線性代數(shù)課程介紹

1、線性代數(shù)課程簡介,一.教材與參考書,線性代數(shù)數(shù)學實驗自編講義,《線性代數(shù)及其應用》（第二版）王建軍主編 上海交通大學出版社,教材選用：,課后上機材料：,線性代數(shù)是一門基礎數(shù)學課程,其核心內容是研究有限維線性空間的結構和線性變換.其理論和方法有著廣泛的應用.,行列式,矩陣,,線性方程組,,向量空間,,矩陣的特征值,二次型,,1.教材內容:,2.學習方法與要求;,預習+課堂學習+討論 +自學,線性代數(shù)(Linear Algebra)

2、簡介,加法與乘法被看成是代數(shù)系統(tǒng)中的一般運算。,一.代數(shù):,是指由字母或符號來研究數(shù)及其結構的科學。,1.初等代數(shù),代數(shù)的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比倫人。,初期的代數(shù)主要源于解方程.,我國古代的《九章算術》中就有方程問題。,初等代數(shù)研究的對象:,代數(shù)式的運算和方程的求解。,整式、分式和根式是初等代數(shù)的三大類代數(shù)式。,四則運算，乘方和開方運算,通常稱為初等代數(shù)的代數(shù)運算.,初等代數(shù)的十條規(guī)則:,(1)五條基本運算律：

3、,加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、分配律；,(2)兩條等式基本性質:,等式兩邊同時加上一個數(shù)，等式不變；,等式兩邊同時乘以一個非零的數(shù)，等式不變；,(3)三條指數(shù)律：,同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；,指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)相乘；,積的乘方等于乘方的積。,人們在解方程的研究過程中發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)、負數(shù)和復數(shù)，從而使數(shù)的概念得到了擴充。,2、代數(shù)的基本定理,1799年高斯（Gauss）證明：,復數(shù)域上任意一個一元n次

4、（n>0）方程,,任何一個一元n次方程在復數(shù)域上有且僅有n個根（重根按重數(shù)計算）,至少有個根,這就是說,至少有個復數(shù)x滿足這個等式；,3.多項式方程的代數(shù)解問題,方程的代數(shù)解是指:,方程經過有限次代數(shù)運算得到的解。,,，,，,,阿貝爾（Abel）(1802～1829)證明了五次方程不可能有代數(shù)解,4、方程根與系數(shù)的關系,韋達定理:設一元二次方程,在復數(shù)域上的兩個根為,,則有,一般地:設,在復數(shù)域上的n個根為,,則有,,…,2

5、.高等代數(shù),1832年法國數(shù)學家伽羅瓦運用“群”的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性,由此代數(shù)轉變成為研究代數(shù)運算結構的科學.,二.線性代數(shù),“線性”的含義是指未知量的一次式。,例如: y=ax表示變量y是變量x的一個線性函數(shù)，,y=ax1+bx2表示變量y是x1，x2的線性關系。,一個線性表示不能包含諸如x2和x1x2的二次項，這些二次項是非線性的。,線性代數(shù)的研究對象:,線性方程組、線性空間和線性變換。,行列式和矩陣的是

6、線性代數(shù)的兩個重要工具.,1、求解線性方程組,例1：明代程大為著的《算法統(tǒng)宗》中記載：100個和尚分100個饅頭。大和尚一人3個，小和尚3人一個，剛好分完。問大、小和尚各多少人？,解：設有大和尚x人，小和尚y人，于是有,用代入法求得：,，代入,，解出：,例2：中國古代算書《張丘建算經》記載百雞問題：公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢，小雞三只值一文錢，現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問：在這一百雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？,

7、解：設有公雞x只，母雞y只，小雞z只，則有,有（2）×3－（1）得,,,因為y是整數(shù)，可設,,代入得：,,又y>0,可知k=1,2,3,由此得,或,或,例:總收入問題,某地區(qū)有1個工廠,生產甲,乙,丙3種產品,,xi(i=1,2,3),表示工廠生產這3種產品的數(shù)量,ai(i=1,2,3)表示第i種產品的單價,y表示這3種產品的總收入,則有:,若某地區(qū)有1,2,3,4個工廠,生產甲,乙,丙3種,產品,xki(k=1,2

8、,3,4;i=1,2,3)是k工廠生產i種產品的數(shù)量,ai(i=1,2,3)表示i種產品的單價,yk表示k工廠的總收入,則有:,2、線性代數(shù)的數(shù)學模型,在一個經濟系統(tǒng)中,一個企業(yè)既是生產者又是消費者,作為生產者,它有產出,作為消費者它有投入,企業(yè)之間的這種平衡關系可以用一系列的線性方程組來表示,這就是列昂節(jié)夫(諾貝爾經濟學獎獲得者)的投入產出數(shù)學模型.,例全球定位系統(tǒng)GPS,要想知道卡車在公路上行駛時的位置可利用GPS系統(tǒng)

9、.這個系統(tǒng)是由24顆高軌道衛(wèi)星組成,卡車從其中3顆衛(wèi)星接受信號,接受器里的軟件利用線性代數(shù)方法來確定卡車的位置.,當卡車和一顆衛(wèi)星聯(lián)系時,接受器從信號往返的時間能確定卡車到衛(wèi)星的距離,例如14000公里,從衛(wèi)星來看,知道卡車位于以衛(wèi)星為球心,半徑為14000公里的球面上的某地.設卡車位置(x,y,z),第一顆衛(wèi)星位置(a1,b1,c1)即,同理 假設第2,3顆衛(wèi)星的位置分別是(a2,b2,c2)和(a3,b3,c3

10、)距卡車的距離分別是17000和16000公里,則有,這些關系式不是線性關系式,要求(x,y,z),由(1)減(2),(3)得:,例:動畫問題,動畫設計中常常用到坐標變換如:平移 旋轉等,設平面上的點為(x,y),平移變換后為,則:,設平面上的點為(x,y),旋轉變換后為,則:,§1 n階行列式的定義的主要內容是:,一.2階行列式和3階行列式的定義,(一)2階行列式的定義,(二)3階行列式的定義,二.n階行列式的定義,行列

11、式簡介,行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解。,它是數(shù)學語言上的改革,,它的簡化的記法常常是深奧理論的源泉。 ———P.S.Laplace,是一種速記表達式.,行列式的概念最早是由十七世紀日本數(shù)學家 關孝和提出來的(1683 年 ),Vandermonde 首次對行列式理論進行系統(tǒng)的闡述,成為行列式理論的奠基人.,用消元法解二元線

12、性方程組,,,一.2階行列式和3階行列式的定義,(一)2階行列式的定義,方程組的解為,,,由方程組的四個系數(shù)確定.,由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表,定義,即,,,主對角線,副對角線,對角線法則,二階行列式的計算,,若記,對于二元線性方程組,系數(shù)行列式,,,,,,,,則二元線性方程組的解為,注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.,例1,解,,(二)三階行列式的定義,解三元一次方程組,,由（1）（2）消x3,同理（

13、1）（3）消x3得,,,由二元一次方程組可知:若系數(shù)行列式:,,即:,,,,那么:,,三元線性方程組:,,若系數(shù)行列式不等于零,有解:,,,(二)三階行列式的定義,定義,記,（1）式稱為數(shù)表所確定的三階行列式.,,,,,,,,,,,,,,,,(1)沙路法,三階行列式的計算,,,,,,,(2)對角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號．,說明 對角線法則只適用于二階與三階行列式．,,例,解,按對角線

14、法則，有,二.四階行列式與n階行列式的定義,不適用對角線定義.,,1,,,+1,,×,三階行列式的沙路法和對角線法不適用四階行列式,二.四階行列式與n階行列式的定義,例:,求x4=?,由(2)+(3)得:,得:,10,3,觀察2階和3階行列式:,=?,三階行列式:,+,123,231,312,,132,213,321,0個,2個,2個,偶排列,1個,1個,3個,奇排列,記:,為排列的逆序數(shù)總數(shù).,規(guī)定,=,行列式的一般項定義

15、.,補充說明:行列式的一般項定義中列標可按自然順序排列.,例如:,n階行列式的一般項定義,,行列式的一般項,簡記,其中aij是行列式的元數(shù).,例1　計算對角行列式,分析,展開式中一般項中的元素積:,所以 只能等于 ,,同理可得,解,即行列式中不為零的項為,例如,,,,,,,,3或2階行列式的按第1行展開式歸納如下:,四階行列式與n階行列式按行展開式定義.,按照這一規(guī)律觀察2階:,=,規(guī)定:,叫做元素 的代數(shù)余子

16、式．,,例如,,,的余子式和代數(shù)余子式,1.余子式與代數(shù)余子式,,,的余子式和代數(shù)余子式,定義:由n2個數(shù)aij(ij=1,2,…n)組成的n階行列式,n階行列式按第1行展開的定義,是一個算式.,當n=1時,定義D=,當n≥2時,定義為,其中:,例1,=40,按第1行的元素展開,,例:利用行列式的按第1行展開定義證明:,證明:,對n作數(shù)學歸納法證明.,當n=2時,結論成立,假設結論對n-1階下三角形行列式成立,則,D=,D=,同理可