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1、莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,1,概率論與隨機(jī)過程,第14章 平穩(wěn)隨機(jī)過程,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,2,主要內(nèi)容,平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念遍歷性相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度,平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念,定義:設(shè)隨機(jī)過程 ,若對(duì)任意 和 ,時(shí)刻滿足時(shí), 維隨機(jī)變量和具有相同的分布函數(shù),則稱隨機(jī)過程
2、 具有平穩(wěn)性,稱此過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程,簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過程。若平穩(wěn)過程的參數(shù)集是離散的,則稱過程為平穩(wěn)隨機(jī)序列或平穩(wěn)時(shí)間序列。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,3,平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念,平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。一般的,若隨機(jī)過程的前后環(huán)境和主要條件都不隨時(shí)間的推移而變化,則可認(rèn)為該過程為平穩(wěn)過程。恒溫條件下的熱噪聲電壓過程;隨機(jī)相位正弦波;,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,4,平穩(wěn)隨
3、機(jī)過程的性質(zhì),性質(zhì)1:若平穩(wěn)過程 的均值函數(shù) 存在,則均值函數(shù)為常數(shù)。證明:由平穩(wěn)過程的定義,取 ,則有 和 同分布,即得記性質(zhì)2:平穩(wěn)過程 的均方值函數(shù)和方差函數(shù)為常數(shù)。記平穩(wěn)過程的所有樣本曲線在水平直線 上下波動(dòng),平均偏離度為 。,莊
4、伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,5,平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì),性質(zhì)3:若平穩(wěn)過程 的自相關(guān)函數(shù) 存在,則自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差 有關(guān)。證明:由平穩(wěn)過程的定義,取則有二維隨機(jī)向量 和 同分布。所以記性質(zhì)4:平穩(wěn)過程 的協(xié)方差函數(shù)
5、 只與 有關(guān)。記 ,則有,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,6,寬平穩(wěn)過程,定義:給定二階矩過程 ,若對(duì)任意 ,有則稱 為寬平穩(wěn)過程或廣義平穩(wěn)過程。注:按分布函數(shù)定義的平穩(wěn)過程稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程或狹義平穩(wěn)過程。定理:若
6、嚴(yán)平穩(wěn)過程的二階矩存在,則它一定是寬平穩(wěn)過程。定理:寬平穩(wěn)的正態(tài)過程必定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。注:由于根據(jù)分布函數(shù)判定平穩(wěn)性一般較難,所以實(shí)際應(yīng)用中,通常只考察寬平穩(wěn)性。我們一般把寬平穩(wěn)過程稱為平穩(wěn)過程。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,7,寬平穩(wěn)過程,定義:若兩個(gè)平穩(wěn)過程 和 ,其互相關(guān)函數(shù) 只與時(shí)間差 有關(guān),則稱 和
7、 是平穩(wěn)相關(guān)的,或稱兩個(gè)過程是聯(lián)合(寬)平穩(wěn)的。注:泊松過程和維納過程都是非平穩(wěn)過程,但增量具有平穩(wěn)性。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,8,平穩(wěn)過程的例,例:設(shè) 是互不相關(guān)的隨機(jī)序列,且滿足:證明該隨機(jī)序列是寬平穩(wěn)隨機(jī)序列。證明:由題即所以隨機(jī)序列為寬平穩(wěn)的。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,9,平穩(wěn)過程的例,例:(隨機(jī)相位周
8、期過程)設(shè) 是周期為 的函數(shù), 是在 上服從均勻分布的隨機(jī)變量,則稱 為隨機(jī)相位周期過程。證明該過程是平穩(wěn)過程。證明:由題可知 的概率密度為則,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,10,隨機(jī)過程積分,實(shí)際應(yīng)用中,隨機(jī)過程的數(shù)字特征需通過進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn),獲得足夠多的樣本曲線之后獲得:實(shí)際應(yīng)用的困難:大量重復(fù)試驗(yàn)的
9、工作很難實(shí)現(xiàn)。是否可以由一次試驗(yàn)獲得隨機(jī)過程的數(shù)字特征?考察在一次試驗(yàn)中,隨機(jī)過程在時(shí)間維度上相關(guān)數(shù)字特征與隨機(jī)過程的關(guān)系。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,11,隨機(jī)過程的積分,定義:給定二階矩過程 ,若它的每個(gè)樣本函數(shù)在時(shí)間區(qū)間 上的積分都存在。則稱此隨機(jī)過程在時(shí)間區(qū)間 的積分存在,并記為注: 也是隨機(jī)變量。,莊伯金 bj
10、zhuang@bupt.edu.cn,12,隨機(jī)過程的積分,定義(均方積分):考慮 內(nèi)的一組分點(diǎn):記若存在隨機(jī)變量 ,滿足則稱 為 在區(qū)間 上的均方積分,仍記為,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,13,隨機(jī)過程的積分,定理:二階矩過程 在 上均方積分存在的充要條件是自相關(guān)函數(shù)的二重積分存在。且可得
11、 均方積分的均值等于過程的均值函數(shù)的積分,即有,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,隨機(jī)過程的時(shí)間平均,定義:設(shè)隨機(jī)過程 ,記為隨機(jī)過程的時(shí)間均值。記為隨機(jī)過程的時(shí)間相關(guān)函數(shù)。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,15,隨機(jī)過程的時(shí)間平均,例:隨機(jī)相位正弦波 的時(shí)間均值 和
12、 。解:可得即可通過時(shí)間平均計(jì)算過程的集平均。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,16,遍歷性,定義:設(shè) 是平穩(wěn)過程,1.若 以概率1成立,則稱過程 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。2.若對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ,以概率1成立,則稱過程 的相關(guān)
13、函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。3.若 的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性,則稱 是(寬)各態(tài)歷經(jīng)過程。注:各態(tài)歷經(jīng)性也稱為遍歷性。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,17,遍歷性,定理(均值各態(tài)歷經(jīng)定理):平穩(wěn)過程 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是推論:假設(shè) 存在,若 ,則過程具有均值各態(tài)歷經(jīng)性;若
14、 ,則過程不具有均值各態(tài)歷經(jīng)性。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,18,遍歷性,定理(自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)定理):平穩(wěn)過程 的自相關(guān)函數(shù) 具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是:其中,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,19,遍歷性,若隨機(jī)過程 ,參數(shù)集 ,則時(shí)間平均可
15、定義為:定理:以概率1成立的充要條件是,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,20,遍歷性,定理:以概率1成立的充要條件是遍歷性定義表明若過程具有遍歷性,可用一次試驗(yàn)樣本曲線的時(shí)間平均計(jì)算隨機(jī)過程的均值和相關(guān)性函數(shù)。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,21,遍歷性,設(shè)一次隨機(jī)試驗(yàn)記錄了 上的試驗(yàn)結(jié)果 ,假設(shè)平穩(wěn)過程滿足遍歷性條件,試估算平穩(wěn)過程的均值函數(shù)和
16、自相關(guān)函數(shù)。解:由遍歷性的定義,可知隨機(jī)過程的均值函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的無偏估計(jì)為:,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,22,,數(shù)字化,將區(qū)間 做 等分,取 ,令則上述積分可近似表示為其中,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,23,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),設(shè) 和 是平穩(wěn)相關(guān)過程,它們的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)
17、函數(shù):自協(xié)方差函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù):,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,24,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1.性質(zhì)2.證明:性質(zhì)3.證明:,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,25,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)4.證明:由柯西-施瓦茲不等式,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,26,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)5. 是非負(fù)定的,即對(duì)任意數(shù)組
18、和任意實(shí)值函數(shù) ,都有證明:,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,27,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)6.若平穩(wěn)過程周期為 ,即 ,則其自相關(guān)函數(shù)也是周期的,且周期為 ,即證明:注:零均值的非周期噪聲和干擾在 值適當(dāng)大時(shí), 和 呈現(xiàn)獨(dú)立性或不相關(guān)性。即有,莊伯金 bjz
19、huang@bupt.edu.cn,28,相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),例:某接收機(jī)輸出電壓 由周期信號(hào) 和噪聲電壓 之和,即設(shè) 和 互不相關(guān)的各態(tài)歷經(jīng)性過程,且 。則自相關(guān)函數(shù)由于所以,對(duì)于適度的 ,有 ,呈現(xiàn)周期性。故可以通過檢驗(yàn)輸出電壓自相關(guān)函數(shù)是否近似具有周期性來檢驗(yàn)是否有輸出
20、信號(hào)。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,29,傅里葉變換,定義(傅里葉變換):設(shè)時(shí)間函數(shù) ,滿足狄利克雷條件,且絕對(duì)可積,即則其傅里葉變換存在,即傅里葉逆變換為:注:若 傅里葉變換存在,則信號(hào) 可以看作(或分解)將周期信號(hào) 放大到 倍之后的疊加。 為頻率為 的周期波的振幅,稱為
21、信號(hào)的頻譜。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,30,傅里葉變換,帕塞瓦爾(Parseval)等式:注:帕塞瓦爾等式揭示了信號(hào)在傅里葉變換前后能量保持不變的特性。其實(shí)正交變換都具有這種特性。注:一般的,平穩(wěn)過程的樣本函數(shù) 并不具備能量有限的條件,且一般不滿足絕對(duì)可積的條件。對(duì)平穩(wěn)過程,轉(zhuǎn)而研究樣本函數(shù)的平均功率:,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,31,功率譜密度,為了描述平均功率
22、,取樣本函數(shù)的截尾函數(shù)其傅里葉變換為根據(jù)帕塞瓦爾等式,可得求平均,可得,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,32,功率譜密度,令 ,則 在 的平均功率可表示為定義:功率譜密度,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,33,平穩(wěn)過程的功率譜密度,定義:平穩(wěn)過程 ,記
23、稱為平穩(wěn)過程的平均功率。稱為平穩(wěn)過程的功率譜密度。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,34,平穩(wěn)過程的功率譜密度,定義:稱為平穩(wěn)過程的平均功率的譜表示。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,35,譜密度的性質(zhì),性質(zhì)1. 是 的實(shí)值、非負(fù)的偶函數(shù)。性質(zhì)2. 和 是一對(duì)傅里葉變換對(duì),即(維納-辛欽公式):,莊伯
24、金 bjzhuang@bupt.edu.cn,36,譜密度的例,例:隨機(jī)電報(bào)信號(hào)為平穩(wěn)過程,其自相關(guān)函數(shù)為求功率譜密度。解:,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,37,譜密度的例,例:已知譜密度求自相關(guān)函數(shù)和均方值解均方值,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,38,單位沖激函數(shù),定義:廣義函數(shù) 滿足:稱為單位沖激函數(shù),簡(jiǎn)稱 函數(shù)。性質(zhì)1. 性質(zhì)2.
25、 傅里葉變換對(duì),莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,39,單位沖激函數(shù),性質(zhì)3. 正弦性自相關(guān)函數(shù) 的譜密度為證明:,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,40,單位沖激函數(shù),例:求自相關(guān)函數(shù)的功率譜密度。解,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,41,白噪聲,定義:均值為零而譜密度為正常數(shù),即的平穩(wěn)過程 稱為白噪聲
26、過程,簡(jiǎn)稱白噪聲。白噪聲的自相關(guān)函數(shù):白噪聲為均值為零,自相關(guān)函數(shù)為 函數(shù)的隨機(jī)過程,且對(duì)于 ,有 和 不相關(guān)。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,42,白噪聲,低通白噪聲:若均值為零,譜密度在低頻范圍內(nèi)為常數(shù),即則稱隨機(jī)過程為低通白噪聲。自相關(guān)函數(shù):,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,43,互譜密度,定義:設(shè)
27、和 是平穩(wěn)相關(guān)的隨機(jī)過程,稱為平穩(wěn)過程 和 的互譜密度。性質(zhì)1. 性質(zhì)2. 若互相關(guān)函數(shù) 絕對(duì)可積,則有傅里葉變換對(duì):性質(zhì)3. 和 是偶函數(shù), 和 是奇函數(shù)。,莊伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn,4
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