六方各向異性介質(zhì)波動方程

1、第三章 六方各向異性介質(zhì)波動方程,3.1.1矩陣和分量形式的波動方程,經(jīng)過彼此代入后得矩陣形式的波動方程---以位移為變量的三位三分量波動方程：,---（1）,3.1 六方各向異性介質(zhì)波動方程,各向異性介質(zhì)本構(gòu)、柯西、奈維爾三個方程分別是：,當(dāng)上述的物性矩陣取六方物質(zhì)時，可以得到：,其中 為物性矩陣；,---（2）,或：,矩陣Q對稱，其中：,--（3）,--（4）,將（3）代入（2）得 分量滿足波動方程。

2、 分量波動方程是：,Y分量波動方程：,Z分量波動方程：,以上的波動方程也稱為分量形式的三維波動方程。其次，由于物性矩陣中獨立的參數(shù)是5個，且物性參數(shù)d具體表達形式不同，上述方程同均勻彈性各向同性介質(zhì)的波動方程不一樣。另外，該方程不能簡單的按照矢量合成的方式組合在一起。,3.1.2、2.5D矢量波動方程,第一種情況：ＸＯＺ面上２.５D矢量波動方程令Ly=0有：,寫稱矩陣形式：,其中：,第二種情況：XOY面上2.5D矢量波動方程令L

3、z=0則有：,矩陣形式：,其中：,3.1.3 射線上的矢量波動方程 射線上的矢量波動方程也就是射線上的三分量波動方程，也稱一維三分量波動方程。3.1.3.1、物性矩陣坐標系下的一維三分量波動方程,1、波沿垂直軸Z方向傳播取Z軸向下的直角坐標系，取Z軸為射線方向。在這種情況下建立方程：,矩陣形式：,分析XOY方向波傳播可知，對于TI介質(zhì)，由于Vqsv=Vsh=Vs垂直，可知VI介質(zhì)為橫向各向異性介質(zhì)的意義。,對于TI介質(zhì)：,2、波

4、沿水平軸Y方向傳播對于Lx=Lz=0有：,矩陣形式：,TI介質(zhì)中：,速度關(guān)系滿足：,綜上所述，在兩個特殊方向上討論了波傳播方向、質(zhì)點偏振方向和傳播速度大小之間的關(guān)系。,3.1.3.2、任意方位射線上的矢量波動方程,任意方位射線上的矢量波動方程：,（1）、第一種情況：取Z軸向下為正的直角三維坐標系，介質(zhì)初始狀態(tài)Z為對稱軸求如下方位射線上矢量波動方程。,經(jīng)過多步的計算和變換可得波動方程的如下形式：,其中元素如下：,（2）、第二種情況：取

5、Z軸向下為正向，對稱軸為X軸，波沿著Z軸傳播。其物性矩陣如下：,經(jīng)處理和整理后，可得沿Z向傳播的一維三分量波動方程：,其中：,對這種情況下的波動方程退化處理，去除垂直分量后，可得一維雙水平分量波動方程：,上述退化方程中，第一個方程是描述橫波，其質(zhì)點沿平行主對稱軸Ｘ方向偏振；第二向是描述沿Y向偏振的橫波。,3.2 矢量波場的位函數(shù)分解,矢量波場的位函數(shù)分解實質(zhì)是各向異性介質(zhì)矢量彈性波場脹縮縱波場和旋轉(zhuǎn)橫波場的分解問題。,3.2.1、六方各

6、向異性介質(zhì)矢量波場分解的特殊性六方各向異性解釋其彈性波場同樣滿足無旋無散場的條件。即：,考慮位移矢量和位移位與y變量無關(guān)，僅與x和z分量有關(guān)，此時彈性波動方程為：,位移矢量的分解和位移位的關(guān)系為：,若令 則可得：,六方各向異性介質(zhì)矢量波場分解的特殊性。 介質(zhì)是六方各向異性時，不能常采用處理各向同性介質(zhì)的方式解決問題。因為這時物性矩陣與其它5個彈性參數(shù)有關(guān)，分量形式的波動方程不能

7、用矢量分析知識來解決。此時，可以把分量合在一起的方式解決這個問題。,3.2.2、均勻彈性六方各向異性介質(zhì)滿足準縱波的位函數(shù),取位函數(shù)為：,其中：,將 代入到3.2.1中波動方程有：,上式整理后得：,將 代入上兩式得：,簡化后可得：,和,由上述兩式便可以求解出六方各向異性介質(zhì)中qP波的相速度。,3.2.3 均勻彈性六方各向異性介

8、質(zhì)滿足準橫波的位函數(shù),同理，對于滿足準橫波的位函數(shù)取：,其中：,把 代入到3.2.1中的波動方程再把 代入后整理有：,和,上式簡化后有：,和,上述兩式可以求出六方各向異性介質(zhì)qSV波的相速度。,3.2.4 波的傳播方向和質(zhì)點偏振方向之間的關(guān)系,體積元的偏振方位，其另一種提法就是質(zhì)點的偏振方向。下

9、面以Z軸是對成軸的均勻彈性六方各向異性介質(zhì)為例來討論。,3.4.1、準縱波的qP的偏振情況,,在XOY面內(nèi)位移與位移位存在如下關(guān)系：,再注意到：,把 代入 中，得：,由于Z軸與質(zhì)點偏振方位之間的夾角可以表示為：,其中：,此外，,和,上式表示波的傳播方向與體積元(質(zhì)點)之間位移偏振方向不一

10、致，存在一個偏差角，該角度的大小與介質(zhì)的各向異性強度及波的傳播方向有關(guān)。,3.2.4.2、準橫波qSV的偏振情況,采用與qP波類似的方法，把位函數(shù)：,代入,得到：,Z軸和質(zhì)點的偏振方位之間的夾角可以表示為：,其中：,上述表達了準橫波質(zhì)點偏振方向與qSV波傳播方向的夾角的關(guān)系。除了某些特殊的方向外，準橫波體積元位移偏振方向不垂直于波的傳播方向，同樣存在一個偏差角。,通過上述討論可知:(1)準縱波體積元位移的偏振方向與波傳播方向不一致，準橫

11、波體積元偏振方向不垂直于波的傳播方向，均相差一個偏差角，這是各向異性介質(zhì)中波的傳播有別于各向同性介質(zhì)的特殊現(xiàn)象之一；(2)偏差角的大小取決于介質(zhì)的性質(zhì)，即介質(zhì)物性矩陣中的彈性參數(shù)，還有波的傳播方向；(3)需要注意，準縱波和準橫波體積元位移偏振方向彼此仍然是正交的，此點與各向同性介質(zhì)一樣。,本章總結(jié),本章首先從本構(gòu)、位移與應(yīng)力和位移與應(yīng)變?nèi)齻€方程出發(fā)，建立了各向異性介質(zhì)矩陣形式的波動方程。在此基礎(chǔ)上，討論了分量形式的波動方程和射線上的矢量

12、波動方程。通過討論波平行對稱軸和垂直對稱軸傳播的 1 維 3 分量波動方程，可以知道質(zhì)點偏振平行于各向同性面的波和垂直于各向同性面的波，這兩個波質(zhì)點偏振的方向彼此正交，波傳播的速度前者較之后者要大，即前者傳播較之后者要快。這個結(jié)論對準縱波和準橫波均成立。另外，使用坐標旋轉(zhuǎn)的方法，能夠得到任意方位射線上的矢量波動方程。,另外，各向異性介質(zhì)矢量彈性波場的脹縮縱波場與旋轉(zhuǎn)橫波場的分解問題。由于介質(zhì)是各向異性的，物性矩陣與 5 個彈性參數(shù)有關(guān)，

13、不能像均勻彈性各向同性介質(zhì)那樣，得到緊縮成矢量形式的波動方程；單獨的一個標量位函數(shù)或一個矢量位函數(shù)都不可能表達成獨立的波動方程。但是，可以采用把標量位函數(shù)和矢量位函數(shù)結(jié)合在一起的方式解決這個問題。,各向異性介質(zhì)矢量彈性波場位函數(shù)分解后呈現(xiàn)出的重要結(jié)論是，在各向異性介質(zhì)中除了某些特殊方向外，無論是準縱波還是準橫波，波的質(zhì)點偏振方向與波的傳播方向既不平行也不垂直，而是存在一個偏差角。偏差角的大小與介質(zhì)各向異性強度和波的傳播方向有關(guān)；這是各向