N，且+≥恒成立，則n的最大

106、值為（ C ）</p><p>　?。ˋ）2 （B）3 （C）4 （D）5</p><p>　　解答：n ≤+= 1 ++ 1 += 2 ++；</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號。</p><p><b>　　同類題型展示</b></p><

107、;p>　　(2007年“希望杯” ，1試）15、函數(shù)y = x +的值域是 。（答案：[ – 1，]）</p><p>　?。?007年“希望杯” ，2試）3、與函數(shù)y =的值域沒有交集的集合是（B ）</p><p>　?。ˋ）( – 2，0 ) （B）( –，0 ) （C）( –，1 ) （D）( –，)</p

108、><p>　?。?004年“希望杯” ，1試）18、x，y∈R時，函數(shù)f ( x，y ) = ( x + y ) 2 + (– y ) 2的最小值是。</p><p><b>　?。ù鸢福?）</b></p><p>　　(2006年“希望杯” ，1試）22、若x，y∈R，且滿足+= 6，則x + 2 y的最小值是 ，最大值是

109、 。（答案：32，80）</p><p><b>　　指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)</b></p><p><b>　　求解不等式</b></p><p>　　例1（1991年“希望杯” ，1試）28、log x< 2的解集（區(qū)間）是 。</p><p>　?。ù鸢福? 0，1 )∪

110、(，+ ∞ )）</p><p><b>　　解答：分情況討論</b></p><p><b>　　，，，得到，故；</b></p><p><b>　　，，，得到，</b></p><p><b>　　綜上：。</b></p><p&

111、gt;　　例2（1999年“希望杯” ，1試）5、不等式log(– x ) < 2的解集是（ A ）</p><p>　?。ˋ）[ 1，) （B）( 1，) （C）(，) （D）[ 1，)</p><p><b>　　解答：，故 </b></p><p><b>　　若，始終成立；</b>

112、;</p><p><b>　　若，。</b></p><p><b>　　綜上。</b></p><p><b>　　同類題型展示</b></p><p>　?。?991年“希望杯” ，1試）16、關(guān)于x的不等式log a x > 1（ a > 0，a ≠ 1）的

113、解是 。（答案：）</p><p>　?。?003年“希望杯” ，1試）12、不等式log(+ 1 ) – log(– 1 ) < –的解集是 。（答案：( 1，17 + 12)）</p><p>　?。?997年“希望杯” ，2試）16、不等式<的解集</p><p>　　是

114、。（答案：( 1，2 )∪( 3，+ ∞ )）</p><p>　?。?007年“希望杯” ，2試）4、不等式log 2 x< 0的解集是（ C ）</p><p>　?。ˋ）(，+ ∞ ) （B）( 1，+ ∞ ) （C）(，1 ) （D）( 0，)</p><p><b>　　參數(shù)的求解</

115、b></p><p>　　例1（1995年“希望杯” ，1試）12、若f ( x ) = log a ( x + 1 ) + log a ( 3 – x )，( – 1 < x < 3 )的最小值是– 2，則a = 。（答案：）</p><p>　　解答：f ( x ) = log a ( x + 1 ) + log a ( 3 – x ) ，而，故&

116、lt;/p><p>　　例2（1999年“希望杯” ，1試）13、已知函數(shù)y = log[ a x 2 + 2 x + ( a – 1 ) ]的值域是[ 0，+ ∞ ])，則參數(shù)a的值是 。?。ù鸢福? –）</p><p>　　解答：可知，故二次函數(shù)滿足開口向下且最大值是1；即，可解得。</p><p>　　例3（1996年“希望杯” ，2試）18

117、、已知函數(shù)y = lg ( m x 2 – 4 x + m – 3 ) 的值域是R，則m的取值范圍是 ?！　。ù鸢福? 0，4 )]）</p><p>　　解答：y = lg ( m x 2 – 4 x + m – 3 ) 的值域是R，則二次函數(shù)的函數(shù)值可取到全部正數(shù)，故滿足，可解得。</p><p><b>　　同類題型展示：</b>&

118、lt;/p><p>　?。?007年“希望杯” ，2試）13、若函數(shù)f ( x ) = log a x（a > 0且a ≠ 1）在區(qū)間[ a，3 a ]上的最大值比最小值大，則a = 。?。ù鸢福?或）</p><p>　　（1996年“希望杯” ，2試）13、已知不等式() x 2 – a > 4 – x的解集是( – 2，4 )，那么實(shí)數(shù)a的值是

119、 。（答案：8）</p><p>　　（2004年“希望杯” ，2試）17、If the function y = log[ a x 2 – 3 x + ( a – 1 ) ] is monotonically decreasing in the interval ( 1，+ ∞ ) , then the range of the parameter a is ．（答案：( 2，+ ∞ )

120、）</p><p>　　（英漢詞典：monotonically單調(diào)地；interval 區(qū)間；parameter參數(shù)）</p><p>　?。?996年“希望杯” ，2試）9、若< 1的解為 ( 1，2 )]，則a的取值范圍是（ B ）</p><p>　?。ˋ）( –，) （B）( 0，) （C）( 0，) （D）( – 1，