粒子物理與核物理實驗中的數(shù)據(jù)分析

1、粒子物理與核物理實驗中的數(shù)據(jù)分析,陳少敏清華大學第一講：基本概念,http://hep.tsinghua.edu.cn/~chensm/lectures/lecture_1.ppt,本次講座的要點,概率隨機變量與函數(shù)期待值誤差傳遞,實驗的目的是什么？,,,,,觀察某一過程的 n 個事例,實驗測量出每個事例的特征量(能動量，末態(tài)粒子數(shù)…)。,理論預言出上述各特征量的分布，而且可能還會包含某些諸如相互作用偶合常數(shù)等自由

2、參數(shù)。,收集數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析,,估計參數(shù)值與相應(yīng)的誤差范圍，檢驗在何種程度上理論與實驗數(shù)據(jù)相符。,問題：如何評價這種檢驗？,,使用概率來量化結(jié)論！,隨機事例,在一定的實驗條件下，現(xiàn)象A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，并且只有發(fā)生或不發(fā)生這樣兩種可能性，這是偶然現(xiàn)象中一種比較簡單的形態(tài)，我們把發(fā)生了現(xiàn)象A的事例稱為隨機事例A，簡稱事例A。,隨機事例之間的相互關(guān)系,A與B之并事例,A與B之積(交)事例,A之逆事例,指事例A與B中至少有一個

3、出現(xiàn)的事例,指事例A與B中同時出現(xiàn)的事例,指事例A不出現(xiàn)的事例,,,,,,,A,如果A與B互斥，則,概率的定義,柯尓莫哥洛夫公理：考慮一全集S具有子集A，B，…,從該公理可以導出下列概率公式,,A,B,C,S,,P(A)稱為事例A的概率,條件概率,假設(shè)B出現(xiàn)的概率不為零，在給定B的情況下出現(xiàn)A的條件概率定義為,如果 則表明A與B相互獨立。,如果A與B相互獨立，則有,注意: 與

4、不相交的子集定義不同,,結(jié)果與B無關(guān),概率的含義,相對頻率,假設(shè)A，B，…是一可重復實驗的結(jié)果，則概率就是,主觀概率,如果A，B，…是假設(shè)(是真或是假的各種陳述)，那么概率,兩種解釋皆與柯爾莫哥洛夫公理相符。概率的頻率解釋在數(shù)據(jù)分析中用起來比較自然，但是…,頻率概率中的問題,實際問題中，統(tǒng)計量總是有限的。P(A)完全取決于A的劃分與總統(tǒng)計量的大小。,概率大小會出現(xiàn)波動。,例如：我們可以說“明天有雨”。但是，如果我們根據(jù)概率頻率定義說“

5、明天可能有雨”，卻是一個毫無科學意義的預報。,該定義不適用于某些特殊情況,需要解決好A的定義適當?shù)恼`差,,主觀概率中的問題,主觀性：在對同一隨機現(xiàn)象的描述中，我的P(理論)與你的P(理論)可能不同,理論家甲之理論A,理論家乙之理論B,出于絕望 ? 出于無知 ?出于懶惰 ?,使用主觀概率的原因,主觀概率的一些特點,主觀概率有一些吸引人的地方，例如對于不可重復現(xiàn)象的處理中，顯得比較自然,系統(tǒng)誤差(重復實驗時仍

6、保持不變)；在該事例出現(xiàn)的粒子是正電子；自然界是超對稱的；明天將下雨(將來事件的不確定性)；公元1500年元月一日北京下雨(過去事件的不確定性)。,結(jié)論中包含了主觀上對事件為真的信念!,頻率論者與主觀概率,質(zhì)子質(zhì)量的不確定性與從100只球中有68只白球的球筐里能拿出白球的不確定性一樣。,頻率論者：質(zhì)子或非質(zhì)子 (不知道是哪個)主觀主義者(貝葉斯論者):68%是質(zhì)子(對知識的陳述),P(938.27195<質(zhì)子質(zhì)量<

7、;938.27211MeV)是什么？,對主觀概率而言，意味著,當以質(zhì)量來判斷一實際為質(zhì)子的粒子類別時,頻率論者與主觀概率(續(xù)),能否在頻率定義中將質(zhì)子質(zhì)量在938.27195-938.27211MeV內(nèi)理解成：在整個宇宙中，自然界給出了各種不同的質(zhì)子質(zhì)量，而它們中有68%在938.27195與938.27211MeV之間?,沒問題…只不過這是對信心程度的一種表達。,那么上述論斷的68%就應(yīng)該理解為結(jié)果為真的概率。,如果大多數(shù)貝葉斯論

8、者說,巴西贏得2006年世界杯冠軍的概率為68%質(zhì)子質(zhì)量在938.27195-938.27211MeV內(nèi)的概率為68%希拉里.克林頓2009年入主白宮的概率為68%,貝葉斯定理,根據(jù)條件概率的定義,而 ，故,貝葉斯定理由 Reverend Thomas Bayes (1702-1761) 首先提出。,貝葉斯理論與主觀概率,如果實驗證明P(實驗|理論)=0，則表明理論不能接受。

9、大的P(實驗|理論)會增加對理論的信任度。通過實驗結(jié)果可以改進P(理論)。改進的P(理論)可應(yīng)用于對重復實驗結(jié)果的預測。P(實驗|理論)對先驗理論的依賴將最終消失。,貝葉斯理論通常用于主觀概率問題,通過實驗結(jié)果改進基于某一理論的信念(后驗性的),全概率事例,考慮在樣本空間S中有一子集B。將樣本空間分為互斥的子集Ai，使得,,,,,,,,,,,B,因此，,,表示成概率的形式為,,得到全概率事例公式,貝葉斯定理,,S,,例子：如何利

10、用貝葉斯定理,假設(shè)對任意一個人而言，感染上AIDS的概率為,考慮任何一次AIDS檢驗的結(jié)果只有陰性(-)或陽性(+)兩種,如果你的檢驗結(jié)果為陽性(+)，而你卻覺得自己無任何感染渠道。那么你是否應(yīng)擔心自己真的感染上了AIDS？,例子：如何利用貝葉斯定理(續(xù)),利用貝葉斯定理，陽性結(jié)果條件下是AIDS患者的概率為,也就是說，你可能沒什么問題！,從你的觀點上看：對自己染上AIDS結(jié)果的可信度為3.2%。從醫(yī)生角度上看：象你這樣的人有3.2%

11、感染上了AIDS。,AIDS患者陽性所有為陽性結(jié)果的人,隨機變量與概率密度函數(shù),假設(shè)實驗結(jié)果為x (記作樣本空間中元素),那么概率密度函數(shù) p.d.f. 定義為 ，它滿足,定義累積分布函數(shù)為,對于離散型隨機變量,直方圖與概率密度函數(shù),概率密度函數(shù) p.d.f. 就是擁有無窮大樣本，區(qū)間寬度為零，而且歸一化到單位面積的直方圖。,直方圖在統(tǒng)計分析中非常重要，應(yīng)準確理解它的含義。,多變量情形,如果觀測量大于一個，例如 與,

12、投影分布,將聯(lián)合概率密度函數(shù) p.d.f. 投影到 軸(如圖所示),條件概率密度函數(shù),利用條件概率的定義，可得到,定義條件概率的密度函數(shù) p.d.f. 為,則貝葉斯定理可寫為,若 相互獨立，則,h(y|x),y,y,x,隨機變量的函數(shù)*,隨機變量的函數(shù)自身也是一個隨機變量。,假設(shè) 服從 p.d.f. ，對于函數(shù) ，其p.d.f. 為何？,函數(shù)的逆不唯一情況*,假如 的逆不唯一

13、，則函數(shù)的 p.d.f. 應(yīng)將 中對應(yīng)于 的所有 的區(qū)間包括進來,多個隨機變量的函數(shù)*,考慮隨機矢量 與函數(shù) ，對應(yīng)的 p.d.f.,例如隨機變量 服從聯(lián)合的 p.d.f. ，考慮函數(shù) ，其 應(yīng)是何種形式,多個隨機變量的函數(shù)(續(xù))*,考慮具有聯(lián)合的 p.d.f. 的隨機矢量

14、 ，構(gòu)造 個線性獨立的函數(shù)： ，而且其逆函數(shù) 存在。那么 的聯(lián)合 p.d.f. 為,這里 是雅可比行列式,,任意一個函數(shù)均可通過對函數(shù)積分掉其它不用的變量而得到。,期待值,考慮具有 p.d.f. 的隨機變量 ，定義期待(平均)值為,注意: 它不是 的函數(shù)，而是 的一個參數(shù)。,通常記為：,對離散型變

15、量，有,對具有 p.d.f. 的函數(shù) ，有,方差定義為,通常記為：,標準偏差：,協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),定義協(xié)方差 (也可用矩陣表示 )為,相關(guān)系數(shù)定義為,如果 獨立，即,則,誤差傳遞,假設(shè) 服從某一聯(lián)合 p.d.f. ，我們也許并不全部知道該函數(shù)形式 ，但假設(shè)我們有協(xié)方差,和平均值,現(xiàn)考慮一函數(shù) ，方差

16、 是什么？,將 在 附近按泰勒展開到第一級,然后，計算 與 …,誤差傳遞(續(xù)一),由于,所以,誤差傳遞(續(xù)二),兩項合起來給出 的方差,如果 之間是無關(guān)的，則 ，那么上式變?yōu)?類似地，對于 組函數(shù),誤差傳遞(續(xù)三),或者記為矩陣形式,注意：上式只對 為線性時是精確的，近似程度在函數(shù)非線性區(qū)變化比 要大時遭到

17、很大的破壞。另外，上式并不需要知道 的 p.d.f. 具體形式，例如，它可以不是高斯的。,誤差傳遞的一些特殊情況,注意在相關(guān)的情況下，最終的誤差會有很大的改變，例如當,,這種特征有時候是有益的：將公共的或難以估計的誤差，通過適當?shù)臄?shù)學處理將它們消掉，達到減小誤差的目的。,小結(jié),概率隨機變量隨機變量函數(shù)誤差傳遞,定義：柯爾莫哥洛夫公理+條件概率解釋：頻率或信心程度貝葉斯定理,概率密度函數(shù) p.d.f.

18、累積分布函數(shù)聯(lián)合，投影與條件的 p.d.f.,函數(shù)自身也是隨機變量 幾種方法找出 p.d.f.,函數(shù)方差的計算方法是基于一階泰勒展開，只對線性方程精確。,習題,習題1.1:一束光子束流含有10-4的電子.當它們通過一雙層的探測器會給出無擊中,單層擊中或雙層擊中的信號.對于可能是電子和光子的概率為(a)求在只觀測到一層擊中的情況下,是光子的概率;(b)求在觀測到兩層都擊中的情況下,是電子的概率.,習題(續(xù)),習題1.2:證明