無限長單位脈沖響應iir濾波器設計

1、第三章 無限長單位脈沖響應(IIR)濾波器設計,二、雙線性變換法 脈沖響應不變法的主要缺點是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標準變換z＝esT的多值對應關系導致的,為了克服這一缺點，設想變換分為兩步： 第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里； 第二步：通過標準變換關系將此橫帶變換到整個Z平面上去。 由此建立S平面與Z平面一一對應的單值關系，消除多值性，

2、也就消除了混淆現(xiàn)象。,s平面,s1平面,z平面,雙線性變換法的映射關系,為了將S平面的jΩ軸壓縮到S1平面jΩ1軸上的－π/T到π/T 一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)：這里C是待定常數(shù)。經(jīng)過這樣的頻率變換，當Ω由 時, Ω1由-π/T經(jīng)過０變化到π/T ，即S平面的整個jΩ軸被壓縮到S1平面的－π/T到π/T 。,將這一關系解析擴展至整個S平面，則得到S平面到S1平面的映射關系：

3、 再將 S1 平面通過標準變換關系映射到Z平面，即令,通常取C=2/T，,,考慮z = ejω,,圖1 雙線性變換的頻率關系,最后得S平面與Z平面的單值映射關系： 雙線性換法的主要優(yōu)點是S平面與Z平面一一單值對應，S平面的虛軸(整個jΩ)對應于Z平面 單位圓的一周，S平面的Ω=0處對應于Z平面的ω=0處。數(shù)字濾波器的頻率響應終止于折迭頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效

4、應。,,現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設計數(shù)字濾波器時，從 S平面到Z平面映射變換的二個基本要求：① 當 時，代入(1)式，得：對于虛軸 ,即S平面的虛軸映射到Z平面正好是單位圓。,② 代入(2)式,當 時，,即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外

5、，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。,小結 1) 與脈沖響應不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點：S平面與Z平面是單值的一一對應關系(靠頻率的嚴重非線性關系得到的)，即整個jΩ軸單值的對應于單位圓一周，關系式為： 可見，ω和Ω為非線性關系，如圖2。,由圖中看到，在零頻率附近，Ω～ω接近于線性關系，Ω進一步增加時, ω增長變得緩慢，(ω終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折

6、疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。,圖2 雙線性變換的頻率非線性關系,2)雙線性變換缺點： Ω與ω成非線性關系，導致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅頻響應有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關系上發(fā)生畸變)。 例如，一個模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器,b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。,雖然雙線性變換有這樣的

7、缺點，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為∞的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。,,例如，一個考爾(橢圓)型的模擬濾波器Ha(s)，雙線性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特

8、性，只是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點、谷點頻率等臨界頻率點發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點的畸變可以通過預畸來加以校正。,預畸變：即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上。 利用關系式： 將所要設計的數(shù)字濾波器臨界頻率點 ,變換成對應的模擬域頻率 , 利用此設計模擬濾波器，再通過雙線性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其

9、臨界頻率正是 。如圖所示。,雙線性變換時頻率的預畸,,,,,３)計算H(Z) 雙線性變換比脈沖響應法的設計計算更直接和簡單。由于s與z之間的簡單代數(shù)關系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。 置換過程: 頻響：,這些都比脈沖響應不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應時，采用脈沖響應不變法較好，而其他情況下，對于II

10、R的設計，大多采用雙線性變換。,§3.2 常用模擬低通濾波器特性,為了方便學習數(shù)字濾波器，先討論幾種常用的模擬低通濾波器設計方法，高通、帶通 、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。 模擬濾波器的設計就是根據(jù)一組設計規(guī)范設計模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個理想濾波器特性。,因果系統(tǒng)中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應，是實函數(shù)。∴ 不難看出,定義振幅平方函數(shù),式中 Ha(s)—

11、模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(jΩ)—濾波器的頻率響應 |Ha(jΩ)|—濾波器的幅頻響應又 S=jΩ，Ω2=-S2∴ A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ,問題：由A(-S2)→Ha(S),對于給定的A(-S2)，先在S復平面上標出A(-S2)的極點和零點，由(1)式知，A(-S2)的極點和零點總是“成對出現(xiàn)”，且對稱于S平面的實軸和虛軸，選用A(-S2)的對稱極、零點的任一半作為Ha

12、(s)的極、零點，則可得到Ha(s)。 為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應選用A(-S2)在S左半平面的極點作為Ha(s)的極點，零點可選用任一半。,書上例子,設已知幅度平方函數(shù)A(Ω2) = ,求對應的模擬系統(tǒng)傳輸函數(shù)Ha(s),令s=jΩ，帶入表達式得：,這4個極點和2個零點在s平面上的分布如圖所示。,,S平面左半平面的2個極點和一個零點構成Ha(s),右半平面的2個極點和一個零點構成

13、Ha(-s)。則：,三種模擬低通濾波器的設計：1)巴特沃茲濾波器 (Butterworth 濾波器) (巴特沃茲逼近) 特點：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f↗，幅頻特 性 單調(diào)↘。 其幅度平方函數(shù)：,N為濾波器階數(shù)，如圖1,圖1 巴特沃茲濾波器 振幅平方函數(shù),通帶: 使信號通過的頻帶 阻帶：抑制噪聲通過的頻帶 過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范

14、圍 Ωc ：截止頻率。 過渡帶為零， 阻帶|H(jΩ)|=0 通帶內(nèi)幅度|H(jΩ)|=cons.， H(jΩ)的相位是線性的。,,理想濾波器,圖1中，N增加，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越陡。通

15、帶內(nèi)，分母Ω/Ωc1， ( Ω/Ωc)2N 》1, Ω增加， A(Ω2)快速減小。Ω=Ωc, ， ,幅度衰減 ，相當于3db衰減點。,振幅平方函數(shù)的極點： 令分母為零，得 可見，Butter worth濾波器的幅度平方函數(shù)

16、有2N個極點，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=Ωc的圓周上。,,圖2 三階A(-S2)的極點分布,例：N=3階BF振幅平方函數(shù)的極點分布如圖。,考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知DF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點(SP3，SP4，SP5)組成的，它們分別為：,系統(tǒng)函數(shù)為：,令 ，得歸一化的三階BF： 如果要還原的話，則有,2)切比雪夫(chebyshev)濾波器 (切比雪夫多項式逼近) (選講) 特點

17、：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率 處，幅度下降很多，或者說，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次(N)很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式逼近所希望的 。,切比雪夫濾波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小?？筛鶕?jù)需要對通帶內(nèi)允許的衰減量(波動范

18、圍)提出要求，如要求波動范圍小于1db。,振幅平方函數(shù)為 —有效通帶截止頻率— 與通帶波紋有關的參量， 大 ，波紋大。 0 < <1,VN(x)—N階切比雪夫多項式，定義為,雙曲余弦 cosh(x)=,cosh(x),acosh(x),N為偶數(shù)，

19、 ，min ， N為奇數(shù)， ， max，,,當 Ω=0時，,如圖1 ，通帶內(nèi) 變化范圍,Ω＞Ωc ，隨Ω/Ωc ↗， →0 (迅速趨于零),切比雪夫濾波器的振幅平方特性,有關參數(shù)的確定:

20、 a、通帶截止頻率 ，預先給定 b、由通帶波紋表為 給定通帶波紋值分貝數(shù) 后，可求 。,c、階數(shù)N—由阻帶的邊界條件確定。( 、A事先給定),3、橢圓濾波器(考爾濾波器)(選講)特點：幅值響應在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得

21、較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。 其振幅平方函數(shù)為,RN(Ω，L)—雅可比橢圓函數(shù)L—表示波紋性質(zhì)的參量,N=5， 的特性曲線,可見，在歸一化通帶內(nèi)(-1≤Ω≤1)， 在(0，1)間振蕩，而超過ΩL后， 在

22、 間振蕩。 這一特點使濾波器同時在通常和阻帶具有任意衰減量。,下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)  橢圓濾波器的振幅平方函數(shù) 圖中ε和A的定義同切比雪夫濾波器,Ωr,Ωr,當Ωc、Ωr、ε和A確定后，階次N的確定方法為：式中