第一節(jié)向量及其線性運算

1、第八章,向量代數(shù)與空間解析幾何,教師: 薛留堂 郵箱: xuelt@bnu.edu.cn 辦公室: 后主樓1131,教材：《高等數(shù)學》第七版 下冊，同濟大學數(shù)學系 編， 高等教育出版社。,關于本課程,最終成績= 平時成績*50% +

2、 期末成績*50% 平時成績包括每周的作業(yè)、期中考試或其他小測等;,答疑時間: 周三晚上7:00-9:00pm, 教二321.,課件與其他一些資料可以登錄進如下課程主頁下載:http://math0.bnu.edu.cn/~xuelt/course.html,助教：丁瞳瞳、鐘月圓、程志雯.,,四、利用坐標作向量的線性運算,,第一節(jié),一、向量的概念,二、向量的線性運算,三、空間直角坐標系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其線性運

3、算,第八章,表示法:,向量的模 :,向量的大小,,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,,既有大小, 又有方向的量稱為向量,自由向量:,與起點無關的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,,零向量:,模為 0 的向量,,有向線段 M1 M2 ,,或 a ,,,,,,或 a .,,它的方向可看做任意的.,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (≥3)個向量經(jīng)平移可

4、移到同一平面上 ,,則稱此 k,個向量共面 .,設有兩非零向量,任取空間一點 O ,,,,稱 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 為向量,,的夾角.,二、向量的線性運算,,,,,,,,,,,,,,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,,,,,,運算規(guī)律 :,交換律,結合律,三角形法則可推廣到多個向量相加 .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2. 向量的減法,,,,,,三角不等式,,,,,顯然,任給向量,,,,,,,,

5、,可見,,3. 向量與數(shù)的乘法,? 是一個數(shù) ,,規(guī)定 :,總之:,運算律 :,結合律,分配律,因此,,,,,,定理1.,設 a 為非零向量 , 則,,,(? 為唯一實數(shù)),, 取 ?＝±,,且,再證數(shù) ? 的唯一性 .,則,,,,反向時取負號,,,,,,,則,,,例1. 設 M 為,解:,,,,,,,,,例2 試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.,證,,,,,,,,,,,結論得證.,,,,,,,,,,三

6、、空間直角坐標系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 O ,,,坐標面,卦限(八個),1. 空間直角坐標系的基本概念,zOx面,,稱為Oxyz坐標系.,,2. 向量的坐標表示,在空間直角坐標系下,,設點 M,則,沿三個坐標軸方向的分向量,,,,,,,,,,,的坐標為,,記,,,,,,在直角坐標系下,,,,向徑,坐標軸上的點 P, Q , R

7、 ;,坐標面上的點 A , B , C,點 M,特殊點的坐標 :,有序數(shù)組,,,,,(稱為點 M 的坐標,,原點 O(0,0,0) ;,,,,,,,也稱為向徑 的坐標),,坐標軸 :,,,,坐標面 :,四、利用坐標作向量的線性運算,則,,,,,,平行向量對應坐標成比例:,,,例3.,求解以向量為未知元的線性方程組,,解:,①,②,2×① －3×② , 得,代入②得,例4. 已知兩點,在AB所在直線上求一點 M

8、 , 使,解: 設 M 的坐標為,如圖所示,,,,,,,,及實數(shù),得,即,,,,,,,,,說明: 由,得定比分點公式:,點 M 為 AB 的中點 ,,于是得,中點公式:,,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,則有,,,,,,,,由勾股定理得,因,,,得兩點間的距離公式:,對兩點,與,,,,,,例5. 求證以,證:,即,為等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,,為頂點,,例6. 在 z 軸上求與兩點,等距,解

9、: 設該點為,解得,故所求點為,及,思考:,(1) 如何求在 xOy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?,(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?,離的點 .,例7. 已知兩點,解:,,,,,,,2. 方向角與方向余弦,與三坐標軸的夾角? , ? , ?,,,,,,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,,,,,,,,,,,,,方向余弦的性質(zhì):,,例8. 已知兩點,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計算

10、向量,,,,例9. 設點 A 位于第一卦限,,解: 已知,角依次為,求點 A 的坐標 .,則,因點 A 在第一卦限 ,,故,于是,故點 A 的坐標為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,,,,第二節(jié),,,3. 向量在軸上的投影,第二節(jié),,例如,,,在坐標軸上的投影分別為,,,, 即,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,投影的性質(zhì),(?為實數(shù)),例10.,設立方體的一條對角線為OM, 一條棱為 OA, 且,解: 如圖所示, 記 ∠MOA