研究生《工程數(shù)學(xué)》第一章

1、第1章 緒論,數(shù)值計(jì)算方法及主要內(nèi)容誤差及誤差分析//算法的穩(wěn)定性,1.1數(shù)值計(jì)算方法,如何利用計(jì)算工具求出數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解科學(xué)計(jì)算愈來(lái)愈重要應(yīng)用遍及各行各業(yè)，天氣預(yù)報(bào)飛機(jī)、汽車及輪船的外形設(shè)計(jì)其它高科技研究三大科學(xué)方法理論研究科學(xué)實(shí)驗(yàn)計(jì)算科學(xué),意義,提供在計(jì)算機(jī)上實(shí)際可行的、理論可靠的、計(jì)算復(fù)雜性好的各種常用算法,在經(jīng)典數(shù)學(xué)中,用解析方法在理論上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困難,甚至是不可能的

2、對(duì)于這類數(shù)學(xué)問(wèn)題,數(shù)值解法就顯得不可缺少,同時(shí)有十分有效.,解決問(wèn)題的過(guò)程,由實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用科學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù),,數(shù)學(xué)模型　　數(shù)值計(jì)算方法 結(jié)果,,,根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法，直到編出程序上機(jī)算出解，是計(jì)算數(shù)學(xué)的任務(wù),無(wú)限維 有限維無(wú)限過(guò)程 有限過(guò)程微分方程 代數(shù)方程非線性問(wèn)題 線性問(wèn)題,數(shù)學(xué)模型　　數(shù)值計(jì)算方法,,,替代問(wèn)

3、題與原問(wèn)題的解要保持一致誤差分析,,,,復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，不能直接計(jì)算,比如:exp(x),例1.1.1計(jì)算exp(1.5)的值解,重點(diǎn)研究,求解的數(shù)值方法及與此有關(guān)的理論方法的收斂性，穩(wěn)定性誤差分析計(jì)算時(shí)間（時(shí)間復(fù)雜度）占用內(nèi)存空間（空間復(fù)雜度）,例1 已知 a0, a1, a2 ,…, an, x, 計(jì)算多項(xiàng)式：直接計(jì)算：運(yùn)算量（乘） 秦九韶算法（1247年）：運(yùn)算量：,例 2 解線性方程組,其中

4、，? 克蘭姆(Cramer)法則： 運(yùn)算量(乘除)：?高斯消元法(Gauss)： 運(yùn)算量(乘除) Gauss: 2641次； Cramer:,19,21,,研究例子:求解線性方程組其準(zhǔn)確解為x1=x2=x3=1,,如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字,它的解為x1 =-6.222...

5、 x2=38.25… x3=-33.65...,例 3 穩(wěn)定性,數(shù)整數(shù) Integer 離散 無(wú)限有理數(shù) Rational Number 稠密 無(wú)限實(shí)數(shù) Real Number 連續(xù) 無(wú)限復(fù)數(shù) Complex Number 連續(xù) 無(wú)限,1.誤差,計(jì)算機(jī)中的數(shù)整數(shù) int 離散 有限浮點(diǎn)數(shù) float 離散 有限,

6、計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示和運(yùn)算誤差,1.3誤差,現(xiàn) 實(shí) 世 界,研究對(duì)象,測(cè)量數(shù)據(jù),數(shù)學(xué)模型的建立,計(jì)算方法的構(gòu)成,數(shù)值運(yùn)算的執(zhí)行,測(cè)量誤差,模型誤差,方法誤差,,舍入誤差,結(jié)果,,,,,,,,,,,,,,,在任何科學(xué)計(jì)算中其解的精確性總是相對(duì)的,而誤差則是絕對(duì)的.,例:試求擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺運(yùn)動(dòng)周期,,,,誤差和有效數(shù)字,誤差估計(jì),由于準(zhǔn)確值在一般情況下是未知的，因此絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差常常是無(wú)法計(jì)算的但有可能給

7、出估計(jì)誤差界就是用于誤差估計(jì)的。,誤差估計(jì),,有效數(shù)字,在工程上，舍入誤差的概念就轉(zhuǎn)化為有效數(shù)字。,3.1415,,數(shù)值計(jì)算中值得注意的問(wèn)題,一、防止相近的兩數(shù)相減(會(huì)耗失許多有效數(shù)字,可以用數(shù)學(xué)公式化簡(jiǎn)后再做).例1: 各有五位有效數(shù)字的23.034與22.993相減. 23.034-22.993=0.041 0.041只有兩位有效數(shù)字,有效數(shù)字的耗失,說(shuō)明準(zhǔn)確度減小,因此,在計(jì)算時(shí)需要加工計(jì)算公式,

8、以免這種情況發(fā)生.例2:當(dāng)較大時(shí),計(jì)算 保留4位有效數(shù)字,直接算=000.0,when x=10000,=0.005,二、防止大數(shù)吃小數(shù). 當(dāng)兩個(gè)絕對(duì)值相差很大的數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算時(shí),絕對(duì)值小的數(shù)有可能被絕對(duì)值大的數(shù)"吃掉"從而引起計(jì)算結(jié)果很不可靠. 例:求一元二次方程x2-(108 +1)x+108=0 的實(shí)數(shù)根.易得x1=108,x

9、2=1. 字長(zhǎng)為16位的單精度計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算, x1≈108 ,x2≈0怎樣計(jì)算可得較好的結(jié)果?,三、防止接近零的數(shù)做除數(shù),大數(shù)做乘數(shù)分母接近零的數(shù)會(huì)產(chǎn)生溢出錯(cuò)誤,因而產(chǎn)生大的誤差,此時(shí)可以用數(shù)學(xué)公式化簡(jiǎn)后再做.,四、注意計(jì)算步驟的簡(jiǎn)化,減小運(yùn)算次數(shù).,簡(jiǎn)化計(jì)算步驟是提高程序執(zhí)行速度的關(guān)鍵，它不僅可以節(jié)省時(shí)間，還能減少舍入誤差。例1：計(jì)算9255的值，若逐個(gè)相乘要用254次乘法，但若寫成 9255 = 9? 92 ?

10、 94 ? 98 ? 916 ? 932 ? 964 ? 9128 需做 14 次乘法運(yùn)算例2：設(shè)A、B、C、D分別是10?20、 20?50、 50?1、 1?100的矩陣，試按不同的算法求矩陣乘積E=ABCD.解：由矩陣乘法的結(jié)合律，可有如下算法1. E=((AB)C)D. 計(jì)算量N=11500乘法2. E=A(B(CD)). 計(jì)算量N=125000乘法3. E=(A(BC))