解計算可控性矩陣-read

1、1,第三章線性時不變系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形與最小實現(xiàn),2,標(biāo)準(zhǔn)形可以顯然、簡潔的方式反映系統(tǒng)的可控性、可觀測性或其它性質(zhì)；,為什么要研究標(biāo)準(zhǔn)形和最小實現(xiàn)？,利用標(biāo)準(zhǔn)形有時會極大簡化控制律的設(shè)計。例如在動態(tài)輸出反饋控制律設(shè)計、一些自適應(yīng)控制系統(tǒng)的控制律設(shè)計中，由于僅輸出狀態(tài)可測量，往往采用一些標(biāo)準(zhǔn)形作為控制律設(shè)計的基礎(chǔ)，從而使控制律的設(shè)計盡可能簡化；最小實現(xiàn)可以避免對系統(tǒng)可控性和可觀測性的討論，簡化分析和控制器設(shè)計。當(dāng)然，在系統(tǒng)分析時，有時也

2、需要用到非最小實現(xiàn)。,3,§3-1系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形,一、單變量系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形,4,求標(biāo)準(zhǔn)形的等價變換陣也有兩種方法：先求P;先求 P?1 。,5,定理3-1：設(shè)系統(tǒng)(3-1)可控，則可通過等價變換將其變成如下所示的可控標(biāo)準(zhǔn)形：,1. 可控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn),6,求可控標(biāo)準(zhǔn)形的方法一：先求變換陣P,7,8,9,10,11,求可控標(biāo)準(zhǔn)形的方法二：先求變換陣P?1 1). 令基底為：,12,13,14,15,16,17,證完。,18,解

3、：先判斷可控性，再計算變換矩陣，將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。,例題:設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,試將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為第二可控標(biāo)準(zhǔn)形。,19,此時標(biāo)準(zhǔn)形中的系統(tǒng)矩陣的最后一行的系數(shù)其實就是A陣特征式的系數(shù)，但符號相反。 現(xiàn)根據(jù)前述方法構(gòu)造變換矩陣 P,20,則變換矩陣為,21,22,2. 可觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn),復(fù)習(xí)：對偶原理,23,定理3-2：設(shè)系統(tǒng)(3-1)可觀，則可通過等價變換將其變成如下所示的可觀標(biāo)準(zhǔn)形：,一個單輸出系統(tǒng)如果其A、c 陣有如

4、上的標(biāo)準(zhǔn)形式，它一定是可觀測的，可以通過PBH檢驗立即看出。,24,現(xiàn)在通過對偶原理來找出將系統(tǒng)化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣。,式中 具有可觀標(biāo)準(zhǔn)形的形式。構(gòu)造步驟如下：,給定系統(tǒng)方程如下,目的是要將其化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形,25,2. 寫出原系統(tǒng),1. 計算可觀性矩陣，若系統(tǒng)可觀測，可以化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形。,用對偶原理求可觀標(biāo)準(zhǔn)形步驟：,的對偶系統(tǒng)：,3. 對系統(tǒng)(II)，求將其化為可控標(biāo)準(zhǔn)形的變換陣 P：,26,轉(zhuǎn)置處理后有

5、：,27,從以上各個步驟可以看出，求等效變換陣的核心實際上是求對偶系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形的P陣。 P陣一旦求出，則根據(jù)以上步驟4、5立即可得到原系統(tǒng)的可觀標(biāo)準(zhǔn)形。,28,1. Luenberger 可控標(biāo)準(zhǔn)形,定理3-3 設(shè)系統(tǒng)(3-15)可控，則存在等價變換將其化為 (3-16)所示的可控標(biāo)準(zhǔn)形。,二、 多變量系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形,(3-16),其中,29,這里 分別是

6、 的矩陣。,,,30,31,32,下面介紹變換的具體做法。,2）. 列出可控性矩陣：,按上面的排列順序，自左向右挑選出n個線性無關(guān)向量，再重新排列如下：,1）. 不失一般性，假設(shè)B=[b1 b2,……bp]列滿秩；,,33,,34,4）. 求出 P1，以 hi 表示P1陣的,,,35,然后構(gòu)造變換陣：,5）. 取非奇異變換

7、 ,就可得到,36,討論：1）P2的可逆性證明：,a）由,37,38,39,40,證完。,41,42,,43,,44,一般地，若基底矩陣(P1)?1是按照如下方法得到：,,則必有,45,P.82 例題3-2 設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程(A、B、C)為,試求其可控標(biāo)準(zhǔn)形。,解 計算可控性矩陣,,,,46,可知其前四個線性無關(guān)列為1,2,3,5列，故?1=3, ? 2=1,,可求出h1=[2 1 0 0 ],