《電路--第三章》邱關(guān)源版

1、第3章 電阻電路的一般分析,本章重點(diǎn),重點(diǎn),熟練掌握電路方程的列寫方法： 支路電流法 回路電流法 結(jié)點(diǎn)電壓法,返 回,線性電路的一般分析方法,普遍性：對(duì)任何線性電路都適用。,復(fù)雜電路的一般分析法就是根據(jù)KCL、KVL及元件電壓和電流關(guān)系列方程、解方程。根據(jù)列方程時(shí)所選變量的不同可分為支路電流法、回路電流法和結(jié)點(diǎn)電壓法。,元件的電壓、電流關(guān)系特性。,電路的連接關(guān)系—KCL，KVL定律

2、。,方法的基礎(chǔ),系統(tǒng)性：計(jì)算方法有規(guī)律可循。,下 頁,上 頁,返 回,1.網(wǎng)絡(luò)圖論,哥尼斯堡七橋難題,圖論是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)分支，是富有趣味和應(yīng)用極為廣泛的一門學(xué)科。,下 頁,上 頁,3.1 電路的圖,返 回,2.電路的圖,一個(gè)元件作為一條支路,元件的串聯(lián)及并聯(lián)組合作為一條支路,,有向圖,下 頁,上 頁,返 回,圖的定義(Graph),G={支路，結(jié)點(diǎn)},,電路的圖是用以表示電路幾何結(jié)構(gòu)的圖形，圖中的支路和結(jié)點(diǎn)與電路的支路和結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。,

3、圖中的結(jié)點(diǎn)和支路各自是一個(gè)整體。,移去圖中的支路，與它所聯(lián)接的結(jié)點(diǎn)依然存在，因此允許有孤立結(jié)點(diǎn)存在。,如把結(jié)點(diǎn)移去，則應(yīng)把與它聯(lián)接的全部支路同時(shí)移去。,下 頁,上 頁,結(jié)論,返 回,從圖G的一個(gè)結(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著一些支路連續(xù)移動(dòng)到達(dá)另一結(jié)點(diǎn)所經(jīng)過的支路構(gòu)成路徑。,(2)路徑,,,(3)連通圖,圖G的任意兩結(jié)點(diǎn)間至少有一條路徑時(shí)稱為連通圖，非連通圖至少存在兩個(gè)分離部分。,,,下 頁,上 頁,返 回,(4)子圖,,若圖G1中所有支路和結(jié)點(diǎn)都是圖G

4、中的支路和結(jié)點(diǎn)，則稱G1是G的子圖。,樹(Tree),T是連通圖的一個(gè)子圖且滿足下列條件：,連通包含所有結(jié)點(diǎn)不含閉合路徑,,下 頁,上 頁,返 回,,樹支：構(gòu)成樹的支路,連支：屬于G而不屬于T的支路,樹支的數(shù)目是一定的,連支數(shù)：,不是樹,樹,對(duì)應(yīng)一個(gè)圖有很多的樹,下 頁,上 頁,明確,返 回,回路(Loop),L是連通圖的一個(gè)子圖，構(gòu)成一條閉合路徑，并滿足：(1)連通，(2)每個(gè)結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)2條支路。,不是回路,回路,,,2）基本回路的

5、數(shù)目是一定的，為連支數(shù)；,1）對(duì)應(yīng)一個(gè)圖有很多的回路；,3）對(duì)于平面電路，網(wǎng)孔數(shù)等于基本回路數(shù)。,下 頁,上 頁,明確,返 回,基本回路(單連支回路),支路數(shù)＝樹支數(shù)＋連支數(shù)＝結(jié)點(diǎn)數(shù)－1＋基本回路數(shù),,結(jié)點(diǎn)、支路和基本回路關(guān)系,基本回路具有獨(dú)占的一條連支,下 頁,上 頁,結(jié)論,返 回,例,圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對(duì)應(yīng)的基本回路。,,,下 頁,上 頁,注意,網(wǎng)孔為基本回路。,返 回,3.2 KCL和KVL的獨(dú)立方程數(shù),

6、1.KCL的獨(dú)立方程數(shù),1,4,3,2,n個(gè)結(jié)點(diǎn)的電路, 獨(dú)立的KCL方程為n-1個(gè)。,下 頁,上 頁,結(jié)論,返 回,2.KVL的獨(dú)立方程數(shù),下 頁,上 頁,1,3,2,對(duì)網(wǎng)孔列KVL方程：,可以證明通過對(duì)以上三個(gè)網(wǎng)孔方程進(jìn)行加、減運(yùn)算可以得到其他回路的KVL方程：,注意,返 回,KVL的獨(dú)立方程數(shù)=基本回路數(shù)=b－(n－1),n個(gè)結(jié)點(diǎn)、b條支路的電路, 獨(dú)立的KCL和KVL方程數(shù)為：,下 頁,上 頁,結(jié)論,返 回,3.3 支路電流法,

7、對(duì)于有n個(gè)結(jié)點(diǎn)、b條支路的電路，要求解支路電流,未知量共有b個(gè)。只要列出b個(gè)獨(dú)立的電路方程，便可以求解這b個(gè)變量。,1. 支路電流法,,2. 獨(dú)立方程的列寫,下 頁,上 頁,以各支路電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。,從電路的n個(gè)結(jié)點(diǎn)中任意選擇n-1個(gè)結(jié)點(diǎn)列寫KCL方程,選擇基本回路列寫b-(n-1)個(gè)KVL方程。,返 回,例,1,3,2,有6個(gè)支路電流，需列寫6個(gè)方程。KCL方程:,取網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，沿順時(shí)針方向繞行列KVL寫方

8、程:,回路1,回路2,回路3,下 頁,上 頁,返 回,應(yīng)用歐姆定律消去支路電壓得：,下 頁,上 頁,這一步可以省去,回路1,回路2,回路3,返 回,（1）支路電流法的一般步驟：,標(biāo)定各支路電流（電壓）的參考方向；,選定(n–1)個(gè)結(jié)點(diǎn)，列寫其KCL方程；,選定b–(n–1)個(gè)獨(dú)立回路，指定回路繞行方 向，結(jié)合KVL和支路方程列寫；,求解上述方程，得到b個(gè)支路電流；,進(jìn)一步計(jì)算支路電壓和進(jìn)行其它分析。,下 頁,上 頁,小結(jié),返 回,

9、（2）支路電流法的特點(diǎn)：,支路法列寫的是 KCL和KVL方程， 所以方程列寫方便、直觀，但方程數(shù)較多，宜于在支路數(shù)不多的情況下使用。,下 頁,上 頁,例1,求各支路電流及各電壓源發(fā)出的功率。,解,n–1=1個(gè)KCL方程：,結(jié)點(diǎn)a： –I1–I2+I3=0,b–( n–1)=2個(gè)KVL方程：,11I2+7I3= 6,7I1–11I2=70-6=64,,?U=?US,返 回,下 頁,上 頁,返 回,例2,結(jié)點(diǎn)a： –I1–I2+I3=

10、0,(1) n–1=1個(gè)KCL方程：,列寫支路電流方程.(電路中含有理想電流源）,解1,(2) b–( n–1)=2個(gè)KVL方程：,11I2+7I3= U,7I1–11I2=70-U,,增補(bǔ)方程：I2=6A,下 頁,上 頁,設(shè)電流源電壓,返 回,+U_,解2,由于I2已知，故只列寫兩個(gè)方程,結(jié)點(diǎn)a： –I1+I3=6,避開電流源支路取回路：,7I1＋7I3=70,下 頁,上 頁,返 回,例3,–I1–I2+I3=0,列寫支路電

11、流方程.(電路中含有受控源）,解,11I2+7I3= 5U,7I1–11I2=70-5U,,增補(bǔ)方程：U=7I3,有受控源的電路，方程列寫分兩步：,先將受控源看作獨(dú)立源列方程；將控制量用未知量表示，并代入①中所列的方程，消去中間變量。,下 頁,上 頁,注意,結(jié)點(diǎn)a：,返 回,3.4 網(wǎng)孔電流法,基本思想,為減少未知量(方程)的個(gè)數(shù)，假想每個(gè)回路中有一個(gè)回路電流。各支路電流可用回路電流的線性組合表示，來求得電路的解。,1.網(wǎng)孔電流法,

12、下 頁,上 頁,以沿網(wǎng)孔連續(xù)流動(dòng)的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法稱網(wǎng)孔電流法。它僅適用于平面電路。,返 回,獨(dú)立回路數(shù)為2。選圖示的兩個(gè)獨(dú)立回路，支路電流可表示為：,下 頁,上 頁,網(wǎng)孔電流在網(wǎng)孔中是閉合的，對(duì)每個(gè)相關(guān)結(jié)點(diǎn)均流進(jìn)一次，流出一次，所以KCL自動(dòng)滿足。因此網(wǎng)孔電流法是對(duì)網(wǎng)孔回路列寫KVL方程，方程數(shù)為網(wǎng)孔數(shù)。,列寫的方程,b,返 回,網(wǎng)孔1： R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0,網(wǎng)孔2：

13、 R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0,,整理得：,(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2,- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2,,2. 方程的列寫,下 頁,上 頁,觀察可以看出如下規(guī)律：,R11=R1+R2 網(wǎng)孔1中所有電阻之和，稱網(wǎng)孔1的自電阻。,返 回,R22=R2+R3 網(wǎng)孔2中所有電阻之和，稱網(wǎng)孔2的自電阻。,自電阻總為正。,R12= R21= –R2 網(wǎng)孔1、網(wǎng)孔2之間

14、的互電阻。,當(dāng)兩個(gè)網(wǎng)孔電流流過相關(guān)支路方向相同時(shí)，互電阻取正號(hào)；否則為負(fù)號(hào)。,uSl1= uS1-uS2 網(wǎng)孔1中所有電壓源電壓的代數(shù)和。,uSl2= uS2 網(wǎng)孔2中所有電壓源電壓的代數(shù)和。,下 頁,上 頁,注意,返 回,當(dāng)電壓源電壓方向與該網(wǎng)孔電流方向一致時(shí)，取負(fù)號(hào)；反之取正號(hào)。,下 頁,上 頁,方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：,對(duì)于具有 l 個(gè)網(wǎng)孔的電路，有:,返 回,Rjk: 互電阻,+ : 流過互阻的兩個(gè)網(wǎng)孔電流方向相同；

15、,- : 流過互阻的兩個(gè)網(wǎng)孔電流方向相反；,0 : 無關(guān)。,,Rkk: 自電阻(總為正),下 頁,上 頁,注意,,返 回,例1,用網(wǎng)孔電流法求解電流 i,解,選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路：,無受控源的線性網(wǎng)絡(luò)Rjk=Rkj , 系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣。當(dāng)網(wǎng)孔電流均取順（或逆）時(shí)針方向時(shí)，Rjk均為負(fù)。,下 頁,上 頁,表明,返 回,例 用網(wǎng)孔法求圖示電路中的I0,For mesh 1, - 20 + 6i1 – 2i2 - 4i3 = 0 3

16、i1 - i2 - 2i3 = 10 (1) For mesh 2, 10i2 - 2i1 - 8i3 – 10I0 = 0 = -i1 + 5i2 – 9i3 (2) But I0 = i3, 18i3 - 4i1 - 8i2 = 0 - 2i1 - 4i2 + 9i3 = 0 (3),From (1) to (3),,包含電流源的網(wǎng)孔分析法,第1種情

17、況：電流源僅存在于一個(gè)網(wǎng)孔中,i2=-5A,-10+4i2+6（i1-i2）=0 i2=-5A,第2種情況：電流源存在于兩個(gè)網(wǎng)孔之間，將電流源和與之相串聯(lián)的元件支路除去后，得到一個(gè)超網(wǎng)孔（supermesh）,對(duì)于超網(wǎng)孔應(yīng)用KVL,-20+6i1+10i2+4i2=0,6i1+14i2=20,對(duì)于公共支路應(yīng)用KCL,i2=i1+6,i1=-3.2A i2=2.8A,例：求圖示電路中的電流i1 、i2 、 i3,We have

18、a supermesh. Let all R be in k?, i in mA, and v in volts.,For the supermesh, -100 +4i1 + 8i2 + 2i3 + 40 = 0 or 30 = 2i1 + 4i2 + i3 (1),At node A, i1 + 4 = i2 (2

19、),At node B,i2 = 2i1 + i3 (3),Solving (1), (2), and (3), we get i1 = 2 mA, i2 = 6 mA, and i3 = 2 mA.,例 求圖示電路中的vx和ix,For the supermesh, -50 + 10i1 + 5i2 + 4ix = 0, but ix = i1. Hence, 50 = 14i1 + 5i2

20、(1),At node A, i1 + 3 + (vx/4) = i2, but vx = 2(i1 – i2), hence, i1 + 2 = i2 (2),Solving (1) and (2) gives i1 = 2.105 A, i2 = 4.105 Avx = 2(i1 – i2) = –4 volts and ix = i2 – 2 = 2.105A,

21、（1）網(wǎng)孔電流法的一般步驟：,選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，并確定其繞行方向；,以網(wǎng)孔電流為未知量，列寫其KVL方程；,求解上述方程，得到 l 個(gè)網(wǎng)孔電流；,其它分析。,求各支路電流；,下 頁,上 頁,小結(jié),（2）網(wǎng)孔電流法的特點(diǎn)：,僅適用于平面電路。,返 回,3.5 回路電流法,1.回路電流法,下 頁,上 頁,以基本回路中沿回路連續(xù)流動(dòng)的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。它適用于平面和非平面電路。,回路電流法是對(duì)獨(dú)立回路列寫KVL方程

22、，方程數(shù)為：,列寫的方程,與支路電流法相比，方程數(shù)減少n-1個(gè)。,注意,返 回,2. 方程的列寫,下 頁,上 頁,例,用回路電流法求解電流 i.,解,只讓一個(gè)回路電流經(jīng)過R5支路。,返 回,下 頁,上 頁,方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：,對(duì)于具有 l=b-(n-1) 個(gè)回路的電路，有:,Rjk: 互電阻,+ : 流過互阻的兩個(gè)回路電流方向相同；,- : 流過互阻的兩個(gè)回路電流方向相反；,0 : 無關(guān)。,,Rkk: 自電阻(總為正),注意,返

23、回,（1）回路法的一般步驟：,選定l=b-(n-1)個(gè)獨(dú)立回路，并確定其繞行方向；,對(duì)l 個(gè)獨(dú)立回路，以回路電流為未知量，列寫其KVL方程；,求解上述方程，得到 l 個(gè)回路電流；,其它分析。,求各支路電流；,下 頁,上 頁,小結(jié),（2）回路法的特點(diǎn)：,通過靈活的選取回路可以減少計(jì)算量；,互有電阻的識(shí)別難度加大，易遺漏互有電阻。,返 回,3.理想電流源支路的處理,引入電流源電壓，增加回路電流和電流源電流的關(guān)系方程。,例,方程中應(yīng)包括電流源

24、電壓,增補(bǔ)方程：,下 頁,上 頁,返 回,選取獨(dú)立回路，使理想電流源支路僅僅屬于一個(gè)回路,該回路電流即 IS 。,例,已知電流，實(shí)際減少了一方程,下 頁,上 頁,返 回,4.受控電源支路的處理,對(duì)含有受控電源支路的電路，可先把受控源看作獨(dú)立電源按上述方法列方程，再將控制量用回路電流表示。,下 頁,上 頁,返 回,例1,受控源看作獨(dú)立源列方程,增補(bǔ)方程：,下 頁,上 頁,返 回,例2,列回路電流方程,解1,選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路,U2,U3,增

25、補(bǔ)方程：,,下 頁,上 頁,返 回,解2,回路2選大回路,增補(bǔ)方程：,下 頁,上 頁,返 回,例3,求電路中電壓U，電流I和電壓源產(chǎn)生的功率,解,,下 頁,上 頁,返 回,3.6 結(jié)點(diǎn)電壓法,選結(jié)點(diǎn)電壓為未知量，則KVL自動(dòng)滿足，無需列寫KVL 方程。各支路電流、電壓可視為結(jié)點(diǎn)電壓的線性組合，求出結(jié)點(diǎn)電壓后，便可方便地得到各支路電壓、電流。,基本思想：,1.結(jié)點(diǎn)電壓法,下 頁,上 頁,以結(jié)點(diǎn)電壓為未知量列寫電路方程分析電路的方法。適用于

26、結(jié)點(diǎn)較少的電路。,返 回,What are the things which we need to know in order to determine the answers?,Motivation (1),If you are given the following circuit, how can we determine (1) the voltage across each resistor, (2) current thro

27、ugh each resistor. (3) power generated by each current source, etc.,Things we need to know in solving any resistive circuit with current and voltage sources only:,How should we apply these laws to determine the answers?,

28、Kirchhoff’s Current Laws (KCL) Kirchhoff’s Voltage Laws (KVL) Ohm’s Law,Motivation (2),(a) A simple three-node circuit. (b) Redrawn circuit to emphasize nodes. (c) Reference node selected and voltages assigned. (d) S

29、horthand voltage references. If desired, an appropriate ground symbol may be substituted for “Ref.”,Obtain values for the unknown voltages across the elements in the circuit below.,列寫的方程,結(jié)點(diǎn)電壓法列寫的是結(jié)點(diǎn)上的KCL方程，獨(dú)立方程數(shù)為：,下 頁,上

30、頁,(uA-uB)+uB-uA=0,KVL自動(dòng)滿足,注意,與支路電流法相比，方程數(shù)減少b-(n-1)個(gè)。,任意選擇參考點(diǎn)：其它結(jié)點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差即為結(jié)點(diǎn)電壓(位)，方向?yàn)閺莫?dú)立結(jié)點(diǎn)指向參考結(jié)點(diǎn)。,返 回,2. 方程的列寫,選定參考結(jié)點(diǎn)，標(biāo)明其余n-1個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)的電壓；,下 頁,上 頁,列KCL方程：,i1+i2=iS1+iS2,-i2+i4+i3=0,,-i3+i5=－iS2,返 回,把支路電流用結(jié)點(diǎn)電壓表示：,,下 頁,上 頁,i1

31、+i2=iS1+iS2,-i2+i4+i3=0,,-i3+i5=-iS2,返 回,整理得：,,令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5,上式簡記為：,G11un1+G12un2 ＋G13un3 = iSn1,,G21un1+G22un2 ＋G23un3 = iSn2,G31un1+G32un2 ＋G33un3 = iSn3,標(biāo)準(zhǔn)形式的結(jié)點(diǎn)電壓方程,等效電流源,下 頁,上 頁,返 回,G11=G1+G2

32、 結(jié)點(diǎn)1的自電導(dǎo),G22=G2+G3+G4 結(jié)點(diǎn)2的自電導(dǎo),G12= G21 =-G2 結(jié)點(diǎn)1與結(jié)點(diǎn)2之間的互電導(dǎo),G33=G3+G5 結(jié)點(diǎn)3的自電導(dǎo),G23= G32 =-G3 結(jié)點(diǎn)2與結(jié)點(diǎn)3之間的互電導(dǎo),下 頁,上 頁,小結(jié),結(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)等于接在該結(jié)點(diǎn)上所有支路的電導(dǎo)之和。,互電導(dǎo)為接在結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)之間所有支路的電導(dǎo)之和，總為負(fù)值。,返 回,iSn3=-iS2＋uS/R5 流入結(jié)點(diǎn)3的電流源電流的代數(shù)

33、和。,iSn1=iS1+iS2 流入結(jié)點(diǎn)1的電流源電流的代數(shù)和。,流入結(jié)點(diǎn)取正號(hào)，流出取負(fù)號(hào)。,由結(jié)點(diǎn)電壓方程求得各結(jié)點(diǎn)電壓后即可求得各支路電壓，各支路電流可用結(jié)點(diǎn)電壓表示：,下 頁,上 頁,返 回,Gii —自電導(dǎo)，總為正。,iSni — 流入結(jié)點(diǎn)i的所有電流源電流的代數(shù)和。,Gij = Gji—互電導(dǎo)，結(jié)點(diǎn)i與結(jié)點(diǎn)j之間所有支路電 導(dǎo)之和，總為負(fù)。,下 頁,上 頁,結(jié)點(diǎn)法標(biāo)準(zhǔn)形式的方程：,注意,電路不含受控源時(shí)，系數(shù)矩陣為

34、對(duì)稱陣。,返 回,結(jié)點(diǎn)法的一般步驟：,(1)選定參考結(jié)點(diǎn)，標(biāo)定n-1個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)；,(2)對(duì)n-1個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)，以結(jié)點(diǎn)電壓為未知量，列寫其KCL方程；,(3)求解上述方程，得到n-1個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓；,(5)其它分析。,(4)通過結(jié)點(diǎn)電壓求各支路電流；,下 頁,上 頁,總結(jié),返 回,試列寫電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程,(G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=GSUS,-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0,－GSU1-G4U2+(

35、G4+G5+GS)U3 =－USGS,例,下 頁,上 頁,,返 回,3. 無伴電壓源支路的處理,以電壓源電流為變量，增補(bǔ)結(jié)點(diǎn)電壓與電壓源間的關(guān)系。,下 頁,上 頁,(G1+G2)U1-G1U2 =I,-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0,-G4U2+(G4+G5)U3 =－I,,U1-U3 = US,增補(bǔ)方程,看成電流源,返 回,選擇合適的參考點(diǎn),U1= US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0

36、,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,,下 頁,上 頁,4.受控電源支路的處理,對(duì)含有受控電源支路的電路，先把受控源看作獨(dú)立電源列方程，再將控制量用結(jié)點(diǎn)電壓表示。,返 回,先把受控源當(dāng)作獨(dú)立源列方程；,用結(jié)點(diǎn)電壓表示控制量。,列寫電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程,,例1,下 頁,上 頁,返 回,設(shè)參考點(diǎn),用結(jié)點(diǎn)電壓表示控制量。,列寫電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程,,例2,解,下 頁,上 頁,把受控源當(dāng)作獨(dú)立源列方程；,返 回,例3,列寫電路的結(jié)點(diǎn)

37、電壓方程,與電流源串接的電阻不參與列方程。,增補(bǔ)方程：,U = Un2,下 頁,上 頁,注意,解,返 回,例,求電壓U和電流I,解1,應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法,解得：,下 頁,上 頁,返 回,解2,應(yīng)用回路法,解得：,上 頁,返 回,超節(jié)點(diǎn)：電壓源（獨(dú)立源或受控源）接在兩個(gè)非參考節(jié)點(diǎn)之間，則兩個(gè)非參考節(jié)點(diǎn)構(gòu)成廣義節(jié)點(diǎn)（或超節(jié)點(diǎn)）,Example –circuit with independent voltage source,How to handl

38、e the 2V voltage source?,A super-node is formed by enclosing a (dependent or independent) voltage source connected between two non-reference nodes and any elements connected in parallel with it.*Note: We analyze a circ

39、uit with super-nodes using the same three steps mentioned above except that the super-nodes are treated differently.,Basic steps:Take off all voltage sources in super-nodes and apply KCL to super-nodes.Put voltage sour

40、ces back to the nodes and apply KVL to relative loops.,Super-node => 2-i1-i2-7 = 0,,,Apply KVL => v1+2-v2 = 0,2= (v1-0)/2+ (v2-0)/4+7,Slove: v1=-7.333Vv2 =-5.333V,Example – circuit with two independent voltage s