ftp162.105.160.5pubbooklibrary自然數(shù)理有限元fem

1、第四章：動力學問題的有限元方法,§4.1動力學問題有限元方法的求解步驟,二維彈性動力學的基本方程是：,平衡方程：,幾何方程：,本構(gòu)方程：,邊界條件：,初始條件：,結(jié)構(gòu)在隨時間變化的荷載作用下，位移、應變、應力等都是時間的函數(shù)。,建立靜力學方程是從最小勢能原理出發(fā)，而動力學方程是從Lagrange方程入手。,動力分析有限元方法的基本步驟：,1、連續(xù)區(qū)域的離散化：在動力分析中，因為引入了時間坐標，我們所處理的是（x,y,z,t)四

2、維問題。在有限元分析中一般只對空間區(qū)域進行離散。,2、構(gòu)造插值函數(shù)：因為只對空間離散，故單元內(nèi)插值函數(shù)可表示為：,(4.1.1),或：,(4.1.2),其中：,注意：現(xiàn)在的結(jié)點參數(shù) 是時間的函數(shù)。,3.形成單元、質(zhì)量、剛度、阻尼、荷載矩陣,由位移對時間的微商是速度：,(4.1.3),根據(jù)lagrange方程建立動力學方程：,(4.1.4),式中,，,分別是系統(tǒng)的動能、勢能、廣義力,廣義坐標和廣義速度。,單元的動能和勢能可分別表

3、示如下：,（4.1.5),(4.1.6),（4.1.7),將（3.1.3）代入（3.1.5-7） 有,,,（單元質(zhì)量矩陣）,（4.1.8),,,,,,,（單元剛度陣）,（單元荷載向量）,（單元阻尼矩陣）,（4.1.9),（4.1.10),這里 是整體結(jié)點位移向量，不同于前面的位移場 ，雖然記號相同。,4.形成整體求解方程,系統(tǒng)總動能為各單元動能之和：,系統(tǒng)總勢能為各單元勢能之和：,系統(tǒng)總阻尼為各單元阻尼之和：,其中

4、,其中,其中,這里整體剛度、質(zhì)量、阻尼、荷載矩陣的形成方法和靜力學剛度矩陣形成方法相同。,（總質(zhì)量矩陣）,（總剛矩陣）,（總荷載）,（總阻尼陣）,將上述三式代入Lagrange方程有：,(4.1.11),這是一個二階常微分方程組，若忽略阻尼的影響，方程可化簡為：,(4.1.12),如果上式右端為“零”，則表示系統(tǒng)的自由振動。,（5）求解動力學方程（4.1.11).,（6）計算結(jié)構(gòu)的應變和應力，一旦求得結(jié)點位移，便可由幾何方程求得應變，進

5、而求得應力等物理量。,,§4.2質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣,1、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣,,在上節(jié)中定義的單元質(zhì)量矩陣 稱為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣或一致質(zhì)量矩陣。這是因為導出它時，和導出剛度短陣所根據(jù)的原理(Gaterkin方法)及所采用位移插值函數(shù)是一致的．同時質(zhì)量分布也是按照實際分布情況考慮的。此外，在有限元法中還經(jīng)常采用所謂集中(或團聚)質(zhì)量矩陣。它假定單元的質(zhì)量集中在結(jié)點上，這樣得到的

6、質(zhì)量矩陣是對角線矩陣。,考慮平面應力－應變單元，單元形式采用三結(jié)點三角形單元。,協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣：,在三結(jié)點三角形單元中，位移的插值函數(shù)為：,（4.2.1),其中,是單元面積。,則有：,由三結(jié)點三角形單元的插值函數(shù)同其面積坐標相同的性質(zhì)和面積坐標的積分公式：,容易得到三結(jié)點三角形單元的單元協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣為：,其中,是單元的質(zhì)量。,（4.2.2),集中質(zhì)量矩陣：,單元的每個結(jié)點上集中三分之一的質(zhì)量，這樣就得到單元的集中質(zhì)量矩陣。,可以由單元的動

7、能來推導單元的集中質(zhì)量矩陣。,由單元的動能,寫成矩陣的形式：,,（集中質(zhì)量矩陣）,即三結(jié)點三角形單元的集中質(zhì)量為：,采用集中質(zhì)量矩陣遇到的困難是對于高次單元如何將單元的質(zhì)量分配到各個結(jié)點上，不像三結(jié)點三角形單元那樣明顯而簡單，可能有多種選擇，不易把握。另外，如果單元位移是協(xié)調(diào)的，同時單元剛度矩陣的積分也是精確的，則采用協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣時，求得結(jié)構(gòu)的頻率將代表真實頻率的上限，這點對設(shè)計工作是有意義的。,在實際分析中，協(xié)調(diào)質(zhì)量短陣和集中質(zhì)量矩陣

8、都有應用，一般情況下，兩者給出的結(jié)果也相差不多。質(zhì)量矩陣積分表達式的被積函數(shù)是插值函數(shù)的平方項，而剛度矩陣則是其導數(shù)的平方項，因此在相同精度要求條件下，質(zhì)量短陣可用較低階的插值函數(shù)，而集中質(zhì)量矩陣從實質(zhì)上看，正是這樣一種替換方案。替換的好處是使計算得到簡化，特別是采用直接積分的顯式方案求解運動方程時，如果阻尼矩陣也采用對角短陣，可以省去等效剛度短陣的分解步驟，這點在非線性分析中特有更明顯的意義。,2.振型阻尼矩陣,,基于和協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣的

9、定義同樣理由稱,為協(xié)調(diào)阻尼矩陣。,在以后的討論中，將知道系統(tǒng)的固有振型對于 和 是具有正交性的，因此固有振型對于比例于 和 的阻尼矩陣 也是具有正交性的。所以這種阻尼短陣稱為比例阻尼或振型阻尼。今后還知道，利用系統(tǒng)的振型矩陣對運動方程進行坐標變換時，振型阻尼短陣經(jīng)變換后和質(zhì)量短陣及剛度矩陣的情況相同，將是對角矩陣陣。這樣一來，經(jīng)變換后運動方程的各個自由度之間將是互不耦合的，因此每

10、個方程可以獨立地求解，這將對計算帶來很大方便。,通常允許將結(jié)構(gòu)的實際阻尼矩陣簡化為 的線性組合即,其中 是不依賴于頻率的常數(shù)，這種振型阻尼稱為Rayleigh阻尼。,§4.3直接積分法,直接積分是指在積分運動方程之前不進行方程形式的變換，而直接進行逐步數(shù)值積分。通常的直接積分法是基于兩個概念，一是將在求解域 內(nèi)的任何時刻 都應滿足運動方程的要求，代

11、之以僅在一定條件下近似地滿足運動方程，例如可以僅在相隔 的離散的時間點滿足運動方程。二是在一定數(shù)目的 區(qū)域內(nèi)，假設(shè)位移 ，速度 ，加速度 的函數(shù)形式。,在以下的討論中，假定時間 的位移 ，速度 ，加速度 已知。并假定時間求解域 被等分為 個時間間隔 。 在討論具體算法時，假定

12、 時刻的解已經(jīng)求得，計算的目的在于求 時刻的解。,1、中心差分法,將速度和加速度用位移的差分格式表示為：,（4.3.1),(4.3.2),在時刻 的位移解答 可由時刻 的運動方程應得到滿足而建立，即：,(4.3.3),將（4.3.1)、(4.3.2)代入（4.3.3)有：,,整理得：,(4.3.4),如果已經(jīng)求得

13、 、 ，則由上式可進一步解出 。,需要指出得是：該算法有一個起步問題。因為當 時，除了初始條件已知的 而外，還需要知道 。,由,(4.3.5),削去 得,即,(4.3.6),而 可由 得到。,利用中心差分法求解運動方程得步驟為：,1.初

14、始計算,（1）形成剛度矩陣 ，質(zhì)量矩陣 和阻尼矩陣 。,（2）給定 ，并計算出 。,（3）選擇時間步長 ， 并計算積分常數(shù) 、,。,（4）計算,（5）形成有效質(zhì)量矩陣：,（6）三角分解,2.對于每一個時間步長：,（1）計算時間 的有效載荷,（2）求解時間 的位移,（3）如果需

15、要，計算時間 的加速度和速度。,2.Newmark方法,Newmark積分方法實質(zhì)上是線性加速度法的一種推廣。它采用下列假設(shè),(4.3.7),(4.3.8),在 時刻滿足,(4.3.9),由（4.3.8)得到：,(4.3.10),將其代入（4.3.7)有,（4.3.11),將（4.3.11、4.3.10)代入(4.3.9)有,,Newmark方法具體算法：,1、初始計算,（1）形成剛度矩陣 ，質(zhì)

16、量矩陣 和阻尼矩陣 。,（2）給定 ，并計算出 。,（3）選擇時間步長 ，參數(shù) ，和 ，并計算積分常數(shù)：,（4）形成有效剛度陣,（6）三角分解,2 .對每一個時間步長：,（1）計算 時刻的荷載。,（2）求解時間 的位移,（3）求解時間 的加速度和速度,說明：Newmark方法是隱式方法，

17、其穩(wěn)定性與 的選取無關(guān)。,采用振型疊加法求解運動方程可分為以下三個主要步驟：,1、將運動方程轉(zhuǎn)換到正則振型坐標系,（1）求解系統(tǒng)的固有頻率和固有振型,不考慮阻尼影響的系統(tǒng)自由振動方程：,§4.4振型疊加法,它的解可以假設(shè)為以下形式,（4.4.1),（4.4.2),將（4.4.2)代入（4.4.1)得到廣義特征值問題:,(4.4.3),其中,求解上式廣義特征值問題,可以得到n個特征值和特征向量,分別記為:,,,稱為系統(tǒng)

18、的固有頻率, 稱為系統(tǒng)的固有振型.,固有頻率和固有振型具有性質(zhì):,利用它們,原特征值問題可以表示為:,(4.4.4),(2)位移基向量的變換,因為 可以作為一個n 維空間的基底, 所以 可以按 展開:,其中,(4.4.5),將(4.4.5)代入(4.1.11)并左乘 有:,注意到特征向量的正交性質(zhì)有:,,,,相應的初始條件轉(zhuǎn)換成:,(4.4.6),兩端左乘 有,(4

19、.4.7),在(3.4.7)中如果如果阻尼是振型阻尼,則有 的正交性可得,寫成矩陣的形式:,其中 是第 i 階振型阻尼比.,在此種情況下, (3.4.6) 式為 n 個相互不耦合的二階常微分方程,(4.4.8),上式中的每一個方程都相當于一個單自由度系統(tǒng)的振動方程, 可以比較方便的求解.式中 是載荷向量 在振型 上的投影. 若 是按一定的空

20、間分布模式而隨時間變化的,即:,則有:,上式中 表示空間坐標, 表示 在 上的投影, 為一個常數(shù). 如 和 正交,則 ,從而得到 , .這表明結(jié)構(gòu)響應中不包含 的成分. 亦即 不能激起與 正交的振型 .需要求解的單自由度方程數(shù)也因之減少。,2、求解單自由度振動系

21、統(tǒng)方程,單自由度系統(tǒng)的振動方程(3.4.8)的求解，在一般情況下可采用上節(jié)討論的直接積分方法。但在振動分析中常常采用杜哈美(Duhamel)積分，又稱為疊加積分。這個方法的基本思想是將任意激振力 分解為一系列微沖量的連續(xù)作用，分別求出系統(tǒng)對每個微沖量的響應，然后根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將它們疊加起來，得到系統(tǒng)對任意激振的響應。杜哈美積分的結(jié)果是,(4.4.9),其中 是由初始條件決定

22、的常數(shù)。,,強迫振動項,,自由振動項,當阻尼很小，即 時， ，這時杜哈美積分的結(jié)果是：,(4.4.10),3、振型疊加得到系統(tǒng)的響應,在得到每個振型的響應以后，按(3.4.5)式將它們疊加起來，就得到系統(tǒng)的響應，亦即每個結(jié)點的位移值,振型疊加法的性質(zhì)和特點：,對于n個單自由度系統(tǒng)運動方程的積分，比對聯(lián)立方程組的直接積分節(jié)省計算費用。另外，通常只要對非耦合運動方程中的一小部分進行積分。例如只要得到

23、對應于前 n 個特征解的響應，就能很好地近似系統(tǒng)的實際響應。,應該指出的一點是，如果在振型疊加法中，對于 n 個單自由度系統(tǒng)的運動方程都進行積分，且采用和直接積分法相同的積分方案和時間步長，則最后通過振型疊加得到的結(jié)果 和直接積分法得到的結(jié)果在積分方案的誤差和計算機舍入誤差的范圍內(nèi)將是一致的。,此外，對于非線性系統(tǒng)通常必須采用直接積分法。因為此時 ，這樣一來系統(tǒng)的特征解也將是隨時間變化的，因

24、此無法利用振型疊加法。,相應的特征值問題為,§5.5縮減系統(tǒng)自由度的方法,在有限元動力分析中，發(fā)展提高計算效率、降低費用的數(shù)值方法是很有意義的。減縮系統(tǒng)自由度數(shù)日是廣泛采用的方法之一。以下扼要地討論兩種減縮自由度的方法：主從自由度法。,1、主從自由度法,在主從自由度方法中將位移向量 劃分為 和 兩部分。并假定 按照一種確定的方法依賴于 。 稱為主自由度， 稱為從自由度。

25、,用 表示 ：,(4.5.1),則有：,（4.5.2）,以無阻尼的自由振動方程為例：,（4.5.3),將(3.5.2)代入（3.5.3)有：,將上式左乘 有：,（4.5.4),其中：,下面來確定（3.5.1)中的 與 的關(guān)系矩陣 。,將 按靜力方式施加于同一結(jié)構(gòu)且不受其他荷載，由在結(jié)構(gòu)內(nèi)引起的變形模式確定 和 之間的關(guān)系。,（4.5