泛函2-2

1、應用泛函分析,E-mail:yangli@swust.edu.cn,主講：楊莉,2.1 內積空間定義,是實數或復數域,了一個二元數值函數,：,, 滿足下,1° 對第一變元的線性：,2° 共軛對稱性：,設,上線性空間,其中定義,列條件：,3° 正定性：,且,則稱,(對稱性),是X上內積。,時稱為復內積空間，,內積空間，此時2°成為,內積空間，,時稱為實,2°,由1°和2&

2、#176;可推出,定義了內積的線性空間稱為,4° 對第二變元的共軛線性：,當F=R時, 4°表示第二變元也是線性的。,特別有,在有的書刊中,內積也可記作,等。,5°,由1°、2°的推出,例1,中對,定義內積,,則成為實內積空間，這空間稱為n維歐氏空間。,例2 實,中對,, 定義內積,,,易驗證,確實是內積。,2.2 定理(Cauchy-Schwarz不等式),是X上內積,則,,,

3、設,,2.3 定理 如X是內積空間，定義,，,，則有：,,（三角形不等式）,（絕對齊性）,且,（正定性）,2.4 范數 設X是線性空間，定義在X上的實值函數,：,如果滿足2.3中的1°、2°、3°三個條件，,稱為,范數，即表示向量,的長度。,則稱為X上的范數。,因此內積空間中的量,的,即向量,的長,度，表示兩點x與y之間的距離。,定義：內積空間,中點列,稱為收斂于,，或以,為極限（,趨向于,），如

4、果,，當,, 記作,或,2.5 極限與收斂,2.6 Hilbert空間,定義:內積空間,中點列,如果,,,當,時，,稱為Cauchy列，,命題 收斂點列,是Cauchy列。,Cauchy列都收斂，則稱此空間為完備的，完備的,定義: Hilbert空間 如果內積空間中所有的,內積空間稱為Hilbert空間。,例如,與,都是Hilbert空間。,2.7 平行四邊形公式,中，,，有,其幾何意義是平行四邊形對角線的平方和,在內積空間

5、,等于四邊的平方和。,2.8 極化恒等式,如X為實內積空間，則,如果X為復內積空間，則有,2.9 內積空間上映射的連續(xù)性,設X,Y是內積空間，映射,如果對所有的收斂于x的序列,，有,， 則稱 f 在x點連續(xù)，如果在X,上所有的點都連續(xù)，則稱 f 在X上連續(xù)。,，,(1) f 在 點連續(xù),(2) f 在 點連續(xù),(3) f 在 點連續(xù),定理（內積的連續(xù)性）在內積空間 X 中，當,則,，即內積,是,的連續(xù)映射。,2.1

6、0 范數和內積的連續(xù)性,定理（范數的連續(xù)性）在內積空間 X 中，當,：,是連續(xù)的。,，即范數,，則,2.11 加法和數乘的連續(xù)性,，當,。又當,時，有,,設X是內積空間，,設A是內積空間X的子集，,中的點列,，使得,，則稱,接觸點。A的接觸點,可以用A中的點任意逼近，即,，使得,。A中任意點 x,也是A的接觸點，因為可取,，則,。,，如果存在A,是集合A的,2.12 閉包和閉集,A的接觸點的全體構成的集合，稱為A的閉包，,，顯

7、然有,，,點列的極限。,，則稱A是閉集。,中的點可表示成A中,是閉集。,記作,如果集合,A是閉集的充要條件是：如果,，且,，則,閉集的基本性質：,1°全空間X和空集Ø是閉集；,2°,是閉集,是閉集。,3°,是閉集,是閉集。,2.13 稠集和可分性,當內積空間X中有可數集 A為稠集時，即A可,時，X稱為可分空間。,當,，稱A是X中的稠集。,這時X中的任一點可表示成A中點列的極限，,即可用A中點任意