第2章隨機過程的基本概念和基本類型

1、第2章 隨機過程的基本 概念和基本類型,2.1 基本概念,在概率論中，我們研究了隨機變量，,維隨機向量。,在極限定理中，我們研究了無窮多個隨機變量，,但局限,在它們相互獨立的情形。,將上述情形加以推廣，,即研究,一族無窮多個、相互有關(guān)的隨機變量，,這就是隨機過程。,定義2.1：,設(shè),是一概率空間，,對每一個參數(shù),，,,是一定義在概率空間,,上的隨機,變量，,則稱隨機變量族,,為該概率,空間上的一隨機過程。,稱為參數(shù)集。,隨機過程的

2、兩種描述方法：,用映射表示,,即,是一定義在,上的二元單值函數(shù)，,,,固定,是一定義在樣本空間,上的函數(shù)，,即為一隨機變量；,對于固定的,,,是一個,關(guān)于參數(shù),,的函數(shù)，,或稱隨機,過程的一次實現(xiàn)。,記號,通常稱為樣本函數(shù)，,,有時記為,,或簡記為,,參數(shù),,一般表示時間或空間。,參數(shù)常用的一般有：,(1),,(2),,,(3),當(dāng)參數(shù)取可列集時，,一般稱隨機過程為隨機序列。,隨機過程,,可能取值的全體所構(gòu)成的集合,稱為此隨機過程的狀態(tài)

3、空間，記作S.,,S中的元素,稱為狀態(tài)。狀態(tài)空間可以由復(fù)數(shù)、實數(shù)或更一般的,抽象空間構(gòu)成。,,,隨機過程分為以下四類：,(1)離散參數(shù)離散型隨機過程；,(2)連續(xù)參數(shù)離散型隨機過程；,(3)連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機過程；,(4)離散參數(shù)連續(xù)型隨機過程。,以隨機過程的統(tǒng)計特征或概率特征的分類，一般有：,獨立增量過程；,Markov過程；,二階矩過程；,平穩(wěn)過程；,更新過程；,Poission過程；,維納過程。,鞅；,隨機過程舉例,例2.1,例2

4、.2,拋擲一枚硬幣，樣本空間為,,定義：,,,,,隨機過程。,例2.3,2.2 有限維分布與Kolmogvrov定理,一、隨機過程的分布函數(shù),1. 一維分布函數(shù),,2. 二維分布函數(shù),,3. n維分布函數(shù),,4. 有限維分布族,,——稱為有限維分布族,5. 有限維分布族的性質(zhì),(1) 對稱性,,(2) 相容性,注1：隨機過程的統(tǒng)計特性完全由它的有限維分 布族決定。,注2：有限維分布族與有限維特征函數(shù)族相互

5、唯 一確定。,問題：,一個隨機過程,是否描述了該過程的全部概率特性？,,的有限維分布族，,定理：（Kolmogorov存在性定理）,設(shè)分布函數(shù)族,滿足以上提到的對稱性和相容性，,則必有一隨機過程,,恰好是,的有限維分布族，即：,定理說明：,,的有限維分布族包含了,的所有概率信息。,例2.4,例2.5,二、隨機過程的數(shù)字特征,1. 均值函數(shù),隨機過程,,（假設(shè)是存在的）,的均值函數(shù)定義為：,,2. 方差函數(shù)

6、,隨機過程,的方差函數(shù)定義為：,,3. (自)協(xié)方差函數(shù),,4. (自)相關(guān)函數(shù),,5. (互)協(xié)方差函數(shù),,6. 互相關(guān)函數(shù),7. 互不相關(guān),8. 特征函數(shù),,,為隨機過程,,的有限維特征函數(shù)族。,記：,例2.6,例2.7,作業(yè)1,2.3 隨機過程的基本類型,一、嚴平穩(wěn)過程,定義1：,二、嚴平穩(wěn)過程的特點,則,三、寬平穩(wěn)過程,(簡稱平穩(wěn)過程),定義2：,注1：,注2：,例2.8,例2.9,四、平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1：,性質(zhì)2