第六節(jié)平面曲線的曲率(p207第九節(jié))

1、,第七節(jié),曲線的彎曲程度,與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān),與曲線的弧長有關(guān),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,主要內(nèi)容:,一、 弧微分,二、 曲率及其計算公式,三、 曲率圓與曲率半徑,,,,,,,,,,,,,,,,,曲率,第三章,一、 弧微分,設(shè),在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),,其圖形為 AB,,,弧長,,,,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則弧長微分公式為,或,幾何意義:,若曲線由參數(shù)方程

2、表示:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、曲率及其計算公式,在光滑弧上自點 M 開始取弧段, 其長為,對應(yīng)切線,定義,弧段 上的平均曲率,,,,點 M 處的曲率,注意: 直線上任意點處的曲率為 0 !,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,轉(zhuǎn)角為,例1. 求半徑為R 的圓上任意點處的曲率 .,解: 如圖所示 ,,可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;,R 愈大, 則K

3、 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,有曲率近似計算公式,故曲率計算公式為,又,曲率K 的計算公式,二階可導(dǎo),,設(shè)曲線弧,則由,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,(1) 若曲線由參數(shù)方程,給出, 則,,(2) 若曲線方程為,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 我國鐵路常用立方拋物線,作緩和曲線,,處的曲率.,點擊圖

4、片任意處播放\暫停,,說明:,鐵路轉(zhuǎn)彎時為保證行車,平穩(wěn)安全,,求此緩和曲線在其兩個端點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,且 l << R.,其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度,,離心力必須,連續(xù)變化 ,,因此鐵道的,曲率應(yīng)連續(xù)變化 .,例2. 我國鐵路常用立方拋物線,作緩和曲線,,且 l << R.,處的曲率.,其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度,,求此緩和曲線在

5、其兩個端點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解:,顯然,,,,,,,例3. 求橢圓,在何處曲率最大?,解:,故曲率為,K 最大,最小,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,求駐點:,,,設(shè),從而 K 取最大值 .,這說明橢圓在點,處曲率,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,計算駐點處的函數(shù)值:,最大.,,三、 曲率圓與曲率半徑,,,,,,,設(shè) M 為曲線 C 上任一

6、點 ,,在點,在曲線,把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點 M 處的,曲率圓,( 密切圓 ) ,,R 叫做曲率半徑,,D 叫做,曲率中心.,在點M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:,(1) 有公切線;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 處作曲線的切線和法線,,的凹向一側(cè)法線上取點 D 使,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,設(shè)曲線方程為,且,求曲線上點M 處的,曲率半徑及曲率中心,設(shè)點M 處的曲

7、率圓方程為,故曲率半徑公式為,滿足方程組,的坐標(biāo)公式 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由此可得曲率中心公式,當(dāng)點 M (x , y) 沿曲線,移動時,,的軌跡 G 稱為曲線 C 的漸屈線 ,,相應(yīng)的曲率中心,曲率中心公式可看成漸,曲線 C 稱為曲線 G 的漸伸線 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).,點擊圖中任意點動畫開始或暫停,例4. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截

8、痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨,削其內(nèi)表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適?,解: 設(shè)橢圓方程為,由例3可知, 橢圓在,,處曲率最大 ,,即曲率半徑最小, 且為,,顯然, 砂輪半徑不超過,時, 才不會產(chǎn)生過量磨損 ,,或有的地方磨不到的問題.,例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( 仍為擺線 ),例5. 求擺線,的漸屈線方程 .,解:,代入曲率中心公式 ,,,得,擺線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,