第一部分塑性力學(xué)

1、塑性力學(xué),,塑性變形是非常普遍的現(xiàn)象,如金屬的切削加工,金屬結(jié)構(gòu)承載時(shí)的局部應(yīng)力集中處,如金屬的軋制、拉拔、擠壓、鍛壓和鈑金加工,一些材料常數(shù)測(cè)定試驗(yàn)（如硬度試驗(yàn)）時(shí)有塑性變形,很多工程材料在破壞過(guò)程中有塑性變形并與塑性變形強(qiáng)烈相關(guān),巖土的不可恢復(fù)變形，等等。,對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行分析時(shí)，必須考慮到材料的塑性性質(zhì)。,地震時(shí)混凝土構(gòu)件中鋼筋的塑性變形,切削中的塑性變形,圖片引自周增文主編：《機(jī)械加工工藝基礎(chǔ)》,材料的破壞伴隨著塑性變形,（金屬）

2、材料破壞區(qū)域在破壞前經(jīng)歷了明顯的（有時(shí)是非常劇烈的）塑性變形,,材料的破壞伴隨著塑性變形,（金屬）材料破壞區(qū)域在破壞前經(jīng)歷了明顯的（有時(shí)是非常劇烈的）塑性變形,,零件使用中塑性變形導(dǎo)致的損傷,航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片強(qiáng)度分析的例子,塑性力學(xué)的應(yīng)用,估計(jì)（或預(yù)測(cè)）工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和壽命（塑性力學(xué)通常會(huì)被用到）,尋找充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度潛力的方法（例如研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位進(jìn)入塑性變形，以充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度潛力，減少用料，減輕結(jié)構(gòu)自重

3、 ）,設(shè)計(jì)和優(yōu)化工程結(jié)構(gòu)或零件的加工（成型、切削等）工藝,研究材料或結(jié)構(gòu)破壞的原因（例如結(jié)合損傷、斷裂和塑性力學(xué)分析故障產(chǎn)生原因）,研究材料在加工和使用中的微結(jié)構(gòu)演化,等等?？傊?，塑性力學(xué)有非常廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。,塑性力學(xué)的基本方程,塑性力學(xué)采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本假設(shè)和基本方法，采用的基本方程有：,上述方程中前兩類(lèi)與材料性質(zhì)無(wú)關(guān)，是普遍適用的。塑性力學(xué)與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)其它分支的最重要的差別是本構(gòu)方程。,描述物體變形和運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系——位移應(yīng)

4、變關(guān)系（變形、應(yīng)變的定義等，在彈性力學(xué)中已有介紹）,各種守恒定律（如質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、動(dòng)量矩守恒和能量守恒等，在理論理學(xué)和彈性力學(xué)中已有介紹）,本構(gòu)方程（描述材料物理狀態(tài)和力學(xué)性質(zhì)）,本構(gòu)方程是塑性力學(xué)研究的重點(diǎn),材料的塑性本構(gòu)方程的建立是以材料的宏觀實(shí)驗(yàn)為依據(jù)。本課程介紹的塑性本構(gòu)方程是從唯象的角度總結(jié)出來(lái)的。,要進(jìn)行更深入、更系統(tǒng)的研究，一方面要用不可逆過(guò)程熱力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)探討，另一方面要用宏觀與微觀或細(xì)觀相結(jié)合的方法來(lái)研究塑性變形

5、規(guī)律。,塑性本構(gòu)方程現(xiàn)在仍是一個(gè)國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。,第一章 簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下的 彈塑性力學(xué)問(wèn)題,§1.1 引言 §1.2 材料在簡(jiǎn)單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 §1.3 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 簡(jiǎn)化模型 §1.4 軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn)§1.5 簡(jiǎn)單桁架的彈塑性分析§1.6 強(qiáng)化效應(yīng)的影響§1.7 幾何非線(xiàn)性的影響§1.8 彈性極限

6、曲線(xiàn)§1.9 加載路徑的影響§1.10 極限載荷曲線(xiàn)（面）§1.11 安定問(wèn)題,塑性力學(xué)中的假設(shè),連續(xù)性假設(shè)均勻性假設(shè)各向同性假設(shè)小變形假設(shè)無(wú)初始應(yīng)力假設(shè)應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系應(yīng)由實(shí)驗(yàn)確定 平均正應(yīng)力(靜水壓力)不影響屈服條件體積的變化是彈性的,§1.1 引言,一、變形,彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有單一的 對(duì)應(yīng)關(guān)系,非彈性變形：應(yīng)力和應(yīng)變之間不具

7、有單一的對(duì)應(yīng)關(guān)系,非彈性變形,,塑性變形,粘性變形,（是指物體在除去外力后所殘留下 的永久變形）,（隨時(shí)間而改變，如蠕變、應(yīng)力松 弛等）,二、塑性與脆性,如果變形很小就破壞，便稱(chēng)是脆性,如果經(jīng)受了很大的變形才破壞，材料具有較好的韌性或延性，這時(shí)材料的塑性變形能力較強(qiáng)，便稱(chēng)是塑性。在這種情況下，物體從開(kāi)始出現(xiàn)永久變形到最終破壞之間仍具有承載能力。,——采用彈性理論分析,——采用塑性力學(xué)分析,研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位

8、的應(yīng)力超過(guò)彈性極限的范圍，以充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度潛力 研究物體在不可避免地產(chǎn)生某些塑性變形后，對(duì)承載能力和（或）抵抗變形能力的影響 研究好何利用材料的塑性性質(zhì)以達(dá)到加工成形的目的,三、塑性力學(xué)目的,塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)分支，故研究時(shí)仍采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的假設(shè)和基本方法。,四、塑性力學(xué)的方法,基本方程: ①幾何關(guān)系 ②守恒定律 ③本構(gòu)方程,§1.2 材料在簡(jiǎn)單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,研究塑性變形規(guī)律的最簡(jiǎn)單試驗(yàn)是金屬多

9、晶材料的單向拉伸試驗(yàn)，有時(shí)也采用壓縮實(shí)驗(yàn)，通常在室溫下進(jìn)行。,§1.2,各種拉伸試樣,材料塑性測(cè)試設(shè)備,§1.2 材料在簡(jiǎn)單拉壓時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,材料：金屬多晶材料受力：?jiǎn)蜗蚶旎驂嚎s實(shí)驗(yàn)(名義)應(yīng)力：σ=P/A0(名義)應(yīng)變：ε=（ι-ι0）/ι0,一、實(shí)驗(yàn)描述,,二、實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn),線(xiàn)彈性階段 非線(xiàn)性彈性階段屈服階段強(qiáng)化階段頸縮階段,實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)加載過(guò)程,實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)卸載過(guò)程,,,彈性階段：卸載沿原路返回

10、塑性階段：卸載沿直線(xiàn)返回，斜率與彈性 階段相同,應(yīng)變強(qiáng)化：,三、兩種現(xiàn)象,包氏效應(yīng)：,實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)反向加載：,單晶體，其壓縮時(shí)的屈服應(yīng)力也有相似的提高(圖2（a）中的M´´點(diǎn))多晶體，其壓縮屈服應(yīng)力（M´點(diǎn)）一般要低于一開(kāi)始就反向加載時(shí)的屈服應(yīng)力（A´點(diǎn)）。這種由于拉伸時(shí)強(qiáng)化影響到壓縮時(shí)弱化的現(xiàn)象稱(chēng)為包氏效應(yīng)（Bauschinger effect）。,材料經(jīng)過(guò)塑性變形得到強(qiáng)化,圖2（a）,1

11、、在材料的彈塑性變形過(guò)程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再 具有單一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,四、實(shí)驗(yàn)總結(jié),加載路徑——σ與ε之間的關(guān)系依賴(lài)于加載路徑,內(nèi)變量——宏觀參量，用來(lái)刻畫(huà)加載歷史,例如，作為最簡(jiǎn)單的近似，可以取內(nèi)變量ξ為塑性應(yīng)變?chǔ)舙，而將簡(jiǎn)單受拉（壓）時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系寫(xiě)為 ε=σ/E+εp （1）,——其中E為楊氏模量,上式表明，當(dāng)εP（內(nèi)變量）一定時(shí)，σ與ε之間有單一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,2. σ與ε之間的線(xiàn)性關(guān)系

12、ε=σ/E+εp （1）式是有適用范圍的。對(duì)于固定的內(nèi)變量εP，σ或ε并不能隨意取值。,例如，對(duì)處于圖2（a）中的M點(diǎn)，當(dāng)加載時(shí)即應(yīng)力（或應(yīng)變）繼續(xù)增長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)將沿AMM1方向延伸，公當(dāng)卸載時(shí)即應(yīng)力（或應(yīng)變）減小時(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)才以（1）式的規(guī)律沿MN向下降。為了區(qū)分以上這種加載和卸載所具有的不同規(guī)律，就必須給出相應(yīng)的加卸載準(zhǔn)則。,,,,圖2（a）,五、影響材料性質(zhì)的其它幾個(gè)因素,1、溫度 當(dāng)溫度上升

13、時(shí)，材料的屈服應(yīng)力將會(huì) 降低而塑性變形的能力則有所提高。,3．靜水壓力 當(dāng)靜水壓力不太大時(shí)，材料體積的變化服從彈性規(guī)律而不產(chǎn)生永久的塑性體積改變。,2、應(yīng)變速率 如果實(shí)驗(yàn)時(shí)將加載速度提高幾個(gè)數(shù)量級(jí)，則屈服應(yīng)力也會(huì)相應(yīng)地提高，但材料的塑性應(yīng)變形能力會(huì)有所下降。,當(dāng)材料有較大的塑性變形時(shí)（彈性變形相對(duì)地很小）， 可近似地認(rèn)為體積是不可壓的。,靜水壓力對(duì)屈服應(yīng)力的影響也是不大的。,§1.3 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)

14、系關(guān)系的簡(jiǎn)化模型,,,,,,,類(lèi)似地，上式也可用應(yīng)變表示為：,1．理想彈塑性模型,適用：強(qiáng)化率較低的材料，在應(yīng)變不太大時(shí)可忽略強(qiáng)化效應(yīng),,,,2．線(xiàn)性強(qiáng)化彈塑性模型,類(lèi)似地，上式也可用應(yīng)變表示為：,適用：材料的強(qiáng)化率較高且在一定范圍內(nèi)變化不大,（假定拉伸和壓縮時(shí)屈服應(yīng)力的絕對(duì)值和強(qiáng)化模量都相同）,,,——表示圖5（a）中的 線(xiàn)段比,3．一般加載規(guī)律,對(duì)于一般的單向拉伸曲線(xiàn)，在不卸載時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：,注：這種模型在 =

15、0處的斜率為無(wú)窮大，近似性較差，但在數(shù)學(xué)上比較容易處理。,,,（8）,4．冪次強(qiáng)化模型,（其中B>0，0<m<1）,但在一般數(shù)值分析中，多采用以下的形式,避免了模型在 處斜率為無(wú)窮大的問(wèn)題,§1.3,,其加載規(guī)律可寫(xiě)為： （9）,如取 就有,,說(shuō)明：這對(duì)應(yīng)于割線(xiàn)余率為0.7E的應(yīng)力和應(yīng)變，上式中有三個(gè)參數(shù)可用來(lái)刻

16、畫(huà)實(shí)際材料的拉伸特性，而在數(shù)學(xué)表達(dá)式上也較為簡(jiǎn)單。,5．Ramberg-Osgood模型,等向強(qiáng)化模型,,,,,6. 等向強(qiáng)化模型及隨動(dòng)強(qiáng)化模型,例如：可取,適用：拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力和壓縮時(shí)的屈服應(yīng)力始終是相等的。,—— 是刻畫(huà)塑性變形歷史的參數(shù),或,該模型不論拉伸還是壓縮都使屈服應(yīng)力提高，對(duì)應(yīng)圖2（a）中的 和 。,隨動(dòng)強(qiáng)化模型 上式在線(xiàn)性強(qiáng)化情形下也可寫(xiě)為,（ 是塑性應(yīng)變 的單調(diào)遞增函數(shù)

17、）,適用：考慮包氏效應(yīng)，認(rèn)為拉伸屈服應(yīng)力和壓縮屈服應(yīng)力的代數(shù) 值之差，即彈性響應(yīng)的范圍始終是不變的。,該模型對(duì)應(yīng)圖2（a）中的 和 。,§1.4 軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn),一、拉伸失穩(wěn)的概念,1、拉伸失穩(wěn)：,注意：拉伸試件在出現(xiàn)頸縮后，試件局部區(qū)域的截面積會(huì)有 明顯減少，再用名義應(yīng)力和應(yīng)變來(lái)描述此時(shí)的材料特 性是不適當(dāng)?shù)?（見(jiàn)圖2）,在最高點(diǎn)以后，增加應(yīng)變時(shí)應(yīng)力反而下降，在通常意

18、義下稱(chēng)試件是不穩(wěn)定的。,圖2（a）,2、真應(yīng)力,3、對(duì)數(shù)應(yīng)變,4、截面積收縮比,q=（A0-A）/A0,假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認(rèn)為名義應(yīng)力達(dá)到最高點(diǎn)C時(shí)出現(xiàn)頸縮：,,,,,,二、真應(yīng)力,則在頸縮時(shí)真應(yīng)力應(yīng)滿(mǎn)足條件,拉伸失穩(wěn)分界點(diǎn)的斜率正好和該點(diǎn)的縱坐標(biāo)值相等。,由,,結(jié)論：,[1],,,,,注意到,頸縮時(shí)的條件也可寫(xiě)為：,即,拉伸失穩(wěn)點(diǎn) 的斜率為其縱坐標(biāo)值除以,結(jié)論：,[2],[3],以截面積收縮比q為自變量

19、,則,由頸縮時(shí)的條件,拉伸失穩(wěn)時(shí)真應(yīng)力所滿(mǎn)足的條件:,隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會(huì)造成材料的弱化而導(dǎo)致失穩(wěn)。稱(chēng)之為應(yīng)變?nèi)趸?三、材料本身的失穩(wěn)現(xiàn)象,例如，在低碳鋼拉伸實(shí)驗(yàn)中由上屈服應(yīng)力突然下降到下屈服應(yīng)力的現(xiàn)象，它與材料變形的內(nèi)部微觀機(jī)制的變化有關(guān)。,在許多問(wèn)題（如拉伸失穩(wěn)等）中，以上兩種現(xiàn)象往往是耦合的,§1.5 簡(jiǎn)單桁架的彈塑性分析,,,,一、問(wèn)題的提出,以圖示的一次靜不定三桿桁架為例進(jìn)行彈塑

20、性分析。,以一次超靜定三桿桁架為例進(jìn)行彈塑性分析,解：在載荷P 較小時(shí)，桿系處于彈性狀態(tài)，各桿軸力為：,已知：三桿材料相同，彈性模量均為E；橫截面積相同，均為A，l1=l3，l2=l，試討論桿系的極限載荷和A點(diǎn)的鉛垂位移Δ。,載荷增加時(shí)，桿2首先屈服，此時(shí)σ2＝σs，1、3桿仍處于彈性狀態(tài)。,屈服載荷Pe：,超靜定結(jié)構(gòu)→靜定結(jié)構(gòu),繼續(xù)加載，桿1、3也達(dá)到屈服，結(jié)構(gòu)喪失承載能力。,極限載荷Pl：,A點(diǎn)位移Δ分析,P小于或等于Pe時(shí)，,,當(dāng)

21、Pe <P<Pl時(shí)，,P=Pl時(shí),,,當(dāng)P<Pe時(shí)，三桿處于彈性狀態(tài)，結(jié)構(gòu)的剛度比較大；當(dāng)Pe<P<Pl時(shí)，桿2屈服，喪失進(jìn)一步承載力，但桿1和3仍處于彈性狀態(tài)，A點(diǎn)位移由1、3桿的變形控制，故桿2的塑性變形不能任意增長(zhǎng)，這種狀態(tài)稱(chēng)為約束塑性變形。該階段與載荷P的關(guān)系仍是線(xiàn)性的，但剛度有所降低；當(dāng)P=Pl時(shí)，結(jié)構(gòu)屈服，失去抵抗變形能力，即使載荷不再增加位移也會(huì)不斷增加。,,,卸載： 桿1，2和3均發(fā)生彈

22、性變形。設(shè)卸載量為,桿中應(yīng)力,結(jié)點(diǎn)位移,完全卸載時(shí)，可得到殘余應(yīng)力：,可見(jiàn)，殘余變形并不一定等于塑性應(yīng)變,完全卸載時(shí)殘余應(yīng)變：,？,>0,由于,§1.6 強(qiáng)化效應(yīng)的影響,本節(jié)仍討論Q=0的情形，,現(xiàn)假定材料是線(xiàn)性強(qiáng)化的。,不卸載時(shí)其拉伸曲線(xiàn)可寫(xiě)為,（1）當(dāng)P 時(shí)，桿中的應(yīng)力值仍由（18）式表示,（2）當(dāng)P>Pe時(shí)，有,將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可解得,,（3）當(dāng)P增至使 時(shí)，第

23、1桿和第3桿也開(kāi)始屈服。,此時(shí)的載荷值為,1、如取E‘/E=1/10，則P1=1.04Ps。與理想彈塑性材料相比，相應(yīng)的載荷值并沒(méi)有很大的增加。這說(shuō)明采用理想彈塑性模型可得到較好的近似，而計(jì)算卻有相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。,說(shuō)明：,2、當(dāng)P小于P1時(shí)，結(jié)構(gòu)的變形仍屬于彈性變形的量級(jí)，而當(dāng)P超過(guò)P1后繼續(xù)增加時(shí)，由于強(qiáng)化效應(yīng)，結(jié)構(gòu)并不會(huì)進(jìn)入塑性流動(dòng)狀態(tài)，但這時(shí)的變形將會(huì)有較快的增長(zhǎng)。,§1.7 幾何非線(xiàn)性的影響,一、問(wèn)題的提出,求解基

24、本方程：,——是在小變形的假設(shè)下建立的,當(dāng)桿件的塑性變形很大時(shí)，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會(huì)產(chǎn)生顯著的影響。這時(shí)應(yīng)采用真應(yīng)力和對(duì)數(shù)應(yīng)變來(lái)進(jìn)行討論。,二、問(wèn)題的解答,仍考慮Q=0的情形，假定材料是剛塑性線(xiàn)性強(qiáng)化的：,而且滿(mǎn)足不可壓條件：,令,則,由幾何分析,于是,在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：,其中,——為變形后第2桿與第1桿（和第3桿）之間的夾角,,,可見(jiàn)（33）式中有三個(gè)未知量,,在不卸載的情況下，由本構(gòu)方程：,得到 與 之間的非線(xiàn)

25、性關(guān)系,結(jié)論：,隨著 的增長(zhǎng)， 的值將會(huì)由于強(qiáng)化效應(yīng)和 角的減小而提高，但也會(huì)隨著桿件截面積的收縮而下降。故當(dāng) 很大時(shí)，結(jié)構(gòu)將可能變成不穩(wěn)定的。,§1.8 彈性極限曲線(xiàn),,,本節(jié)我們將考慮前述桁架同時(shí)受垂直載荷P和水平載荷Q作用的情形。,如果桁架中的三根桿件都處于彈性階段，則由（13）(14）15）和（17）各式，,平衡方程,,幾何方程,,,協(xié)調(diào)條件,本構(gòu)方程,,其中 ，

26、表示只作用水平力時(shí)的彈性極限載荷。,可求得桿中應(yīng)力為,,,（35）式成立的條件為,這相當(dāng)于對(duì)P和Q的限制條件：,上式對(duì)應(yīng)于圖12中實(shí)線(xiàn)六邊形區(qū)域，其中等號(hào)則對(duì)應(yīng)于該六邊形的邊界，稱(chēng)為彈性極限曲線(xiàn)，表示至少有一根桿件已達(dá)到屈服狀態(tài)。,如果作用于結(jié)構(gòu)上的載荷先是超出了彈性極限曲線(xiàn)，然后又完全卸回到零，那么結(jié)構(gòu)中將存在殘余應(yīng)力。,由于殘余應(yīng)力與零外載相平衡，故可寫(xiě)成（27）式的形式：,其中 是一個(gè)可以變化的參數(shù)，其值可由（28）

27、式來(lái)表示。,在存在殘余應(yīng)力的情況下，如果再重新對(duì)結(jié)構(gòu)施加載荷而未能再次屈服，那么結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力值就應(yīng)該是以上的殘余應(yīng)力與（35）式的疊加。,不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：,其中 值滿(mǎn)足,（37）式對(duì)應(yīng)于圖12中虛線(xiàn)所構(gòu)成的六邊形區(qū)域。,說(shuō)明：,可見(jiàn)在加載方向一側(cè)屈服載荷有所提高而與加載方向相反的一側(cè)屈服載荷有所降低。可用來(lái)對(duì)應(yīng)變硬化和包氏效應(yīng)等現(xiàn)象做一個(gè)比較形象的解釋。,§1.9 加載路徑的影響,塑性力學(xué)的特點(diǎn)之

28、一就是解對(duì)加載路徑的依賴(lài)性。,[例],計(jì)算上述的理想彈塑性三桿桁架在不同加載路徑下O點(diǎn)的最終水平位移和垂直位移。,第一種路徑,（圖13（a)中的路徑1）,,當(dāng) 時(shí),第一種路徑：（Q，P）先由（0，0）線(xiàn)性地變化為（0，PS），再在垂直位移保持不變的條件下增加Q使達(dá)到Qe,如保持δy=2δe不變而施加水平方向的載荷Q，使點(diǎn)O有一個(gè)水平方向的位移增量 ，則由幾何關(guān)系（14）式：,可知第1桿和

29、第2桿并未卸載,而第3桿以彈性規(guī)律卸載,于是，由（13）式可求得載荷增量為：,即Q與P之間的變化規(guī)律是線(xiàn)性的,當(dāng)?shù)?桿卸載到σ3=-σs時(shí),由△σ3=-2σs得,,此時(shí)三桿同時(shí)屈服，即結(jié)構(gòu)再次進(jìn)入塑性流動(dòng)狀態(tài)。三桿的應(yīng)力為：,水平位移δx可由（38）式求得，垂直位移δy始終不變。因此：,,第二種路徑：（Q，P）由（0，0）作單調(diào)的比例如載而達(dá)到（ ）,第二種路徑,（圖13（a）中的路徑②）

30、,由于加載時(shí)始終有關(guān)系 式，故將其代入（35）式可得初始彈性階段的解為：,,,，,,,——表明隨著P的增長(zhǎng)，第1桿最先達(dá)到屈服。,當(dāng),各桿的應(yīng)力,此時(shí)O點(diǎn)的位移值為,,,,,,如繼續(xù)加載，則第1桿進(jìn)入屈服階段，,即,由,和（13）式的增量形式,——表明第2桿繼續(xù)受拉，第3桿繼續(xù)受壓。,各桿的應(yīng)力由（41）式和（43）式計(jì)算,當(dāng) 三桿同時(shí)進(jìn)入塑性狀態(tài)，即,,,,,,,,,利用（43）式,和（14）式

31、的增量形式,便可求出對(duì)應(yīng)于 時(shí)的位移增量：,最終位移則是上式和（42）式的疊加：,結(jié)論：,可知在兩種加載路徑下雖然可得到相同的應(yīng)力值，但各桿的應(yīng)變和O點(diǎn)最終位移值卻是不同的。,§1.10極限載荷曲線(xiàn)（面）,一、概念,兩個(gè)不等式同時(shí)取等號(hào)時(shí)，（P，Q）的值將處于虛線(xiàn)六邊形的頂點(diǎn)。,1、塑性極限載荷,,,,,,,此時(shí)結(jié)構(gòu)變?yōu)橐粋€(gè)能產(chǎn)生塑性流動(dòng)的機(jī)構(gòu)而喪失了進(jìn)一步承載的能力。相應(yīng)的載荷就是塑性極限載荷。,2、極

32、限載荷曲線(xiàn),隨著γ*的改變，這個(gè)極限載荷在（Q，P）平面上的軌跡將形成一條曲線(xiàn)，稱(chēng)為極限載荷曲線(xiàn)（在多維載荷空間中則稱(chēng)為極限載荷曲面）。,特點(diǎn)：與彈性極限曲線(xiàn)不同，極限載荷曲線(xiàn)是 結(jié)構(gòu)的固有屬性，它不依賴(lài)于加載歷史。,作法：,1、求得（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線(xiàn)；,2、根據(jù)Q和P的四種組合和拉、壓屈服應(yīng)力相等的假設(shè)， 由對(duì)稱(chēng)性條件來(lái)獲得整個(gè)平面上的極限載荷曲線(xiàn)。,（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線(xiàn)

33、可由以下方法求得：,設(shè)加載是按比例 增至極限載荷的,很大時(shí)，第1桿和第2桿先達(dá)到拉伸屈服,故由（13）式,得,其中,,這對(duì)應(yīng)于圖a中的線(xiàn)段FG。,1、,2、當(dāng) 很小時(shí)，第1桿達(dá)到拉伸屈服而第3桿達(dá)到壓縮屈服：,故由（13）式,得,其中,,這對(duì)應(yīng)于圖a中的線(xiàn)段GH,,——此時(shí)三桿同時(shí)進(jìn)入屈服狀態(tài),二、極限載荷曲線(xiàn)的性質(zhì),（1）極限載荷曲線(xiàn)（面）是唯一的，它與加載路 徑無(wú)關(guān)。,（2）極限載荷曲線(xiàn)（面）是外凸的

34、。,（3）在極限載荷曲線(xiàn)（面）上，與外載荷相對(duì)應(yīng) 的位移增量的方向指向該曲線(xiàn)（面）的外法 向。,§1.11* 安定問(wèn)題,安定狀態(tài) : 結(jié)構(gòu)始終呈彈性響應(yīng) 結(jié)構(gòu)在經(jīng)過(guò)有限次塑性變形而達(dá)到一定的殘余應(yīng)力狀態(tài)后，外載荷的繼續(xù)作用將使該結(jié)構(gòu)在此殘余應(yīng)力之上仍 然作彈性響應(yīng),不安定：結(jié)構(gòu)中的某些部位總是交替地產(chǎn)生異號(hào)的塑性變化， 從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的塑性循環(huán)（或稱(chēng)低周疲勞）破壞；結(jié)構(gòu)中的某些部位總要產(chǎn)生