培養(yǎng)以形助數(shù)思想意識(shí)開拓?cái)?shù)學(xué)解題視野

1、培養(yǎng)培養(yǎng)“以形助數(shù)以形助數(shù)”思想意識(shí)思想意識(shí)開拓?cái)?shù)學(xué)解題視野開拓?cái)?shù)學(xué)解題視野福建省詔安第一中學(xué)許偉湘363500摘要：本文通過對(duì)典型實(shí)例的分析，全面系統(tǒng)地討論了數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用關(guān)鍵詞：幾何意義代數(shù)計(jì)算數(shù)形結(jié)合一、利用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離求最值問題一、利用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離求最值問題平面上兩點(diǎn)P（x，y）、A（a，b）間的距離公式為。因此關(guān)于x，y22||()()PAxayb????的二次式的最值問

2、題可轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間距離的最值問題。例1.求函數(shù)的最小值。2225413yxxxx??????解：2225413yxxxx??????2222(1)(02)(2)(03)xx????????其幾何意義是點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)（1，2）與點(diǎn)（2，3）的距離之和的最小值。因?yàn)辄c(diǎn)A（1，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A‘（1，2），且?||||PAPA?故（即）圖122min(12)(23)26y??????min||yAB?例2.2.求函數(shù)的最大值。22

3、()15613fxxxx?????分析：由于的解析式中含有兩個(gè)根號(hào)，根號(hào)內(nèi)部都是x的二次式，以中學(xué)的代數(shù)方法很難()fx出它的最大值，但如果巧妙用兩點(diǎn)的距離公式的方法，問題就簡(jiǎn)單了。解：22()15613fxxxx?????2222(0)(015)(3)(02)xx????????設(shè)，那么求函數(shù)表達(dá)式在軸上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離減去P到(015)(32)(0)ABPx()fxB的距離。這時(shí)，點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)，組成，如圖，ABP?圖2根

4、據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，那么當(dāng)P位于AB和x軸的交點(diǎn)C的位置時(shí)，最大，||||PAPB?求的最值，除此之外，一些比值問題也可以轉(zhuǎn)化為斜率型問題求解。yybcydxxaaxb????三、利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決數(shù)列問題三、利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決數(shù)列問題利用數(shù)列的一些相關(guān)性質(zhì)，往往可以把數(shù)列問題構(gòu)造為一次函數(shù)來解題。例5.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求公比。nanS3692SSS??q分析：若是公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則點(diǎn)（）（n=

5、1，2，）在同nS1q?nannqS一直線上。1111aayxqq?????解:根據(jù)題意知，由于分析知點(diǎn)（）、（）、（）共線。1q?33qS66qS99qS396939693969331SSSSSSSSqqqqqq??????????即333969()(1)()()qSSqSS????由已知，，3992SSS??3996SSSS????代人()式得：，?333112qqq?????342q???四、利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決方程的根（函數(shù)

6、的零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)問題四、利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決方程的根（函數(shù)的零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)問題例6.6.已知函數(shù).22()21()(0)efxxexmgxxxx????????(1)若g(x)=m有零點(diǎn)求m的取值范圍(2)確定m的取值范圍使得g(x)f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.分析：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法:(1)直接求零點(diǎn):令f(x)=0如果能求解則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理:利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[ab]上是連續(xù)不斷的曲線且f(a)