第九節(jié)二元函數(shù)的泰勒公式

1、,*第九節(jié),一、二元函數(shù)泰勒公式,二、極值充分條件的證明,二元函數(shù)的泰勒公式,第九章,一、二元函數(shù)的泰勒公式,一元函數(shù),的泰勒公式:,推廣,多元函數(shù)泰勒公式,,記號,(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)):,一般地,,,,表示,表示,定理1.,的某一鄰域內(nèi)有直,到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,,為此鄰域內(nèi)任,一點,,則有,其中,①,②,① 稱為f 在點(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式,,②稱為其拉格,朗日型余項 .,證: 令,則,利用多元復(fù)

2、合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:,一般地,,由,的麥克勞林公式, 得,將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.,,說明:,(1) 余項估計式.,因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),,在某閉,鄰域其絕對值必有上界 M ,,則有,,(2) 當(dāng) n = 0 時, 得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:,(3) 若函數(shù),在區(qū)域D 上的兩個一階偏導(dǎo)數(shù),恒為零,,由中值公式可知在該區(qū)域上,定理1,例1. 求函數(shù),解:,的三階泰,勒公式.,因此,,,,,時, 具有極值,

3、二、極值充分條件的證明,的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,令,則: 1) 當(dāng),A < 0 時取極大值;,A > 0 時取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),時, 沒有極值.,時, 不能確定 , 需另行討論.,若函數(shù),,定理2 (充分條件),證: 由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意,則有,所以,其中? , ? , ? 是當(dāng)h →0 , k →0 時的無窮小量 ,,于是,(1) 當(dāng) AC－B2 ＞0 時,,必有 A≠0 , 且 A

4、 與C 同號,,可見 ,,從而△z＞0 ,,,因此,,,,從而 △z＜0,,(2) 當(dāng) AC－B2 ＜0 時,,若A , C不全為零, 無妨設(shè) A≠0,,則,時, 有,異號;,同號.,可見 △z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù),,,,,,+,+,－,若 A＝C ＝0 ,,則必有 B≠0 ,,不妨設(shè) B＞0 ,,此時,可見 △z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù),,,(3) 當(dāng)AC－B2 ＝0 時,,若 A≠0,,則,若 A＝0