基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在信息學競賽中的應(yīng)用

1、基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在信息學競賽中的應(yīng)用,安徽省蕪湖市第一中學朱晨光,IOI2006中國國家集訓(xùn)隊論文,安徽省蕪湖市第一中學 朱晨光,引言,題目難?應(yīng)用高級數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)！,本篇論文將介紹幾種基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在信息學競賽中的應(yīng)用，并通過幾道例題集中體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的重要作用。,編程復(fù)雜度高,容易出錯,第一部分——基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的介紹,一、線性表（線性表的順序存儲結(jié)構(gòu)）,線性表,二、線性表的鏈式存儲結(jié)構(gòu),線性鏈表：,線性表的鏈式存儲結(jié)構(gòu),循環(huán)

2、鏈表：,線性表的鏈式存儲結(jié)構(gòu),雙向鏈表：,棧,隊列,第二部分——基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用,棧的應(yīng)用 [例1] 求01矩陣中最大的全零矩形 線性表的應(yīng)用 [例2] 營業(yè)額統(tǒng)計隊列的應(yīng)用 [例3] 瑰麗華爾茲,線性表的應(yīng)用——營業(yè)額統(tǒng)計,給定N（1≤N≤32767）天的營業(yè)額a1,a2,……,an. 定義一天的最小波動值等于 min{|該天以前某一天的營業(yè)額-該天營業(yè)額|}特別地，第一天的最小波動值即為a

3、1 試求N天的最小波動值之和,例如：N=3,a1=9,a2=3,a3=8，則各天最小波動值依次為9，6，1，和為16,分析,這道題目的規(guī)模很大，如果簡單地用兩重循環(huán)解決，時間復(fù)雜度高達O(N2)，難以滿足要求。,算法低效的原因在于沒有高效地將數(shù)據(jù)組織起來，而是松散地存儲在數(shù)組中，導(dǎo)致對于每一個營業(yè)額都需要檢查前面所有的營業(yè)額。,分析,實際上，有一種高級數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——平衡樹可以解決這個問題。我們可以在將一天的營業(yè)額插入平衡樹的過程中得

4、到該天的最小波動值。方法是求出所有在插入路徑上的數(shù)字與改天營業(yè)額差的絕對值，從中取出最小值。這種算法的時間復(fù)雜度為O(Nlog2N).,進一步改進,平衡樹?左旋，右旋，雙旋……高效高出錯率,Yes!,那么，基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)能否在這里得到應(yīng)用呢？,應(yīng)用基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——雙向鏈表,將這N個元素進行排序，得到序列c，同時記錄原來第i個元素在排序后的位置bi,將排序后的序列在靜態(tài)數(shù)組中建成一個雙向鏈表,按照從an到a1的順序依次處理每個元素,雙向

5、鏈表,對于an，查看bn的前驅(qū)pre[bn]與后繼next[bn]所指的數(shù)最小波動值必然是an與這兩個數(shù)中的某一個的差的絕對值處理完an后，我們把它從雙向鏈表中刪除，接著處理an-1,動畫演示,,,,最小波動值為min{|8-3|,|8-9|}=min{6,1}=1,,,,最小波動值為min{|3-9|}=6,9,最小波動值為9,,最小波動值總和為1+6+9=16,時間復(fù)雜度分析,排序,O(Nlog2N),建表,O(N),處理,O(

6、N),,,O(Nlog2N),小結(jié),平衡樹,編程復(fù)雜度高,基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——雙向鏈表,沒有增加時間復(fù)雜度,大大降低編程復(fù)雜度,思路清晰,見解獨到,隊列的應(yīng)用——瑰麗華爾茲,給定一個N行M列的矩陣，矩陣中的某些方格上有障礙物。有一個人從矩陣中的某個方格開始滑行。每次滑行都是向一個方向最多連續(xù)前進ci格（也可以原地不動）。但是這個人在滑行中不能碰到障礙物?，F(xiàn)按順序給出K次滑行的方向（東、南、西、北中的一個）以及ci ，試求這個人能夠滑行的最長

7、距離（即格子數(shù)）。數(shù)據(jù)范圍：1≤N,M≤200，K≤200， ≤40000,樣例,,,,,,,,,,,,障礙,分析,本題是一個求最值的問題。根據(jù)題目中K次滑行的有序性以及數(shù)據(jù)范圍，可以很容易設(shè)計出這樣一種動態(tài)規(guī)劃算法：,,動態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下 ：（這里只給出向右滑行的轉(zhuǎn)移方程）f(0,startx,starty)=0f(k,x,y)=max{f(k-1,x,y),f(k-1,x,y-1)+1,f(k-1,x,y-2)

8、+2,……,f(k-1,x,y’)+y-y’}（其中y’為滿足y’=1或(x,y’-1)上有障礙或y’=y-ck的最大值）,令f(k,x,y)=此人k次滑行后到達(x,y)方格時已經(jīng)滑行的最長距離。,時間復(fù)雜度分析,現(xiàn)在來分析這個動態(tài)規(guī)劃算法的時間復(fù)雜度：,顯然，狀態(tài)總數(shù)為O(KMN)，而每次狀態(tài)轉(zhuǎn)移在最壞情況下的時間復(fù)雜度為O(max{M,N})，因此總的時間復(fù)雜度為O(KMN*max{M,N})=O(1.6*109)，難以承受。,

9、因此，我們需要對這個動態(tài)規(guī)劃算法進行優(yōu)化!,分析,,,分析,對于一個具體的例子k=2，x=1，c2=2可以列出如下等式： f(2,1,1)=max{f(1,1,1)}f(2,1,2)=max{f(1,1,1)+1,f(1,1,2)}f(2,1,3)=max{f(1,1,1)+2,f(1,1,2)+1,f(1,1,3)}f(2,1,4)=max{f(1,1,2)+2,f(1,1,3)+1,f(1,1,4)}……,分析

10、,如果我們定義一個序列a，使得ai=f(1,1,i)-i+1，則以上等式可以寫成：f(2,1,1)=max{a1}=max{a1}f(2,1,2)=max{a1+1,a2+1}=max{a1,a2}+1f(2,1,3)=max{a1+2,a2+2,a3+2}=max{a1,a2,a3}+2f(2,1,4)=max{a2+3,a3+3,a4+3} =max{a2,a3,a4}+3……,分析,現(xiàn)在，

11、讓我們加入對障礙物的考慮,,,,,,,,分析,線段樹——專門計算區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的最值,建立O(M),查找O(log2M),算法時間復(fù)雜度O(KMNlog2{M,N}),編程復(fù)雜度高,時間復(fù)雜度仍不能令人滿意,應(yīng)用基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——隊列,,,,若i<j且ai ≤ aj，則插入aj后可以將ai從隊列中刪除,隊列中所有元素呈嚴格遞減順序,隊列的操作,刪除,隊頭指針加一,插入,查找,隊頭元素即為最大值,從隊尾開始，依次刪除所有不大于a

12、i的a值，再將ai插入隊尾,動畫演示,(設(shè)ck=3),時間復(fù)雜度分析,一個元素最多被插入一次，刪除一次,在一行中，插入與刪除的總時間復(fù)雜度為O(max{M,N}),每次詢問最大值的時間復(fù)雜度僅為O(1),此算法的時間復(fù)雜度為O(KMN),非常優(yōu)秀的算法,小結(jié),動態(tài)規(guī)劃,狀態(tài)轉(zhuǎn)移的時間復(fù)雜度太高,,線段樹,編程復(fù)雜度高,時間復(fù)雜度仍不能令人滿意,隊列,降低了時間復(fù)雜度,,減少了編程錯誤的可能性,總結(jié),基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),易于實現(xiàn),普遍適用,昨天

13、,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的精華,理論經(jīng)過數(shù)十年時間的檢驗,應(yīng)用于算法中的諸多方面,今天,巧妙地解決了諸多問題,明天,現(xiàn)在還不為人所知的基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用將被發(fā)現(xiàn)和研究,總結(jié),基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),,高級數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),,回歸,摒棄,局限性,靈活掌握基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及其操作,對某些高級數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有所了解,辨證關(guān)系,螺旋式發(fā)展,知識與思想得到升華,對整個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)知識的深刻領(lǐng)悟,謝謝！,歡迎大家提問！,算法步驟,輸入N，a1，a2，a3，……，an將a1，a

14、2，a3，……，an按照從小到大的順序排序，得到序列c1，c2，c3，……，cn，并記錄下每個ai在新序列中的位置bi在新的序列上建立雙向鏈表按照從an到a1的順序依次處理每個元素輸出結(jié)果,算法步驟,以滑行次數(shù)K作為階段進行動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)轉(zhuǎn)移時，對于矩陣中的每一行：隊列置空遇到障礙：隊列置空，處理下一個元素若隊頭元素與當前元素的下標相差大于ck ,刪除隊頭元素刪除隊尾所有不大于當前a值的元素在隊尾插入a值隊頭a值即為隊