第五講線性代數(shù)中的數(shù)值計算問題

1、第五講 線性代數(shù)中的數(shù)值計算問題,【引 例 】求下列三階線性代數(shù)方程組的近似解,MATLAB程序為：A=[2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4]；b=[5;6;5]；x=A\b,在MATLAB命令窗口，先輸入下列命令構造系數(shù)矩陣A和右端向量b：A=[2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4]A = 2 -5 4 1 5 -2 -1 2 4b=[5;6;5]

2、b = 5 6 5然后只需輸入命令x=A\b即可求得解x：x=A\bx = 2.7674 1.1860 1.3488,一、 特殊矩陣的實現(xiàn),1.零矩陣:所有元素值為零的矩陣稱為零矩陣。零矩陣可以用zeros函數(shù)實現(xiàn)。zeros是MATLAB內(nèi)部函數(shù)，使用格式如下：zeros(m)：產(chǎn)生m? m階零矩陣；zeros(m,n)：產(chǎn)生m? n階零矩陣，當m=n時等同于zeros(m)；z

3、eros(size(A))：產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣。,一、 特殊矩陣的實現(xiàn),常見的特殊矩陣有零矩陣、幺矩陣、單位矩陣、三角形矩陣等，這類特殊矩陣在線性代數(shù)中具有通用性；還有一類特殊矩陣在專門學科中有用，如有名的希爾伯特(Hilbert)矩陣、范德蒙(Vandermonde) 矩陣等。,2.幺矩陣:所有元素值為1的矩陣稱為幺矩陣。幺矩陣可以用ones函數(shù)實現(xiàn)。它的調(diào)用格式與zeros函數(shù)一樣?！纠?】 試用ones分別建立3?2階

4、幺矩陣、和與前例矩陣A同樣大小的幺矩陣。用ones(3,2) 建立一個3? 2階幺陣：ones(3,2) % 一個3?2階幺陣ans =1 1 1 1 1 1,一、 特殊矩陣的實現(xiàn),3.單位矩陣:主對角線的元素值為1、其余元素值為0的矩陣稱為單位矩陣。它可以用MATLAB內(nèi)部函數(shù)eye建立，使用格式與zeros相同。4.數(shù)量矩陣:主對角線的元素值為一常數(shù)d、其余元素值為0的矩陣稱

5、為數(shù)量矩陣。顯然，當d=1時，即為單位矩陣，故數(shù)量矩陣可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。,一、 特殊矩陣的實現(xiàn),5.對角陣:對角線的元素值為常數(shù)、其余元素值為0的矩陣稱為對角陣。我們可以通過MATLAB內(nèi)部函數(shù)diag，利用一個向量構成對角陣；或從矩陣中提取某對角線構成一個向量。使用格式為diag(V)和diag(V,k)兩種。,6.用一個向量V構成一個對角陣設V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個m?m階

6、對角陣，其主對角線的元素值即為向量的元素值；diag(V,k)將產(chǎn)生一個n?n(n=m+|k|，k為一整數(shù))階對角陣，其第k條對角線的元素值即為向量的元素值。注意：當k＞0，則該對角線位于主對角線的上方第k條；當k＜0，該對角線位于主對角線的下方第|k|條；當k=0，則等同于diag(V)。用diag建立的對角陣必是方陣。,一、 特殊矩陣的實現(xiàn),【例2】已知向量v，試建立以向量v作為主對角線的對角陣A；建立分別以向量v作為主對角線兩側的

7、對角線的對角陣B和C。MATLAB程序如下：,v =[1;2;3]; % 建立一個已知的向量AA=diag(v)A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3B=diag(v,1)B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0

8、0 0C=diag(v,-1)C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3,% 按各種對角線情況構成相應的對角陣A、B和C,一、 特殊矩陣的實現(xiàn),7.從矩陣中提取某對角線我們也可以用diag從矩陣中提取某對角線構成一個向量。設A為m ? n階矩陣，diag(A)將從矩陣A中提取其主

9、對角線產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的向量。diag(A,k)的功能是：當k＞0，則將從矩陣A中提取位于主對角線的上方第k條對角線構成一個具有n-k個元素的向量；當k＜0，則將從矩陣A中提取位于主對角線的下方第|k|條對角線構成一個具有m+k個元素的向量；當k=0，則等同于diag(A)。,一、 特殊矩陣的實現(xiàn),【例3】 已知矩陣A，試從矩陣A分別提取主對角線及它兩側的對角線構成向量B、C和D。MATLAB程序如下：A=[1

10、2 3;4 5 6]; % 建立一個已知的2?3階矩陣A% 按各種對角線情況構成向量B、C和DB=diag(A)B = 1 5C=diag(A,1)C = 2 6D=diag(A,-1)D = 4,一、 特殊矩陣的實現(xiàn),8.上三角陣：使用格式為triu(A)、triu(A,k)設A為m?n階矩陣，triu(A)將從矩陣A中提取主對角線之上的上三角部分構成一個m? n階上三角陣；tr

11、iu(A,k)將從矩陣A中提取主對角線第|k|條對角線之上的上三角部分構成一個m?n階上三角陣。注意：這里的k與diag(A,k)的用法類似，當k＞0，則該對角線位于主對角線的上方第k條；當k＜0，該對角線位于主對角線的下方第|k|條；當k=0，則等同于triu (A),一、 特殊矩陣的實現(xiàn),【例4】試分別用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)從矩陣A提取相應的上三角部分構成上三角陣B、C和D。MATLAB程序如

12、下：A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7]; % 一個已知的4?3階矩陣A% 構成各種情況的上三角陣B、C和DB=triu(A)B = 1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0C=triu(A,1)D=triu(A,-1),一、 特殊矩陣的實現(xiàn),9.下三角陣：使用格式為tril(A)、tril(A,k

13、)tril的功能是從矩陣A中提取下三角部分構成下三角陣。用法與triu相同。,10.空矩陣在MATLAB里，把行數(shù)、列數(shù)為零的矩陣定義為空矩陣?？站仃囋跀?shù)學意義上講是空的，但在MATLAB里確是很有用的。例如A=[0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6];B=find(A>1.0)B = [ ]這里[ ]是空矩陣的符號，B=find(A>1.0)表示列出矩陣A中值大于1.0的元素的序號。當不能滿足括號中的

14、條件時，返回空矩陣。另外，也可以將空矩陣賦給一個變量，如：B=[ ]B = [ ],一、 特殊矩陣的實現(xiàn),二、矩陣的特征值 與特征向量,對于N?N階方陣A，所謂A的特征值問題是：求數(shù)λ和N維非零向量x（通常為復數(shù)），使之滿足下式：A. x=λ? x則稱λ為矩陣A的一個特征值（特征根），而非零向量x為矩陣A的特征值λ所對應的特征向量。對一般的N? N階方陣A，其特征值通常為復數(shù)，若A為實對稱矩陣，則A的特征值為實數(shù)。,二

15、、矩陣的特征值與特征向量,MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)eig可以用來計算特征值與特征向量。eig函數(shù)的使用格式有五種，其中常見的有E=eig(A)、[V,D]=eig(A)和[V,D]=eig(A,’nobalance’)三種，另外兩種格式用來計算矩陣的廣義特征值與特征向量：E=eig(A,B)和[V,D]=eig(A,B)。,二、矩陣的特征值與特征向量,(1) E=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個特征值，構成向量E；(2)

16、 [V,D]=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個特征值，構成N?N階對角陣D，其對角線上的N個元素即為相應的特征值，同時將返回相應的特征向量賦予N?N階方陣V的對應列，且A、V、D滿足A?V=V? D；(3) [V,D]=eig(A,’nobalance’)：本格式的功能與格式(2)一樣，只是格式(2)是先對A作相似變換(balance)，然后再求其特征值與相應的特征向量；而本格式則事先不作相似變換；,二、矩陣的特征值與特征

17、向量,(4) E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回N?N階方陣A和B的N個廣義特征值，構成向量E。(5) [V,D]=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方陣A和B的N個廣義特征值，構成N? N階對角陣D，其對角線上的N個元素即為相應的廣義特征值，同時將返回相應的特征向量構成N?N階滿秩矩陣，且 滿足A?V=B? V? D。,二、矩陣的特征值與特征向量,【例5】試用格式(1)求下列對稱矩陣A的特征值；用格式(2)求A的特征

18、值和相應的特征向量，且驗證之。A =[ 1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 1.0000 0.2500 0.5000 0.2500 2.0000 ];執(zhí)行eig(A)將直接獲得對稱矩陣A的三個實特征值：,二、矩陣的特征值與特征向量,eig(A)ans = -0.0166 1.4801 2.5365而下列命令則將其三

19、個實特征值作為向量賦予變量E：E=eig(A)E = -0.0166 1.4801 2.5365,二、矩陣的特征值與特征向量,三、行列式的值,MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)det用來計算矩陣的行列式的值。設矩陣A為一方陣(必須是方陣)，求矩陣A的行列式值的格式為：det(A)。注意：本函數(shù)同樣能計算通過構造出的稀疏矩陣的行列式的值。關于如何構造稀疏矩陣，將在本章最后一節(jié)介紹。,三、行列式的值,【例6】利用隨機

20、函數(shù)產(chǎn)生一個三階方陣A，然后計算方陣之行列式的值。A=rand(3)A = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214det(A)ans = 0.4289,四、 矩陣求逆及其 線性代數(shù)方程組求解,1 . 矩陣求逆若方陣A,B滿足等式A*B = B*A = I (I為單

21、位矩陣)則稱A為B的逆矩陣，或稱B為A的逆矩陣。這時A，B都稱為可逆矩陣(或非奇異矩陣、或滿秩矩陣)，否則稱為不可逆矩陣(或奇異矩陣、或降秩矩陣)。,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,【例7】試用inv函數(shù)求方陣A的逆陣A-1賦值給B，且驗證A與A-1是互逆的。A=[1 -1 1;5 -4 3;2 1 1];B=inv(A)B = -1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2

22、000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000A*Bans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000,B*Aans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

23、 0.0000 0.0000 1.0000,,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,2. 矩陣求逆解法利用求系數(shù)矩陣A的逆陣A-1，我們可以得到矩陣求逆解法。對于線性代數(shù)方程組Ax=b，等號兩側各左乘A-1，有：A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得：x=A-1b,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,【例8】試用矩陣求逆解法求解例6.20中矩陣A為系數(shù)矩陣的線性代數(shù)方程組Ax=b的解。A=[1 -1 1;

24、5 -4 3;2 1 1];b=[2;-3;1];x=inv(A)*bx = -3.8000 1.4000 7.2000,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,3. 直接解法對于線性代數(shù)方程組Ax=b，我們可以運用左除運算符“\”象解一元一次方程那樣簡單地求解： x=A\b當系數(shù)矩陣A為N*N的方陣時，MATLAB會自行用高斯消去法求解線性代數(shù)方程組。若右端項b為N*1的列向量，則x

25、=A\b可獲得方程組的數(shù)值解x（N*1的列向量）；若右端項b為N*M的矩陣，則x=A\b可同時獲得同一系數(shù)矩陣A、M個方程組數(shù)值解x（為N*M的矩陣），即x(:,j)=A\b(:,j)，j=1,2,…M。,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,解法1：分別解方程組 (1)Ax=b1；(2)Ay=b2A=[1 -1 1;5 -4 3;2 1 1];b1=[2;-3;1];b2=[3;4;-5];x

26、=A\b1x = -3.8000 1.4000 7.2000,y=A\b2 -3.6000 -2.2000 4.4000,得兩個線性代數(shù)方程組的解： (1) x1= -3.8， x2= 1.4， x3= 7.2； (2) y1= -3.8， y2= 1.4， y3= 7.2,四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解,解法2：將兩個方程組連在一起求解：Az=bb=[2 3;-3 4;1 -5]