中國礦業(yè)大學工程數(shù)學第三章

1、1,第三章 復變函數(shù)的積分,第1節(jié) 積分的概念,2,有向曲線 在討論復變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的： (1) 如果曲線L 是開口弧段，若規(guī)定它的端點P 為起點，Q為終點，則沿曲線 L 從 P 到Q 的方向為曲線L的正方向（簡稱正向），把正向曲線記為L或L+. 而由Q到P的方向稱為L

2、的負方向（簡稱負向），負向曲線記為 .,,,,,,,,,,,,,3,(2) 如果 是簡單閉曲線，通常總規(guī)定逆時針方向為正方向，順時針方向為負方向．,,,,,(3) 如果 是復平面上某一個復連通域的邊界曲線，則 的正方向這樣規(guī)定：當人沿曲線 行走時，區(qū)域總保持在人的左側，因此外部邊界部分取逆時針方向，而內部邊界曲線取順時針為正方向．,4,復變函數(shù)的積分,設在復平面C上有一條連接z0及z兩點的簡

3、 單曲線C。設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的連續(xù)函數(shù)。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實部及虛部.,把曲線C用分點z0 ,z1 ,zn-1, …,zn=z分成n個更小的弧，在這里分點是在曲線C上按從z0到z的次序排列的。,如果 是 到 的弧上任意一點，那么考慮和式,都存在且唯一，,則稱此極限為函數(shù),沿曲線弧C的積分.,5,6,將各函數(shù)代數(shù)化,,,7,當 n 無限增大而弧段長度的最大值趨

4、于零時,,(2)求極限,8,,,,在形式上可以看成是,9,如果C是簡單光滑曲線：，并且 ，那么上式右邊的積分可以寫成積分的形式，,因此，我們有,10,我們可以看到，把dz形式地換成微分，就直接得到上式，因此有,11,復變函數(shù)的積分的性質：,復變函數(shù)積分的基本性質：設f(z)及g(z)在簡單曲線C上連續(xù)，則有（1）（2）,（3）,其中曲線C是由光滑的曲線 連接而成；（4）,積分是在

5、相反的方向上取的。,12,如果C是一條簡單閉曲線，那么可取C上任意一點作為取積分的起點，而且積分當沿C取積分的方向改變時，所得積分相應變號。（5）如果在C上，|f(z)|<M，而L是曲線C的長度，其中M及L都是有限的正數(shù)，那么有，,證明：因為兩邊取極限即可得結論。,13,例1,解,14,,,這兩個積分都與路線C 無關,15,例2,解,(1) 積分路徑的參數(shù)方程為,,y=x,16,(2) 積分路徑的參數(shù)方程為,,17,(3)

6、積分路徑由兩段直線段構成,,,x軸上直線段的參數(shù)方程為,1到1+i直線段的參數(shù)方程為,18,例3,解,積分路徑的參數(shù)方程為,19,例4,解,積分路徑的參數(shù)方程為,,,,,20,,重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關.,21,第2節(jié) 積分基本定理,通過前面的例題我們發(fā)現(xiàn)，例1中的被積函數(shù)，它沿連接起點及終點的任何路徑的積分值都相同，換句話說，積分與路徑無關．例2 中的被積函數(shù)積分與路徑是有關的．我們自然要問：函數(shù)在什么條

7、件下，積分僅與起點和終點有關，而與積分路徑無關呢？我們可以證明下列定理:,22,柯西定理,定理3.1 設f(z)是單連通區(qū)域D的解析函數(shù)，（1）設C是D內任一條簡單閉曲線，那么其中，沿曲線C的積分是按反時針方向取的。,（2） C是在D內連接 及z兩點的任一條簡單曲線，那么沿C從 到z的積分值由 及z所確定，而不依賴于曲線C，這時，積分記為.,23,24,或者： 設C是一條簡單閉曲線，函數(shù)f(z)在以C為邊界的有

8、界閉區(qū)域D上解析，那么,25,定理3.3 設f(z)是單連通區(qū)域D的解析函數(shù)，那么在D內有函數(shù),其導數(shù)為f(z) 。證明：取定 ，由定理3.1，得,是在D內確定的一個函數(shù)。取,,,26,D中兩個積分看作沿兩條簡單曲線取的，而其中一條是另一條曲線與連接 α及z的線段的并集。于是有,這里積分是沿α及z的聯(lián)線取的，,27,,于是,即,證畢。,28,【另證】

9、 令 則 因為 和 是與路徑無關的，因此,,,,,,29,,可見,,的實部和虛部可微且滿足C-R條件，,30,設f(z)及F(z)是區(qū)域D內確定的函數(shù)，F(xiàn)(z)是D內的一個解析函數(shù)，并且在D內，有 ，那么函數(shù)F(z)稱為f(z)在區(qū)域是D內的一個不定積分或原函數(shù)；除去可能相差一個常數(shù)外，原函數(shù)是唯一確定的。即f(z

10、)的任意兩個不定積分或原函數(shù)的差是一個常數(shù)。事實上，設F(z)及G(z)都是f(z)在區(qū)域是D內的原函數(shù)，則有,31,引理1 設f(z)單連通區(qū)域D內處處解析，并且在D內有原函數(shù)G(z)。如果 ，并且C是D連接 的一條曲線，那么,32,【證明】注意到函數(shù),是,的一個原函數(shù)， 故,33,典型應用實例,34,例5 計算積分,因而積分與路徑無關，可用分部積分法得,,【解】 由于,

11、在復平面內處處解析，,35,36,37,不失一般性，取n＝1進行證明. 有下述定理：,38,定理3.6 設 L和 為復連通區(qū)域內的兩條簡單閉曲線，如圖3.5所示， 在L內部且彼此不相交，以 和L為邊界所圍成的閉區(qū)域 全含于D．則對于區(qū)域D內的解析函數(shù) 有,,,,,,,,,39,40,41,,例如本章例3中，當L為以 為中心的正向圓周時： ，根據閉路變形原理，

12、對于包含 的任何一條簡單閉曲線 ,都有 成立．,,,,,,42,,例6 計算 ，其中 為圓周 ，且取正向． 【解】 要注意 在 內只有一個奇點

13、 ，將 分成為 則由閉路變形定理,,,,,,,43,44,45,,46,第三章 復變函數(shù)的積分,第3節(jié) 柯西公式,設f(z)在以圓,為邊界的閉圓盤上解析，f(z)沿C的積分為零。考慮積分,則有：(1)被積函數(shù)在C上連續(xù)，積分I必然存在；,（2）在上

14、述閉圓盤上 不解析，I的值不一定為0，,例如：,由閉路變形定理，得,現(xiàn)在考慮f(z)為一般解析函數(shù)的情況。作以z0 為心，以r為半徑的圓Cr，,由于I的值只與f(z) 在z0點附近的值有關，與r無關，由f(z)在點z0的連續(xù)性，應該有,即,定理3 .3(柯西公式),設f(z)在區(qū)域D內處處解析，C為D內的任何一條正向簡單閉曲線,它的內部完全含于D 。那么在C內任一點z0，有,f(z)在正向簡單閉曲線C

15、所圍成的區(qū)域內解析,由于由f(z)在點z0的連續(xù)性，所以,使得當,事實上，當r趨近于0時，有,因此,因此，結論成立。,注解、對于某些有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域內任一點所取的值可以用它在邊界上的值表示出來。,例1計算積分,解：由柯西公式,,,（2）注意到函數(shù),在,內解析，而,在,內，由柯西積分公式得,【解】根據柯西積分公式，得到,故得到,,,設,僅含奇點,僅含奇點,利用復合閉路柯西積分定理和柯西積分公式有,,高階導數(shù)公式：,那