非線性數(shù)學期望下的隨機微分方程及其應用.pdf

18、s)dBs+Kt,0≤t≤T,q.s.,(3)其中，(A1)初值x∈(R);(A2)存在一個p＞2，系數(shù)f，h，g:Ω×[0，T]×(R)→(R)滿足如下條件:對于任意的x∈(R)，f(x)，h.(x)，g.(x)∈(M)pG([0，T]);(A3)系數(shù)f，h和g關于x滿足利普希茨條件，即，對于任意的t∈[0，T]和x，x'∈(R)，|ft(x)-ft(x')|+|ht(x)-ht(x')|+|gt(x)-gt(x')|≤CL|x-x'

19、|，q.s.;(A4)反射壁S是一個G-伊藤過程且它的系數(shù)都屬于(M)pG([0,T])。此外，我們還假設S0≤x,q.s.。
　　 我們說一對取值于(R)的隨機過程(X，K)是RGSDE(3)解，如果它滿足(3)，且:(i)X∈(M)pG([0,T])，且Xt≥St，0≤t≤T，q.s.;(ii)K∈MI([0,T])∩(M)pG（[0，T]），且K0=0，q.s.;(iii)∫T0(Xt-St)dKt=0,q.s.。

20、　　 通過確定性的Skorokhod問題的解，我們不難得出關于增過程K的表示，然后進一步推出如下兩個重要的先驗估計:命題3.假設(X，K)為(3)的解。那么，存在一個常數(shù)C＞0，使得(E)[sup0≤t≤T|Xt|p]+(E)[KpT≤C(|x|p+∫T0((E)[|ft(0)|p]+(E)[|ht(0)|p]+(E)[|gt(0)|p])dt十(E)[sup0≤t≤T|St+|p]).
　　 定理4.令(x1，f1，h1，g

21、1，S1)和(x2，f2，h2，g2，S2)為兩組滿足(A1)-(A4)的參數(shù)，并假設這兩組參數(shù)所決定的RGSD分別存在一個解對(X1，K1)和(X2，K2)。我們規(guī)定△x:=x1-x2，△f:=f1-f2，△h:=h1-h2,△g:=g1-g2;△S:=S1-S2,△X:=X1-X2，△K:=K1-K2.那么，存在一個常數(shù)C＞0，使得(E)[sup0≤t≤T|△Xt|p]≤C|△x|p+∫T0((E)[|△ft(X1t)|p]+(E)

22、[|△ht(X1t)|p]+(E)[|△gt(X1t)|p])dt十(E)sup0≤t≤T|△St|p].
　　 這樣，RGSDE(3)的解在(M)pG([0，T])×（MI（[0，T]）∩(M)pG([0，T]))中的唯一性可以被看成上述第二個先驗估計的推論。
　　 此后，我們通過皮卡迭代證明了RGSDE(3)的解的存在性。綜上所述，我們有如下存在唯一性定理:
　　 定理5.假設(A1）-(A4）成立。那么，在

23、(M)pG（[0，T]）×(MI([0，T])∩(M)pG([0，T]))中存在唯一的一對隨機過程(X，K)滿足RGSDE(3)以及(i)-(iii)。
　　 在本章的最后，我們應用先前給出的G-伊藤公式，得到了關于RGSDE(3)的解的比較定理:
　　 定理6.給定兩個RGSDE,其系數(shù)分別滿足(A1)-(A4)。我們又假設如下條件:(1)x1≤x2，且g1=g2=g;(2)對于任意的x∈(R)，f1t(x）≤f2t(

24、x);h1t(x)≤h2t(x);且S1t≤S2t，0≤t≤T，q.s.。假設(Xi，Ki)分別是參數(shù)為(xi，fi，hi，g，Si)的RGSDE的解，其中i=1，2。那么，我們有X1t≤X2t，0≤t≤T，q.s..
　　 2.局部化方法與G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程
　　 我們首先重述了Li和Peng[40]文中對G-布朗運動局部可積的隨機過程的定義，并詳細介紹了Li和Peng[40]文中定義此類隨機過程的G-伊藤

25、積分的思想。
　　 隨后，我們定義了一個新的空間MFv([0，T];(R)n)，即，所有的n維擬必然的具有連續(xù)和有界變差軌道的隨機過程的集合。與上一章使用的方法類似，我們可以定義G-期望框架下關于有界變差過程的隨機積分。在給出相關定義之后，我們沿用Li和Peng[40]文中的思路，考慮了更為一般的G-伊藤公式，其中Φ只要求二階連續(xù)可微，且X是一個G-伊藤過程和一個有界變差過程的加和:Xvt=xv0+∫t0fvsds+∫t0hvi

26、jsds+∫t0gvjsdBjs+Kvt，v=1，...，n.(4)
　　 證明這個結論主要分為兩步:第一步，我們先假設Φ及其各階導數(shù)有界且一致連續(xù)，并且K∈MFV([0，T];(R)n)是有界的過程;第二步，我們定義了一個停時列{μm}m∈N，使得Φ(X)和K可以分別用[Φ(X.∧μm)}m∈N和{K.∧μm}m∈(N)來逼近，這兩個序列中的元素滿足上一步的條件。
　　 這一部分的內(nèi)容主要由下列一個引理和

27、一個定理組成:引理2.假設Φ∈C1，2([0，T]×(R)n)是一個有界函數(shù)，其各階導數(shù)(e)tΦ，(e)xΦ，(e)2xxΦ也有界且一致連續(xù)。X是一個由(4）定義的過程，其系數(shù)fv和hvij屬于M1*（[0，T]），gvj屬于M2*（[0，T]），其中，v=1….，n，i，j=1….，d。K是MFV([0，T];(R)n)中一個一致有界的過程，并滿足:存在一個α＞0，對于任意的0≤u1≤T，limu2→u1(E)[|Ku2-Ku1|α

28、]=0.那么，對于任意的t∈[0，T]，我們有Φ（t，Xt）-Φ(0，xo)=((e)tΦ(s，Xs)+(e)xvΦ(s，Xs)fvs）ds+∫t0（(e)xvΦ（s，Xs）hvijs+1/2(e)2xμxvΦ(s，Xs)gμisgvjs)ds(5)+∫(e)xvΦ(s，Xs)gvjsdBjs+∫t0(e)xvΦ(s，Xs)dKvs，q.s..
　　 定理7.令Φ∈C1，2（[0，T]×(R)n），且X由(4）定義

29、，其系數(shù)fv和hvij屬于M1w([0，T])，gvj屬于M2w（[0，T]），其中，v=1，…，n，i，j=1，…，d。假設K屬于MFV([0,T];(R)n)，并滿足:存在一個α＞0，對于任意的0≤u1≤T，limu2→u1(E)[|Vu20(K)-Vu10(K)|α]=0.那么，(5)仍然成立。
　　 特別的，(5)中的G-伊藤積分可以由Li和Peng[40]文中的思想給出，而其他的隨機積分都可以依軌道地在勒貝格-斯蒂爾吉

30、斯的意義下定義。
　　 在本章余下的部分，我們考慮如下形式的多維GSDE:Xt=x+∫t0f(s,Xs)ds+∫t0h(s,Xs)ds+∫t0g(s，Xs)dBs,0≤t≤T,q.s..(6)
　　 假設上述GSDE的系數(shù)是利普希茨的，我們有以下存在唯一性定理:
　　 定理8.我們假設如下條件:(H1)存在一個p≥2，對于任意的x∈(R)，fv(·，x)，hvij(·，x)，gvj(·，x)∈Mp*([

31、0，T])，其中，v=1，…，n，i，j=1，…，d;(H2)系數(shù)f，h和g關于x是一致利普希茨的，也就是說，對于任意的t∈[0,T]和x，x'∈(R)n,|f(t，x)-f(t,x')|+||h(t，x)-h(t,x')||+||g(t,x)-g(t，x')||≤C|x-x'|,q.s.,其中，||·||是矩陣的希爾伯特-施密特范數(shù)。
　　 那么，(6)的解X在MMp*([0，T];(R)n)中存在唯一，并且，我們可以在(c)

32、下找到它的一個軌道關于t連續(xù)的修正。假設x，y∈(R)n是兩個不同的初值，令Xx和Xy表示對應于這兩個初值的(6)的解。那么，存在一個僅與p，n，T和CL有關的常數(shù)C＞0，使得E[sup|Xxt-Xyt|p]≤C|x-y|p.t∈[0,T]
　　 利用停時技術，我們可以考慮更一般的GSDE，也就是非利普希茨系數(shù)的GSDE，其解可以通過利普希茨系數(shù)的GSDE的解來逼近。在本章中，我們考慮了兩類非利普希茨系數(shù)的GSDE，第一類:GS

33、DE的系數(shù)的利普希茨常數(shù)是關于t的函數(shù);第二類:GSDE的系數(shù)是時齊的，關于x局部利普希茨，且滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性條件。
　　 定理9.我們假設如下條件:(H1')存在一個p≥2，對于任意的x∈(R)，關于同一停時列{σm}m∈(N)，fv(·，x)，hvij(·，x)，gvj(·，x)∈Mpw（[0，T]），其中，v=1,…，n，i，j=1，…，d;(H2')存在一個極集A，在這個極集之外，系數(shù)f，h和g關于x滿足局部利普希茨

34、條件，也就是說，對于任意的t∈[0,T]和x，x'∈(R)n，|f(t,x)(ω)-f(t,x')(ω)|+||h(t，x)(ω)-h(t,x')(ω)||+||g(t，x)（ω）-g(t，x')(ω)||≤G(ω)|x-x'|,其中，C是一個非負過程，滿足:在這個極集A之外，其軌道C.(ω）在[0，T]上連續(xù)。
　　 那么，⑹的解在X∈Mpω（[0,T];(R)n）中存在唯一，并且我們可以在(C)下找到它的一個軌道關于t連續(xù)的

35、修正。
　　 定理10.我們假設如下條件:(H2”)系數(shù)fv，hvij和gvj:(R)n→(R)是確定性的函數(shù)，其中，v=1，…，n，i，j=1，…,d，且關于x滿足局部利普希茨條件，也就是說，對于任意的x，x'∈{x:|x|≤R}，存在一個僅與R有關的正數(shù)CR，使得如下不等式成立:|f(x)-f(x')|+||h(x)-h(x')||+||g(x)-g(x')||≤CR|x-x'|;(H3”)存在一個確定性的李雅普諾夫函數(shù)V，

36、滿足:V∈C1，2（[0，T]×(R)n）;V≥1;且當R→+∞，inf|x|≥Rt∈[0,T]infV(t，x)→+∞.此外，存在一個常數(shù)CLY≥0，使得對于所有的（t,x）∈[0，T]×(R)n，(L)V(t，x)≤CLYV(t，x)，其中，(L)是按如下方式定義的微分算子:(L)V(t，x):=(e)tV（t,x）+(e)xvV(t,x)fv(x)+supS∈∑((e)xvV(t,x)hvij(x)σSij+1/2(e)2xμxv

37、V(t，x)gμi(x)gvj(x)σSij），其中，S:=（σSij）di,j=1∈∑(cs)d。
　　 那么，(6)的解X在Mpw([0，T];(R)n)中存在唯一，并且我們可以在(c)下找到它的一個軌道關于t連續(xù)的修正。此外，我們還有如下估計:(E)[V(t，Xxt)]≤eCLYTV(0，x).
　　 3.G-布朗運動驅(qū)動的多維受限擴散過程
　　 本章的主要結論建立在M2*（[0，T]）這個空間上，關于這個

38、空間的定義可以在Li和Peng[40]文中找到。
　　 給定一個開的凸區(qū)域(o)，我們在其上討論如下形式的G-布朗運動驅(qū)動的多維受限擴散過程:Xt=x+∫t0f(s,Xs)ds+∫t0h(s,Xs)ds+∫t0g(s,Xs)dBs-Kt,0≤t≤1,q.s.,(7)其中，K是一個推動X的有界變差過程，使X停留在(o)的閉包內(nèi)。
　　 令p=2，我們假設(7)的系數(shù)f，h和g滿足上一章中的(H1)和(H2)。我們

39、說，一對過程(X，K)是n維反射型GSDE(7)的解，如果
　　 (i)X和K都是屬于M2*([0,1];(R)n)的過程，并且，在一個極集A之外，二者在[0，1]上具有連續(xù)的軌道;
　　 (ii)對于所有的ω∈Ac，X.(ω）取值于(o);K(ω）是[0,1]上的有界變差函數(shù)，且K0(ω)=0;
　　 (iii)假設Z是一個滿足下列條件的過程:對于所有的ω∈Ac，Z(ω）取值于(o)，且在[0，1]上連續(xù)。那么

40、，對于任意的t∈[0，1]，∫t0（Xt（ω）-Zt(ω))dKt(ω)≥0，(V)ω∈Ac.
　　 除了(H1)和(H2)之外，我們在本章中還假設如下的(H3):(H3)對于所有的x∈(R)n，fv(·，x)，hvij(·，x)和gvj(·，x)一致有界，其中，v=1，…，n，i，j=1，…，d。
　　 受Menaldi[50]一文的啟發(fā)，我們構造了如下G-擴散過程序列，其每一個元素都是一個系數(shù)滿足利普希茨條件的GSD

41、E的解，并且末尾包含一個懲罰項:Xεt=x+∫t0f(s，Xεs)ds+∫t0g(s，Xεs)dBs-1/ε∫t0β(Xεs)dt，0≤t≤1，q.s..
　　 我們證明了如下兩個收斂性結果，并且得到了n維反射型GSDE(7)的解的存在唯一性定理:對于任意的p≥1，當ε，ε'→0，(E)[sup|Xεt-Xε't|p]→0;(E)[sup0≤t≤1|1/ε∫t0β（Xεs）ds-1/ε'∫t0β(Xε's)ds|p]→0.

42、>　　 定理11.假設(H1)-(H3)成立。那么，(7)的解(X，K)在M2*([0，1];(R)n)×（MFV（[0，1];(R)n）∩M2*（[0，1];(R)n））中存在唯一。
　　 4.系數(shù)滿足平方增長條件的二階倒向隨機微分方程
　　 本章的主要結果建立在Soner等[70，71]文中所建立的擬必然的隨機分析的框架下。2BSDE理論由Cheridito等[7]以及Soner等[71，72]開創(chuàng)，其后，Poss

43、ama(i)和Zhou[63]研究了系數(shù)滿足平方增長條件的情形。但是，為了克服技術上的問題，Possama(i)和Zhou[63]除了假設系數(shù)滿足平方增長條件外，還引入了一些額外的條件，而這些條件使得這類2BSDE的應用性受到了一定的限制。本章的目的就是去除這些額外的條件，從而得到更為一般的結果。
　　 在本章中，我們在一族相互奇異的概率測度PH上考慮如下方程:Yt=(ξ)+∫1t(F)s（Ys，Zs）ds-∫1tZsdBs+K

44、1-Kt，0≤t≤1，PH-q.s.，(8)其中，PH-q.s.意味著上述方程在每個(P)∈PH下a.s.成立。此外，K的軌道是遞增的，且K滿足一個最小值條件。
　　 在本章中，我們假設2BSDE的系數(shù)F:Ω×[0，1]×(R)×(R)d×DFt→R滿足如下條件:(A1)DFt(y，z)=DFt與（ω，y，z）無關;(A2)F是F-循序可測的且關于ω一致連續(xù);(A3)F關于（y，z）連續(xù)且滿足平方增長條件，也就是說，存在一個三元

45、組（α，β，γ）∈(R)+×(R)+×(R)+，使得對于所有的（ω，t，y，z，a）∈Ω×[0，1]×(R)×(R)d×DFt，|Ft(ω，y，z,a)|≤α+β|y|+γ/2|a1/2z|2;(A4)F關于y滿足一致利普希茨條件，也就是說，存在一個常數(shù)μ＞0，使得:對于任意的（ω，t，y，y'，z，a）∈Ω×[0，1]×(R)×(R)×(R)d×DFt，|Ft(ω，y，z,a)-Ft(ω，y',z,a)|≤μ|y-y'|;(A5)F關

46、于z滿足局部利普希茨條件，也就是說，對于任意的（ω，t，y，z，z'，a）∈Ω×[0，1]×R×(R)d×(R)d×DFt，|Ft（ω，y，z,a)-Ft(ω，y，z'，a）|≤C(1+|a1/2z|+|a1/2z'|)|a1/2(z-z')|.
　　 我們注意到，在經(jīng)典的隨機分析框架內(nèi)獲得系數(shù)滿足平方增長條件的BSDE的適定性也需要類似的條件（參見:Kobylanski[35]和Morlais[51]），并且本章所采用的這些條

47、件比Possama(i)和Zhou[63]文中采用的要更為一般。
　　 與Possama(i)和Zhou[63]文中類似，在終端(ξ)一致有界的條件下，我們可以得到2BS-DE(8)的解關于經(jīng)典BSDE的解的表示定理，以及一些先驗估計。利用這些結果，我們就能得到2BSDE解的唯一性。
　　 為了證明2BSDE(8)的解的存在性，我們首先證明了如下關鍵引理:引理3.假設(A1)-(A5)成立。對于給定的(ξ)∈L∞H和一個

48、固定的P∈PH，我們有，對于每一個t∈[0，1]以及(P)-a.s.ω∈Ω，y(P)t(1，(ξ))(ω)=y(P)t，ωt，t,ω(1，(ξ)).(9)
　　 在上述引理中，(9)式的兩側都是經(jīng)典BSDE的解。倘若2BSDE的系數(shù)滿足利普希茨條件，那么，這個引理可以很容易的用皮卡迭代來證明。在本章的假設下，我們依軌道地應用了經(jīng)典BSDE的單調(diào)收斂定理，以得到相應的結論。
　　 此后，我們先假設終端(ξ)關于ω一致連續(xù)且

49、一致有界，并依軌道地定義了如下過程:對于每一個(ω，t）∈Ω×[0，1]，Vt(ω):=sup(p)t∈PtHy(P)tt，t，ω(1，(ξ)).
　　 隨后，根據(jù)Soner等[72]文中提供的思路，我們證明了V+t=limQ∩(t,1](∈)(r)↓tV(r)，0≤t≤1，PH-q.s.，定義了一個2BSDE(8)的解。
　　 而后，我們利用解的先驗估計，可以將這個關于存在性的結果一般化，以得到本章的主要結論:

50、　　 定理12.假設(A1)-(A5)成立，對于給定的(ξ)∈(L)∞H，2BSDE(8)的解(Y,Z)在(D)∞H×(H)2H中存在唯一。
　　 在本章的末尾，我們通過應用系數(shù)滿足平方增長條件的2BSDE理論，重新考慮了Matoussi等[49]文中建立的金融模型，并給出了一類波動率不確定時穩(wěn)健的投資組合期望效用最大化問題的解。由于系數(shù)滿足平方增長條件的2BSDE理論在本章中得以一般化，其解的存在唯一性不再依賴一些在實際運用