中國礦業(yè)大學(xué)工程數(shù)學(xué)第五章

1、第五章 留數(shù),第一節(jié) 孤立奇點(diǎn),5.1 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn),由于函數(shù)f(z)在去掉圓心的圓盤,內(nèi)解析，則在D內(nèi)，f(z)有洛朗展式,其中,是圓,孤立奇點(diǎn)的分類—可去奇點(diǎn)：,一般地，對(duì)于上述函數(shù)f(z)，按照它的洛朗展式含負(fù)次冪的情況（主要部分的情況），可以把孤立奇點(diǎn)分類如下：（1）如果無負(fù)次冪項(xiàng),即當(dāng)n=-1,-2,-3,…，時(shí),那么我們說z0是f(z)的可去奇點(diǎn)。,這時(shí) 令 ，就得到在整個(gè)圓盤

2、 內(nèi)的解析函數(shù)f(z)。,如果補(bǔ)充定義:,時(shí),,（2）、如果只有有限個(gè)負(fù)次冪項(xiàng),即有限個(gè)（至少一個(gè)）負(fù)整數(shù)n，使得,那么我們說z0是f(z)的極點(diǎn)。,設(shè)對(duì)于正整數(shù)m，,而當(dāng)n<-m時(shí)， 即負(fù)次冪項(xiàng)最高為m次,那么我們稱z0是f(z)的m階(級(jí)）極點(diǎn)。,（3）、如果有無窮個(gè)負(fù)次冪項(xiàng),即無限個(gè)整數(shù)n<0，使得,那么我們說 是f(z)的本性奇點(diǎn)。,例如，0分別是,的可去奇點(diǎn),,

3、一級(jí)極點(diǎn),,本性奇點(diǎn),定理5.1函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么z0是f(z)的可去奇點(diǎn)的充分與必要條件是：存在著極限，,其中 是一個(gè)復(fù)常數(shù)。,證明：（必要性）。由假設(shè)，在內(nèi)，f(z)有洛朗級(jí)數(shù)展式：,因?yàn)樯鲜接疫叺膬缂?jí)數(shù)的收斂半徑至少是R，所以它的和函數(shù)在 內(nèi)解析，于是顯然存在著：,（充分性）。設(shè)在 內(nèi)，f(z)的洛朗級(jí)數(shù)展式是,由假設(shè)，存在著兩個(gè)正數(shù)M及 ，使得在

4、 內(nèi)，,當(dāng)n=-1,-2,-3,…時(shí)，在上式中令 趨近于0，就得到,于是z0是f(z)的可去奇點(diǎn)。,那么取 ，使得 ，我們有,下面研究極點(diǎn)的特性： 設(shè)函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析， 是f(z)的 階極點(diǎn)，那么，f(z)有可表示為：,在這里 。于是在 內(nèi),在這里 是一個(gè)在 內(nèi)解析的函數(shù)，并且,反之，如果函數(shù)f(

5、z)在,內(nèi)可以表示成為上面的形狀，而 是一個(gè)在 內(nèi)解析的函數(shù)，并且，那么可以推出 是f(z)的m階極點(diǎn)。,定理5.2 設(shè)函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么z0是f(z)的極點(diǎn)的充分與必要條件是：,關(guān)于解析函數(shù)的本性奇點(diǎn)，我們有下面的結(jié)論：定理5.3 函數(shù)f(z)在,內(nèi)解析，那么 是f(z)的本性奇點(diǎn)的充分必要條件是： 不存在有限或無窮極限,例2 0是函數(shù) 的本性奇點(diǎn)，

6、 不難看出 不存在。,解：當(dāng)z沿正實(shí)軸趨近于0時(shí)， 趨近于,當(dāng)z沿負(fù)實(shí)軸趨近于0時(shí)， 趨近于0；,,解析函數(shù)的零點(diǎn),設(shè)不恒為零的函數(shù)f(z)在z0的鄰域U內(nèi)解析，并且,那么稱z0為f(z)的零點(diǎn)。設(shè)f(z)在U內(nèi)的泰勒展式是：,并且存在正整數(shù)m，,而對(duì)于n<m，,那么我們說z0是f(z)的m階零點(diǎn)。,如果z0是解析函數(shù)f(z)的一個(gè)m階零點(diǎn)，那么顯然在它的一個(gè)鄰域U內(nèi),其中 在U內(nèi)解析。

7、,定理5.1 設(shè)函數(shù)f(z)在z0解析，并且z0是它的一個(gè)零點(diǎn)，那么存在著z0的一個(gè)鄰域，在其中z0是f(z)的唯一零點(diǎn)。,因此存在一個(gè)正數(shù) ，使得當(dāng),時(shí)， 。于是,條件很容易證明.,3.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,證,,那末,當(dāng) 時(shí),,解析且,,解析且,當(dāng) 時(shí) ,,由于,只要令,說明 此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為,簡便的方法.,解,這些奇點(diǎn)是,是孤立奇點(diǎn).,說明 此定

8、理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為,簡便的方法.,解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì),設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域,內(nèi)解析，那么無窮遠(yuǎn)點(diǎn)稱為f(z)的孤立奇點(diǎn)。在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，f(z)有洛朗級(jí)數(shù)展式：,其中系數(shù)由定理4.4中類似的公式確定。,令 ，按照R>0或R=0，我們得到在,或,內(nèi)解析的函數(shù),其洛朗級(jí)數(shù)展式是：,如果w=0是 的可去奇點(diǎn)、（m階）極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，那么分別說 是f(z)的可去奇點(diǎn)、（m階）極點(diǎn)或本性奇

9、點(diǎn)。,（1）、如果當(dāng)時(shí)n=1,2,3,…， ，那么 是f(z)的可去奇點(diǎn)。,（2）、如果只有有限個(gè)（至少一個(gè)）整數(shù)n，使得 ，那么 是f(z)的極點(diǎn)。,設(shè)對(duì)于正整數(shù)m， ，而當(dāng)n>m時(shí)，那么我們稱 是f(z)的m階極點(diǎn)。,（3）、如果有無限個(gè)整數(shù)n>0，使得 ，那么我們說 是f(z)的本性奇點(diǎn)。,定理 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)

10、域 內(nèi)解析，那么 是f(z)的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)的充分必要條件是：,存在著極限 、無窮極限、不存在有限或無窮的極限 。,注解、上一段的結(jié)論都可以推廣到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情形，我們綜合如下：,解,所以,也可以因?yàn)?第五章 留數(shù)理論及應(yīng)用,第2節(jié) 留數(shù),35,留數(shù)的概念,設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域0<| z-z0|<R內(nèi)解析。C是z0鄰域內(nèi)的任意一條包含z0簡單正向閉曲線,那么如果

11、f(z)在z0也解析，則上面的積分等于零；,如果z0是f(z)的孤立奇點(diǎn)，則上述積分就不一定等于零；這時(shí)，我們把積分,考慮積分,36,定義為f(z)在孤立奇點(diǎn)z0處的留數(shù)，記作,這里積分是沿著C按逆時(shí)針方向取的。,事實(shí)上，在0<| z-z0|<R內(nèi)，f(z)有洛朗展式：,而且這一展式在C上收斂。,因此，,37,,注解1: f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的留數(shù)等于其洛朗級(jí)數(shù)展式中,的系數(shù)。,注解2:如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn)

12、，那么,38,留數(shù)定義為我們提供了兩個(gè)計(jì)算留數(shù)的方法：一是將,在,內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)，取其負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù),二是計(jì)算,.,39,40,41,定理一（留數(shù)定理）設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末：,外處處解析，C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，,42,,D,,,,,,,z1,z2,z3,zn,,,,,,,C1,C2,C3,Cn,C,,,43,證明：以D內(nèi)每一個(gè)孤立奇點(diǎn)zk為心，作正向簡單閉曲線Ck，,并且使任意兩個(gè)

13、這樣的閉曲線彼此無公共點(diǎn)。從D中除去以這些Ck為邊界的閉曲線的一個(gè)區(qū)域G，其邊界是C以及Ck，,根據(jù)復(fù)合閉路定理，,這里沿C的積分按關(guān)于區(qū)域D的正向取的，沿Ck的積分按反時(shí)針方向取的。,[證畢],兩邊同時(shí)除以 且,45,留數(shù)的計(jì)算方法,46,首先考慮一階極點(diǎn)的情形。設(shè)z0是f(z)的一個(gè)一階極點(diǎn)。因此在去掉中心z0的某一圓盤內(nèi),其中 在這個(gè)圓盤內(nèi)包括z=z0解析，其泰勒級(jí)數(shù)展式是：,47,而且

14、 。顯然，在f(z)的洛朗級(jí)數(shù)中，,的系數(shù)等于 ，因此,一級(jí)極點(diǎn)的留數(shù)求法,48,如果在上述去掉中心z0的圓盤內(nèi)（ ），,其中P(z)及Q(z)在這圓盤內(nèi)包括在z0解析，,z0是Q(z)的一階零點(diǎn)，并且Q(z)在這圓盤內(nèi)沒有其他零點(diǎn)，那么z0是f(z)的一階極點(diǎn)，因而,49,50,例3、   函數(shù),因此,有兩個(gè)一階極點(diǎn) ，這時(shí),51,其次，我們考慮高階極點(diǎn)的情形。設(shè)z0是f

15、(z)的一個(gè)k階極點(diǎn)(k>1)。這就是說，在去掉中心z0的某一圓盤內(nèi)( ),其中 在這個(gè)圓盤內(nèi)包括z=z0解析，其泰勒級(jí)數(shù)展式是：,52,由此可見，,顯然，,因此問題轉(zhuǎn)化為求 泰勒級(jí)數(shù)展式的系數(shù)。,如果容易求出它的泰勒級(jí)數(shù)展式，那么由此可得,53,因此，我們也可根據(jù)下列公式計(jì)算,我們也可以用下面的方法證明：,54,55,56,例4、函數(shù),在z=0有三階極點(diǎn)，則（用洛朗展式方法）,因此,由上述公式也可得

16、：,57,例5、函數(shù),在z=i是二階極點(diǎn)。這時(shí),由上述公式可得：,58,定義5.2.2： 無限遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù),59,60,61,62,(積分曲線為逆時(shí)針方向),63,64,65,66,67,例9　計(jì)算下列積分,解,68,解,為一級(jí)極點(diǎn),,為二級(jí)極點(diǎn),,解,點(diǎn)外, 其他奇點(diǎn)為,則,所以,73,解,為奇點(diǎn),,當(dāng) 時(shí) 為一級(jí)極點(diǎn)，,74,75,解,例14 計(jì)算,原式,第五章 留數(shù)理論及應(yīng)用,第3節(jié) 留數(shù)定理的

17、應(yīng)用,留數(shù)定理的應(yīng)用--積分的計(jì)算:,在數(shù)學(xué)分析中，以及許多實(shí)際問題中，往往要求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；例如,或者有時(shí)可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往非常復(fù)雜，例如,例1、   計(jì)算積分,其中常數(shù)a>1。,而且當(dāng)t從0增加到,解：令 ，那么,時(shí)，z按逆時(shí)針方向繞圓C:|z|=1 一周。,因此,于是應(yīng)用留數(shù)定理，只需計(jì)算,在|z|&

18、lt;1內(nèi)極點(diǎn)處的留數(shù)，就可求出I。上面的被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)：,顯然,因此被積函數(shù)在|z|<1內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z1，而它在這點(diǎn)的留數(shù)是：,于是求得,注解1、應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如,的積分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等于零。,83,若有理函數(shù) R(x)的分母至少比分子高兩次,,并且分母在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).,一般設(shè),分析,可先討論,最后令,即可 .,二、形如

19、 的積分,84,2. 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:,取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線, 使與區(qū)間,一起構(gòu)成一條封閉曲線, 并使R(z)在其內(nèi)部除有,限孤立奇點(diǎn)外處處解析.,1. 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:,(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí) , R(z)=R(x)),,可取 f(z)=R(z) .,85,這里可補(bǔ)線,(以原點(diǎn)為中心 , R為半徑,的在上半平面的半圓周),內(nèi)部(除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.,取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn),都包在

20、這積分路線內(nèi).,86,根據(jù)留數(shù)定理得 :,當(dāng) 充分大時(shí), 總可使,87,88,例2 計(jì)算積分,解,89,例3、   計(jì)算積分,解：首先，這是一個(gè)廣義積分，它顯然是收斂的。我們應(yīng)用留數(shù)定理來計(jì)算它?？紤]函數(shù),這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)二階極點(diǎn)，在上半平面上的一個(gè)是z=i。,考慮這一圓盤在上半平面的部分，,注解1、應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如,的積分，其中R(x)是有理分式,R(z)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)，