數(shù)學(xué)的視覺盛宴

1、<p><b>　　數(shù)學(xué)的視覺盛宴</b></p><p>　　數(shù)字是否曾令你頭疼？你是否曾經(jīng)覺得那些數(shù)學(xué)公式枯燥又無味？但在藝術(shù)的王國(guó)里，它們可是十分生動(dòng)有趣的。北京故宮、巴黎圣母院、羅丹的雕塑“思想者”，可都包含著數(shù)學(xué)原理呢。下面的藝術(shù)品，不是藝術(shù)家們天馬行空想象出來的，它們都是數(shù)學(xué)原理實(shí)踐的成果。 </p><p>　　雙曲型燈罩（編織物） </

2、p><p>　　學(xué)過數(shù)學(xué)的你，一定知道“幾何之父”歐幾里得，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。我們學(xué)習(xí)的許多公理，都有歐式幾何的影子。例如“若△ABC滿足∠ABC=90°，作BD⊥AC”，就是從他的射影定理擴(kuò)展出來的。 </p><p>　　但是，他的一個(gè)公理的假設(shè)，曾經(jīng)難倒了大批數(shù)學(xué)家。這個(gè)公理就是平行公理。 </p><p>　　為了便于理解，想

3、象一條直線，以及直線之外的任意一點(diǎn)，你可以通過這一點(diǎn)，畫出一條與該直線平行的直線嗎？歐幾里得的回答是可以，而且有且僅有一條。 </p><p>　　但平行公理并不像其他公理那么易于證明。自公元前3世紀(jì)起到公元19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們投入了無窮無盡的精力，他們幾乎嘗試了各種可能的方法，但都以失敗告終。數(shù)學(xué)家們甚至發(fā)出了這樣的質(zhì)疑：“歐幾里得，你可以證明它的存在嗎？而不僅僅是假設(shè)……” </p><p

4、>　　1826年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基用一個(gè)簡(jiǎn)單的回答震驚了世界，他的回答是“不是這樣的！”在羅巴切夫斯基的非歐幾何中，通過一個(gè)特定的點(diǎn)，存在著許多條直線可以與指定的直線不相交。 </p><p>　　羅氏幾何的創(chuàng)立對(duì)幾何學(xué)和整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動(dòng)作用，但一開始并沒有得到足夠的重視，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊。即使如此，在20世紀(jì)初期，物理學(xué)家蘭道還是意識(shí)到?jīng)]有任何一條歐幾里得定律能與羅巴切夫斯

5、基的公理相媲美，后者將能更好地描述我們的物理世界。當(dāng)然，唯一不足的是視覺化這一公理十分困難。 </p><p>　　現(xiàn)在，這個(gè)問題由一件針織物解決了。讓我們走進(jìn)編織大師――邁耶的世界，他編織的雙曲型燈罩，是幫助人們視覺化羅巴切夫斯基幾何的絕佳工具。 </p><p>　　想象下你正在鉤編一個(gè)平面方形物體。與普通編織不同的是，你每換一行，針數(shù)會(huì)增加10%，這樣，針數(shù)會(huì)以幾何級(jí)數(shù)的速度增長(zhǎng)。如

6、果第一行有10針，只需要25行后，每一行的針數(shù)將會(huì)超過100針，在50行后，將會(huì)超過1000針，伴隨著這么多額外的針數(shù)，針織品不會(huì)是扁平的，它會(huì)膨脹，并且呈現(xiàn)波浪狀。 </p><p>　　邁耶從編織一個(gè)普通的螺旋物開始，為了避免針織物扁平化，她會(huì)在邊角處增加足夠的針數(shù)，因而編織出了能捕捉到光或者讓光穿過的波浪狀的褶皺邊角。 </p><p>　　隨著針數(shù)的增加，針織物會(huì)無限地膨脹和延伸，

7、這些直線將永遠(yuǎn)不會(huì)與這條直線相交，這件漂亮的針織物視覺化了羅氏幾何定律。 </p><p>　　黃昏景色（數(shù)字化藝術(shù)） </p><p>　　大多數(shù)藝術(shù)家用畫筆描繪著色彩的王國(guó)，但也有藝術(shù)家利用數(shù)學(xué)公式創(chuàng)造出了視覺大餐。他們是怎么做到的呢？這是因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)重要特性：它們能被定義，例如你列一個(gè)函數(shù)對(duì)等式y(tǒng)=2x+1，可以規(guī)定x的量，就能得出一定的結(jié)果。同時(shí)，這個(gè)對(duì)等式也能運(yùn)用在計(jì)算機(jī)程序中

8、。 </p><p>　　藝術(shù)家艾蒂安?阿曼特能夠?qū)⒑瘮?shù)中每一個(gè)數(shù)字與一種色彩相對(duì)應(yīng)，這樣，每一個(gè)函數(shù)表達(dá)式將會(huì)得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的圖形。例如，為了創(chuàng)造如上圖所示的黃昏景色，阿曼特會(huì)用到多個(gè)函數(shù)公式，既有描述空氣里物質(zhì)微粒隨機(jī)彈跳和抖動(dòng)的函數(shù)（這種懸浮微粒隨機(jī)撞擊的現(xiàn)象也稱為布朗運(yùn)動(dòng)），也有能產(chǎn)生波光粼粼的湖面效果的函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)與另一個(gè)能生成裝飾背景的函數(shù)共同構(gòu)成了如圖所示的畫面效果。 </p>&l

9、t;p>　　分形的氣虹（數(shù)字化藝術(shù)） </p><p>　　與大多數(shù)人選擇在家看電視放松不同的是，高中數(shù)學(xué)老師丹尼爾?格里斯覺得玩電腦是一種很好的放松方式，當(dāng)然不是打游戲，而是通過編程制造出數(shù)字化的藝術(shù)作品。 </p><p>　　這個(gè)作品起源于格里斯想嘗試讓電腦畫出一個(gè)不規(guī)則的圓，效果要像是出自一只晃動(dòng)的手畫出來的樣子。來源于分形理論的技術(shù)為格里斯提供了理想的工具。利用這個(gè)技術(shù)，格

10、里斯能在不同的區(qū)域創(chuàng)造出相似的晃動(dòng)，仿佛將輕微抖動(dòng)的手指與正經(jīng)歷著更大顫抖的手腕結(jié)合了起來，共同締造出了流動(dòng)著的不規(guī)則效果。 </p><p>　　同時(shí)，格里斯在人造手繪畫面中心的邊緣上，繪制出了一些可愛的小點(diǎn)。在分形技術(shù)下，格里斯讓圓在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上，慢慢地在頁(yè)面上延伸。同時(shí)，用不同的顏色連接圓上的每一個(gè)點(diǎn)。這樣，一幅巧奪天工的分形圖形就呼之欲出了。 </p><p>　　異域天使（數(shù)

11、字化藝術(shù)） </p><p>　　弗朗西斯科?科米特的畫作“異域天使”的創(chuàng)作理念，可以追溯到2300年前的古希臘幾何學(xué)家阿波羅?尼奧斯，阿波羅的圓錐曲線直接啟發(fā)了科米特的創(chuàng)作靈感。 </p><p>　　為了制作一幅“異域天使”，首先需要做成一個(gè)阿波羅盤墊。你可以先畫三個(gè)相切的小圓，隨后畫一個(gè)大圓與它們內(nèi)切。在三個(gè)圓相切的所有區(qū)域，畫上第四個(gè)圓與三個(gè)圓相切。一直重復(fù)上面的步驟，最后，你會(huì)得

12、到一張精致的盤墊。這就是阿波羅盤墊，也被科米特形象地命名為“異域天使”。 </p><p>　　阿波羅盤墊的一個(gè)顯著特性就是，如果你將任意一個(gè)圓的內(nèi)部區(qū)域看成整體，當(dāng)放大它們的時(shí)候，無論圓的大小如何，都會(huì)呈現(xiàn)相同的形狀。在數(shù)學(xué)上，這種現(xiàn)象被稱為分形，即在任意小的尺度上都能有精細(xì)的自相似的結(jié)構(gòu)。 </p><p>　　但這也提出了一個(gè)棘手的數(shù)學(xué)難題：你怎么樣讓你的第四個(gè)圓正好放在三個(gè)圓相切的

13、區(qū)域？阿波羅自稱知道方法，但因時(shí)間久遠(yuǎn)，阿波羅記有如何創(chuàng)作第四個(gè)圓的著作失傳了。 </p><p>　　在文藝復(fù)興時(shí)期，有關(guān)第四個(gè)圓的迷思再次掀起波瀾，許多學(xué)者自告奮勇地試圖重現(xiàn)阿波羅已經(jīng)失傳的方法。遺憾的是，都未成功。 </p><p>　　1643年，笛卡爾發(fā)現(xiàn)了計(jì)算出第四個(gè)圓半徑的方法，但他仍然沒找到讓第四個(gè)圓正好放在正確區(qū)域的方法。直到20世紀(jì)90年代，AT&T實(shí)驗(yàn)室的艾倫

14、?威爾克斯與柯林?馬琳最終找到了謎一樣的第四個(gè)圓。當(dāng)然，他們不得不借助電腦完成。 </p><p>　　電腦現(xiàn)在已經(jīng)能很快速地制作出阿波羅盤墊，而制造出的效果出乎意料地精美絕倫。將大圓的下半圓的中間區(qū)域，用不同的顏色標(biāo)注出來，并用規(guī)則的形狀連接起來，甚至還能看到一個(gè)長(zhǎng)著翅膀的“異域天使”。 　　藍(lán)色的太陽 </p><p>　?。ㄊ掷L的數(shù)字化藝術(shù)） </p><p&g

15、t;　　身披沙麗的波斯女人，正搖曳著身姿，赤腳在精致的波斯毯上翩翩起舞，駱駝隊(duì)馱著異域珍寶在沙漠中列隊(duì)前行……提到波斯，總能帶給人無限的遐想。而傳統(tǒng)的波斯藝術(shù)，也走出了時(shí)光的囹圄，與現(xiàn)代的數(shù)字化手段結(jié)合，獲得了新的生命力。譬如這幅“藍(lán)色的太陽”。 </p><p>　　摩根?麗薩是一位專攻波斯塔齊布藝術(shù)的藝術(shù)家。塔齊布富有濃厚的波斯傳統(tǒng)的藝術(shù)風(fēng)格，常用來裝飾中世紀(jì)圣書的邊角和扉頁(yè)。禮薩?沙漢吉?jiǎng)t是美國(guó)馬里蘭州陶森

16、大學(xué)一名研究數(shù)字藝術(shù)的數(shù)學(xué)家，鐘情于波斯風(fēng)的磚瓦裝飾雕繪。這幅“藍(lán)色的太陽”就是圣書裝飾藝術(shù)和磚瓦雕繪藝術(shù)的結(jié)晶，也是他們兩人合作的成果。 </p><p>　　“藍(lán)色的太陽”的中心結(jié)構(gòu)是十角星。早在幾個(gè)世紀(jì)前，波斯藝術(shù)家們已經(jīng)將這種有十個(gè)棱角的幾何形狀，融入到了他們的藝術(shù)創(chuàng)作中。 </p><p>　　要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)十角星，首先需要畫一個(gè)五邊形，然后將另外一個(gè)五邊形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)36度，放于第一

17、個(gè)五邊形之上。擦掉多余的邊線，留下邊角，一個(gè)十角星就制作出來了。 </p><p>　　“藍(lán)色的太陽”由4個(gè)同軸的十角星構(gòu)成。禮薩?沙漢吉在十角星之間最外層和最里層的區(qū)域，采用了波斯的磚瓦雕飾風(fēng)格，當(dāng)然，僅僅是用了那些能用直尺和羅盤就能畫出來的圖紋。而麗莎采用波斯傳統(tǒng)的莖、葉子和花朵的形象，創(chuàng)造了一種塔齊布風(fēng)格，將其填充在了兩個(gè)較大的中間區(qū)域。兩個(gè)藝術(shù)家們聯(lián)合創(chuàng)造出了10級(jí)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。從圖像的中心畫一條直線，將

18、每條邊切成兩半，沿著它對(duì)折，對(duì)折后各角的邊也會(huì)相等。 </p><p>　　所以，制作波斯風(fēng)格磚瓦的藝術(shù)家們都是數(shù)學(xué)家，即使他們并不會(huì)去證明任何公理，但他們依舊展現(xiàn)了只有數(shù)學(xué)家才懂得的數(shù)學(xué)技巧。 </p><p><b>　　歡樂之心（木雕） </b></p><p>　　美國(guó)雕塑家喬治?哈特的“歡樂之心”的絕妙處就在于，它沒有用任何固定物，僅

19、僅通過拼接和嵌套，就造就了一個(gè)有著穩(wěn)定形態(tài)的木雕藝術(shù)品。 </p><p>　　兩個(gè)小的結(jié)構(gòu)支撐起了這個(gè)木雕。第一個(gè)結(jié)構(gòu)為互相交織的6個(gè)五邊形，每一個(gè)五邊形都不會(huì)得到任何支撐而孤立地懸浮著。第二個(gè)結(jié)構(gòu)則是5個(gè)內(nèi)部嵌套的四面體（四面體為三角形底座的金字塔形），同樣，四面體彼此獨(dú)立。如果單獨(dú)放置，每一個(gè)結(jié)構(gòu)都會(huì)散架，但當(dāng)兩個(gè)結(jié)構(gòu)嵌套在一起時(shí)，它們的懸浮狀態(tài)找到了支撐。 </p><p>　　這

20、個(gè)木雕中的每個(gè)結(jié)構(gòu)都有30條邊，我們知道，每一個(gè)五邊形有5條邊，6個(gè)五邊形一共30條；而5個(gè)四面體中，每一個(gè)四面體都有6條邊，這樣，邊數(shù)總和也是30條。哈特讓五邊形的邊緣呈現(xiàn)鋸齒狀，讓四面體的邊緣呈現(xiàn)像波浪一樣上下起伏的效果。然后，將每一條鋸齒狀五邊形的邊與大波浪紋的四面體的邊嵌套，30塊激光切割的這樣組合的木片，就制造出了這個(gè)漂亮的木雕。 </p><p>　　這個(gè)木雕看起來很復(fù)雜，但其實(shí)也是用到了數(shù)學(xué)原理――

21、菱面三十面體。菱面三十面體，最知名的應(yīng)用當(dāng)屬在《龍與地下城》游戲中的30面死亡陷阱，30面體的骰子被作為游戲道具，用來表示怪物的生命強(qiáng)度和位置。但游戲里的30面體僅僅是一個(gè)噱頭，而“歡樂之心”里的菱面30面體，指的是擁有棱角和平面的30個(gè)棱形的組合。 </p><p>　　事實(shí)上，除了這些人造的藝術(shù)品，在我們的大自然中，也無時(shí)無刻在上演著“數(shù)字藝術(shù)”。蝴蝶翅膀的花紋圖案和色彩是左右對(duì)稱的，花朵具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的性征，