第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算

1、第八章,向量代數(shù)與空間解析幾何,教師: 薛留堂 郵箱: xuelt@bnu.edu.cn 辦公室: 后主樓1131,教材：《高等數(shù)學(xué)》第七版 下冊(cè)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 編， 高等教育出版社。,關(guān)于本課程,最終成績(jī)= 平時(shí)成績(jī)*50% +

2、 期末成績(jī)*50% 平時(shí)成績(jī)包括每周的作業(yè)、期中考試或其他小測(cè)等;,答疑時(shí)間: 周三晚上7:00-9:00pm, 教二321.,課件與其他一些資料可以登錄進(jìn)如下課程主頁(yè)下載:http://math0.bnu.edu.cn/~xuelt/course.html,助教：丁瞳瞳、鐘月圓、程志雯.,,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,,第一節(jié),一、向量的概念,二、向量的線性運(yùn)算,三、空間直角坐標(biāo)系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其線性運(yùn)

3、算,第八章,表示法:,向量的模 :,向量的大小,,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,,既有大小, 又有方向的量稱為向量,自由向量:,與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,,零向量:,模為 0 的向量,,有向線段 M1 M2 ,,或 a ,,,,,,或 a .,,它的方向可看做任意的.,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可

4、移到同一平面上 ,,則稱此 k,個(gè)向量共面 .,設(shè)有兩非零向量,任取空間一點(diǎn) O ,,,,稱 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 為向量,,的夾角.,二、向量的線性運(yùn)算,,,,,,,,,,,,,,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,,,,,,運(yùn)算規(guī)律 :,交換律,結(jié)合律,三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2. 向量的減法,,,,,,三角不等式,,,,,顯然,任給向量,,,,,,,,

5、,可見,,3. 向量與數(shù)的乘法,? 是一個(gè)數(shù) ,,規(guī)定 :,總之:,運(yùn)算律 :,結(jié)合律,分配律,因此,,,,,,定理1.,設(shè) a 為非零向量 , 則,,,(? 為唯一實(shí)數(shù)),, 取 ?＝±,,且,再證數(shù) ? 的唯一性 .,則,,,,反向時(shí)取負(fù)號(hào),,,,,,,則,,,例1. 設(shè) M 為,解:,,,,,,,,,例2 試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.,證,,,,,,,,,,,結(jié)論得證.,,,,,,,,,,三

6、、空間直角坐標(biāo)系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.,坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點(diǎn) O ,,,坐標(biāo)面,卦限(八個(gè)),1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念,zOx面,,稱為Oxyz坐標(biāo)系.,,2. 向量的坐標(biāo)表示,在空間直角坐標(biāo)系下,,設(shè)點(diǎn) M,則,沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量,,,,,,,,,,,的坐標(biāo)為,,記,,,,,,在直角坐標(biāo)系下,,,,向徑,坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R

7、 ;,坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C,點(diǎn) M,特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :,有序數(shù)組,,,,,(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo),,原點(diǎn) O(0,0,0) ;,,,,,,,也稱為向徑 的坐標(biāo)),,坐標(biāo)軸 :,,,,坐標(biāo)面 :,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,則,,,,,,平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:,,,例3.,求解以向量為未知元的線性方程組,,解:,①,②,2×① －3×② , 得,代入②得,例4. 已知兩點(diǎn),在AB所在直線上求一點(diǎn) M

8、 , 使,解: 設(shè) M 的坐標(biāo)為,如圖所示,,,,,,,,及實(shí)數(shù),得,即,,,,,,,,,說(shuō)明: 由,得定比分點(diǎn)公式:,點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn) ,,于是得,中點(diǎn)公式:,,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式,則有,,,,,,,,由勾股定理得,因,,,得兩點(diǎn)間的距離公式:,對(duì)兩點(diǎn),與,,,,,,例5. 求證以,證:,即,為等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,,為頂點(diǎn),,例6. 在 z 軸上求與兩點(diǎn),等距,解

9、: 設(shè)該點(diǎn)為,解得,故所求點(diǎn)為,及,思考:,(1) 如何求在 xOy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?,(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?,離的點(diǎn) .,例7. 已知兩點(diǎn),解:,,,,,,,2. 方向角與方向余弦,與三坐標(biāo)軸的夾角? , ? , ?,,,,,,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,,,,,,,,,,,,,方向余弦的性質(zhì):,,例8. 已知兩點(diǎn),和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計(jì)算

10、向量,,,,例9. 設(shè)點(diǎn) A 位于第一卦限,,解: 已知,角依次為,求點(diǎn) A 的坐標(biāo) .,則,因點(diǎn) A 在第一卦限 ,,故,于是,故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,,,,第二節(jié),,,3. 向量在軸上的投影,第二節(jié),,例如,,,在坐標(biāo)軸上的投影分別為,,,, 即,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,投影的性質(zhì),(?為實(shí)數(shù)),例10.,設(shè)立方體的一條對(duì)角線為OM, 一條棱為 OA, 且,解: 如圖所示, 記 ∠MOA