從雙線性映射談起 大學(xué)精品課程

1、從雙線性映射談起從雙線性映射談起龍巖學(xué)院龍巖學(xué)院周金森周金森梁俊平梁俊平劉宏錦劉宏錦定義1設(shè)V、U與W都是域F的線性空間，是VU到W的一個(gè)映射，如A?果對于，任意，有12V????12U????klF?(1)??????1212klkl???????A??A?A(2)??????1212klkl???????A??A?A則稱是VU到W的雙線性映射；A?(i)若W=F，則稱為VU上的雙線性函數(shù)；A?(ii)若W=F，V=U，則稱為V上的雙

2、線性函數(shù)；A(iii)若W=F，V=U，且，則稱為V的一個(gè)對稱雙線????????A?AA性函數(shù)；記，稱為V上的二次函數(shù)；????q???A?q(iv)若W=F=R，V=U，，且當(dāng)且僅當(dāng)????????A?A??0??A?時(shí)，則稱為正定的實(shí)對稱雙線性函數(shù)，或稱為V上一0????0??A?AA個(gè)實(shí)內(nèi)積常記為。????A????一、考慮V上的雙線性函數(shù)與矩陣之間的一一對應(yīng)關(guān)系V中取一個(gè)基，V中向量在此基下的坐標(biāo)分別為12n??????，，則

3、??12nXxxx????12nYyyy??????1111??????A?A?A????????nnnniijjijijijijxyxy??????令A(yù)=，稱A是雙線性函數(shù)在此基111212122212nnnnnnaaaaaaaaa???????????????????????ijija?A??A下的度量矩陣，它是由及基唯一決定，，反之，12n????A??XAY??A?任給一個(gè)域F的一個(gè)n級(jí)矩陣，可以定義V上的一個(gè)雙線性函數(shù)，滿足。

4、??A?ijija??存在主對角線上的元素全是1的上三角陣B，使得A=BDB，其?中D是正定的對角陣存在主對角線上的元素全是正的上三角陣C，使得A=CC??0A????0iiai??A的絕對值最大的元素必在主對角線上。?注2利用必要性可以很快地判斷某些矩陣不是正定陣。注3A的特征多項(xiàng)式中的????121211knnnnnkknEAbbbb????????????????????就是A的所有k階主子式的和，其中，而kb11122nnbaa

5、a?????nbA?且是A的所有特征112nn12nbb???????????????ii12n???值。二、考慮對稱雙線性函數(shù)與二次型（二次函數(shù)）的關(guān)系命題6設(shè)V是特征不為2的域F的一個(gè)線性空間，q是V上一個(gè)二次函數(shù)，則存在V的唯一的對稱雙線性函數(shù)，使得，。A????q???A?V???三、雙線性函數(shù)空間域F的線性空間V上的所有線性函數(shù)構(gòu)成的集合，定義加法、純量乘法，可以構(gòu)成域F的一個(gè)線性空間，稱為V上的線性函數(shù)空間（或?qū)ε伎臻g），記

6、作V。依此類推，我們把域F的線性空間V上的所有雙線性函數(shù)構(gòu)成的集合，定義加法、純量乘法，易證對于函數(shù)的加法、純量乘法構(gòu)成域F??2TV??2TV的一個(gè)線性空間，稱為V的雙線性函數(shù)空間。由于雙線性函數(shù)與它在V??2TV的一個(gè)基下的度量矩陣是一一對應(yīng)關(guān)系，且保持線性運(yùn)算，因此兩個(gè)線性空間同構(gòu)，從而。??2TV??nMF???22dimTVn?為了構(gòu)造V上的雙線性函數(shù)，想法是給了V上的兩個(gè)線性函數(shù)gh令，，容易驗(yàn)證是V上的雙線性函數(shù)，????