工程流體力學(xué)的計(jì)算方法cfd基礎(chǔ)

1、第13章 工程流體力學(xué)的計(jì)算方法（CFD基礎(chǔ)）,§13.1代數(shù)方程的牛頓迭代法,牛頓迭代法用于求解超越方程,的根，在曲線,上取一點(diǎn),求,顯然,是方程,的一個(gè)比,更精確的解，,重復(fù)以上計(jì)算可以得到任意精確的解。,例：水從池中經(jīng)管道流出，已知管長(zhǎng),沿程阻力損失系數(shù),局部阻力損失系數(shù),,水徑,設(shè)計(jì)流量,試求管徑d,解：列水面和管道出口截面的伯努利方程：,代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得：,令,則上式化為：,選,作為初值,經(jīng)3次迭代后得,誤差小于,

2、因此取,退出,§13.2差分法,解析函數(shù),可以在點(diǎn),領(lǐng)域展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù),設(shè)有,三個(gè)差分節(jié)點(diǎn)，,其坐標(biāo)為,設(shè)函數(shù)在這三個(gè)節(jié)點(diǎn)的值為：,設(shè)節(jié)點(diǎn)間距為,則有泰勒展開(kāi)式,①,②,退出,則有,③,一階導(dǎo)數(shù)向后差分式,④,一階導(dǎo)數(shù)向前差分式,可見(jiàn),具有,的一階精度,①②上述兩式相減則有：,⑤,①②上述兩式相加則有：,⑥,對(duì)于形如,,的微分方程也可以求出y的泰勒展開(kāi)式,,退出,兩式相減得：,可見(jiàn)：,具有三階精度。,退出,在平面勢(shì)流中，流函數(shù)

3、和速度勢(shì)函數(shù)均滿足拉普拉斯方程：,現(xiàn)將計(jì)算區(qū)域分成若干網(wǎng)格，每個(gè),網(wǎng)格的邊長(zhǎng)都是,，節(jié)點(diǎn),簡(jiǎn)記為,其二階導(dǎo)數(shù)可以用式⑥近似表示，則拉普拉斯的差分式為：,令,則：,⑦,對(duì)每個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)都建立形如上式的差分方程，就得到各節(jié)點(diǎn)的流函數(shù)的代數(shù)方程組，給出邊界條件，用迭代法可求出其數(shù)值解。,例：水在兩平板間流動(dòng)，上板壁的滲透速度v0=1m/s下壁不可滲透，入口和出口速度均勻分布，分別為u1=3m/s和u2=1m/s 和，設(shè)板長(zhǎng)h

4、=3m 寬h=1.5m,將長(zhǎng)和寬分成3等份：,退出,①下壁面是一條流線，取其流函數(shù)為零，即,②左邊入口處：,因而,同理,③右邊出口處：,④在上壁面，,退出,各節(jié)點(diǎn)的代數(shù)方程，,由⑦式得：,點(diǎn)（2，2）,點(diǎn)（2，3）,點(diǎn)（3，2）,點(diǎn)（3，3）,退出,利用高斯法解此線性方程組得：,于是各節(jié)點(diǎn)的流函數(shù)的數(shù)值為：,4.50 3.50 2.50 1.50 3.00 2.33 1.67 1.001.50 1

5、.17 0.83 0.500.00 0.00 0.00 0.00,※ 流函數(shù)的物理意義：平面流動(dòng)中，流過(guò)兩條流線間任一曲線的體積流量（單位厚度）等于兩條流函數(shù)之差。,退出,§13.3特征線法,特征線法用于求解一維非定?？蓧嚎s流動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值解，水擊壓力波在管道內(nèi)的傳播，高速列車進(jìn)入隧道時(shí)所產(chǎn)生的壓力波的傳播，都屬于這種流動(dòng)。,圓截面中可壓縮粘性的非定常流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：,①,管壁粘性摩擦應(yīng)力,可以用沿程阻

6、力損失系數(shù),表示：,②,②代入①得：,③,退出,連續(xù)性方程：,④,壓力波的傳播速度：,音波（微壓波）,水擊波：,D：管道直徑,E：流體體積彈性系數(shù),E固：管壁材料的彈性模量,δ：管壁厚度,ρ：流體密度,水擊波的傳播速度C=1200～1400m/s,退出,這樣連續(xù)性方程可改寫(xiě)成:,③，⑤兩式相加，減得：,如果：,則：,如果：,則：,退出,表示一條x–t的關(guān)系曲線，記作C+，稱為特征曲線C+。,同樣,稱為特征線C－ 。,這樣⑥⑦式可以寫(xiě)成：

7、,沿特征線C+：,⑧,沿特征線C－：,⑨,退出,下面用特征線法研究水擊波和隧道壓力波問(wèn)題,1.水擊波,水擊波傳播速度C=1200～1400m/s，遠(yuǎn)大于水速度u，因此，特征線方程可以寫(xiě)成：,沿C+：,⑽,沿C－：,⑾,設(shè)管長(zhǎng)為L(zhǎng)，管壁為D，截面,管內(nèi)流速為u，閥門過(guò)流截面A隨時(shí)間而變,，過(guò)流速為V，V>u,退出,在初始時(shí)刻（t=0），管道定常出流，根據(jù)伯努利方程：,此時(shí)，管流速度為定常出流速度，記作u0,距管道入口x的截面上壓強(qiáng)水

8、頭,的伯努利方程：,即：壓強(qiáng)水頭h沿x的分布為：,退出,當(dāng)t>0時(shí)，管道入口的壓強(qiáng)水頭恒為h0即,在閥門處，V和h的關(guān)系：,此時(shí)管內(nèi)流速u：,取L為特征長(zhǎng)度，h0為特征水頭，u0取為特征速度，L0/C特征時(shí)間,將式⑧⑨⑩⑾⑿寫(xiě)成無(wú)量綱的形式：又,沿C+：,⒀,沿C－：,⒁,式中：沿,（邊界條件：）,退出,初始條件：,邊界條件：,⒂,（初始條件：）,目的是要計(jì)算出管道每一截面處的流動(dòng)參數(shù)從時(shí)刻t=0到t=T任一時(shí)間里的變化值。,將管

9、長(zhǎng)L分為N等分，,即無(wú)量綱的空間步長(zhǎng),時(shí)間步長(zhǎng)與空間步長(zhǎng)相等,退出,計(jì)算x–t圖上的網(wǎng)絡(luò)如上圖所示。,如果,時(shí)刻管軸上每一個(gè)節(jié)點(diǎn),的流動(dòng)參數(shù)u，h已經(jīng)算出，,利用特征線方程就可以計(jì)算下一時(shí)刻,各個(gè)節(jié)點(diǎn),的流動(dòng)參數(shù),將時(shí)刻,的節(jié)點(diǎn)（i+1，j）記為P，過(guò)P作特征線C+和C－必,通過(guò)節(jié)點(diǎn)和（i，j-1）（i-1，j）和（i，j-1）分別記為W和E,退出,根據(jù)特征線方程⒀⒁有：,或,這樣就可以求出P點(diǎn)的h和u，即：,其中：,退出,在x=0處，

10、只有一條特征線C－，但由于壓強(qiáng)水頭恒為1，因此：,在x=1處，即j=N處，只有一條特征線C+但u 可以由式⒂給出：,由以上兩式聯(lián)立可解出,和,逐個(gè)時(shí)刻進(jìn)行計(jì)算，就可以得到各時(shí)刻管道上個(gè)節(jié)點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)，u和h的值。,退出,2.隧道壓力波,波速C是小擾動(dòng)波的傳播，,氣流速度u和C相比不一定,是微量，不能忽略，另外C是變化的，小擾動(dòng)波的傳播可視為等熵,過(guò)程。,由,得到：,退出,于是特征線方程可以寫(xiě)成：,沿C+：,⒃,沿C－：,⒄,式中：,特征

11、線不經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)，因?yàn)椴▌?dòng),方程的差分要滿足：,因空間步長(zhǎng)△x要大于時(shí)間步長(zhǎng)△t,所以w點(diǎn)落在節(jié)點(diǎn)（i,j-1）的右側(cè),E點(diǎn)落在節(jié)點(diǎn)（i,j+1）的左側(cè),退出,特征方程⒃⒄的差分形式為：,的位置未知，要反復(fù)迭代才能確定其位置，當(dāng),確定后，點(diǎn)的參數(shù)用節(jié)點(diǎn),的參數(shù)內(nèi)插得到，符號(hào)表,示兩點(diǎn)間的平均值。,當(dāng)各節(jié)點(diǎn)的u和c求出后，由等熵關(guān)系求出節(jié)點(diǎn)的ρ ，R，T,其初始條件和邊界條件的確定比較復(fù)雜。,退出,§13.4有限元的插值函數(shù),一．線

12、性插值,如果已知曲線上的幾個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),求曲線,方程，可以近似用折線表示：,如果將坐標(biāo)原點(diǎn)放在x1處，即x1=0且令x2–x1=L,則有：,令,退出,∴,顯然：,稱為樣條函數(shù)或插值函數(shù),已知n個(gè)點(diǎn)曲線可以表示為：,一.加權(quán)余量法，設(shè)有流動(dòng)問(wèn)題的方程和邊界條件是：,退出,一般化為：,設(shè)u近似為：,定義余量,為：,要使,最小，則存在加權(quán)函數(shù),與,在區(qū)域Ω內(nèi)E正,交，即內(nèi)積為零：,如果選,為加權(quán)函數(shù)，則有,即：,解此方程可求出系數(shù)u1,…,um這