城市測量中高斯克呂格投影族及其參數(shù)的討論

1、<p>　　城市測量中高斯克呂格投影族及其參數(shù)的討論</p><p>　　摘要：由于城市面積增大、跨度增加，從而造成城市坐標系中常用投影方案（高斯克呂格投影、UTM投影、雙標經(jīng)線等角橫圓柱投影）的長度變形不能滿足《城市測量規(guī)范》中所要求的精度指標（長度變形<2.5cm/km）。本文以跨度在1°經(jīng)度以內(nèi)的城市作為研究對象，通過介紹高斯克呂格投影族的原理并給出一般通用公式，詳細討論分析了中參

2、數(shù)q和K的選取問題，提出了兩類最優(yōu)方案。 </p><p>　　關(guān)鍵詞：城市坐標系；高斯克呂格投影族；長度變形 </p><p>　　中圖分類號: O4-34 文獻標識碼：A </p><p>　　1 高斯克呂格投影族的原理以及一般公式 </p><p>　　高斯克呂格投影又稱等角橫切圓柱投影，如圖1.1所示，假想有一個橢圓柱面橫套在地球橢球

3、體外面，并與某一條子午線（中央子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，再按高斯克呂格投影的條件，將中央子午線兩側(cè)各一定徑差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展開即成為投影面如圖1.2。 </p><p><b>　　圖1.1圖1.2 </b></p><p>　　高斯克呂格投影是沿經(jīng)線分帶的等角投影，但是沿經(jīng)線分帶的等角投影方案是無窮盡的，那么我們將所有沿經(jīng)線分

4、帶的等角投影的集合統(tǒng)稱為高斯克呂格投影族。下面給出高斯克呂格投影族的一般通用公式。 </p><p>　　高斯克呂格投影族是滿足如下投影條件的一類等角投影，即： </p><p>　　中央經(jīng)線和赤道投影為互相垂直的直線，且為投影的對稱軸； </p><p>　　投影后無角度變形； </p><p>　　中央經(jīng)線上長度比為。 </p>

5、;<p>　　這類投影通常用作地形圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和分幅圖的投影方案，而且按照一定的經(jīng)差進行分帶，由于經(jīng)差不大，那么其弧度值也是一微小量。所以可將投影的一般方程式展成經(jīng)差的冪級數(shù)【49】。如下式： </p><p><b>　?。?-1） </b></p><p>　　式中，是緯度B的函數(shù)，為待定系數(shù)。 </p><p>　　根據(jù)投影

6、條件②，應(yīng)滿足等角投影條件即柯西-黎曼條件： </p><p>　?。?-2）將（1-1）代入（1-2），并比較同次冪的系數(shù)，可得到下面一組式子： </p><p><b>　?。?-3） </b></p><p>　　由上式可知，為確定各系數(shù)，關(guān)鍵在求導(dǎo)數(shù)，為此首先確定的值。由投影條件③，我們可以得到： </p><p&g

7、t;<b>　?。?-4） </b></p><p>　　于是就得到：，，。 </p><p>　　當(dāng)給定中央子午線上長度比后，便可求出項，以及、… 、各值。由此就可以進行高斯克呂格投影族中各種投影方案的實際計算。 </p><p>　　高斯克呂格投影族長度比計算公式為： </p><p><b>　?。?-5

8、） </b></p><p>　　式中，，，長度變形即為。 </p><p>　　由此可見，高斯克呂格投影族是無窮多等角投影的集合，它們之間的區(qū)別在于的不同，當(dāng)給定為某一具體的函數(shù)形式，便可以得到某一具體的等角投影。當(dāng)時時即為著名的高斯克呂格投影,族中的其他等角投影可稱之為高斯克呂格投影的衍生投影。高斯克呂格投影族常用的的表達式主要有三種：，，。其中最常用的為第一種，在下一節(jié)中

9、對其參數(shù)q和K的選取進行討論和分析。 </p><p>　　2 討論并分析中參數(shù)q和K的選取 </p><p>　　在等角投影中，適當(dāng)?shù)倪x擇參數(shù)q和K，便可得到各種等角投影方案。經(jīng)比較分析q=0，即=1的等角投影即高斯克呂格投影、q=0.0004，K=0的等角投影即UTM投影、q=0.000609（=），K=1的等角投影即雙標經(jīng)線等角橫圓柱投影三種投影方案長度變形值在緯度0°~9

10、0°、經(jīng)度0°~3°區(qū)間的分布情況，發(fā)現(xiàn)限制長度最大變形為1/1000。但我國《城市測量規(guī)范》規(guī)定，城市坐標系的選擇和建立應(yīng)滿足投影長度變形不大于2.5cm/km，即相對長度變形不大于1/40000。而且隨著城市面積的擴張，已有的坐標系已經(jīng)不能滿足這一要求，邊緣地區(qū)變形超限?，F(xiàn)在城市跨度基本上在1°左右，有的甚至更寬，常見的投影方案的長度變形均不能完全滿足城市坐標系的精度要求（不大于2.5cm/k

11、m）。高斯克呂格投影在低緯度地區(qū)不滿足精度要求（不大于2.5cm/km）；UTM投影完全不滿足精度要求；雙標經(jīng)線等角橫圓柱投影在中低緯度地區(qū)也不能滿足精度要求。由此可見，常用的投影方案均不能滿足城市坐標系中長度變形的精度指標，因此需要對參數(shù)q和K重新選取獲得新的投影方案。 </p><p>　　3 兩類最優(yōu)投影方案 </p><p>　　在上面的介紹中，我們知道參數(shù)q的意義是中央經(jīng)線上的最

12、大變形值，若要滿足精度指標（不大于2.5cm/km），那么q的取值范圍為（0，0.000025）。筆者通過實驗，選取了兩類最優(yōu)的投影方案。 </p><p>　　第一類，以減小投影變形絕對值為目的，取q=0.000017（=），K=1或1.5或2均可，不過當(dāng)K=1時，圓柱割在20′的兩條經(jīng)線上，類似于雙標經(jīng)線等角橫圓柱投影（割在2°經(jīng)線上），因此經(jīng)差為20′的兩條經(jīng)線無變形。 </p>&

13、lt;p>　　第二類，在限制長度最大變形為2.5cm/km以內(nèi)，以計算簡單為目的，那么取K=0，q的范圍為（0.000013，0.000025）。這類似于UTM投影，可以稱其為非標準的UTM投影。 </p><p>　　新的投影方案均可以滿足城市坐標系的長度變形精度指標。因此在建立一個滿足變形要求的城市坐標系統(tǒng)時，按照不同的目的可以分別選取以上兩類投影方案。 </p><p><

14、;b>　　3 總結(jié) </b></p><p>　　本文主要介紹高斯克呂格投影族的原理并給出一般通用公式，方便計算機編程運算。詳細討論并深入分析中參數(shù)q和K的選取問題，給出常用的投影方案（高斯克呂格投影、UTM投影、雙標經(jīng)線等角橫圓柱投影）的長度變形值，比較三種投影的優(yōu)點和不足及其適用性。但是在城市坐標系建立過程中，這三種投影長度變形均不能滿足《城市測量規(guī)范》所要求的精度指標（不大于2.5cm/k

15、m），因此筆者對q和K進行了重新的選取，確定了兩類最優(yōu)的方案：第一類，以減小投影變形絕對值為目的，取q=0.000017（=），K=1或1.5或2均可；第二類，在限制長度最大變形為2.5cm/km以內(nèi)，以計算簡單為目的，那么取K=0，q的范圍為（0.000013，0.000025）。這兩類方案均可滿足長度變形的精度要求。 </p><p><b>　　參考文獻： </b></p>