第五章-幾何學(xué)的發(fā)展---河南師范大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺

1、第五章 幾何學(xué)的發(fā)展,形的認識 形是人類對生存空間形式的直接認識 從無規(guī)則圖形逐漸制造出一些規(guī)則的形體，形成抽象意義下的幾何圖形。,圖5.1由魚形演化出的不規(guī)則的幾何圖形,從立體圖形到平面圖形圖騰崇拜和宗教禮儀,5.2 測量與幾何,在幾何發(fā)展最早的古代埃及，幾何一詞具有“土地測量”的含義。在古希臘幾何學(xué)傳入中國之后，漢字用幾何一詞來稱謂這門學(xué)科，而漢語中“幾何”具有“多少”的意思。,5.2.1 經(jīng)驗公式,古埃

2、及人有計算矩形、三角形和梯形面積的方法 三角形面積用一數(shù)乘以另一數(shù)的一半來表示 圓面積的計算公式是A = (8d/9)2，其中d是直徑。這就等于取π為3.1605。 四邊形的面積公式：（a + c）（b + d）/4（其中a、b、c、d依次表示邊長）。 高為h、底邊長為 a和 b的方棱錐的平頭截體的體積公式：V = (1/3) h (a2 + ab +b2),5.2.2 求積方法,勾股術(shù)與圖證

3、“析理以辭，解體 用圖”—— “弦圖” 大方 = 弦方 + 2矩形， （1） 大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形， （2） 比較（1）與（2），得 弦方 = 勾方 + 股方。,圖5.5 伏羲手持規(guī)，女媧手持矩,,阿基米德的雙重方法——用力學(xué)原理發(fā)現(xiàn)公式，再用窮竭法加以證明如圖5.11拋物線有內(nèi)接三角形PQq，其中P與Qp中點V的連線平行于拋

4、物線的軸。阿基米德從物理的方法發(fā)現(xiàn)：拋物線被Qp截得的拋物線弓形的面積，與三角形QPq的面積之比是4：3。阿基米德進而使用窮竭法證明,圖5. 11 阿基米德的雙重方法求面積,5.2.3 多邊形數(shù),,,,最早的演繹幾何學(xué),《幾何原本》（約公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得）建立了第一個數(shù)學(xué)理論體系——幾何學(xué)。標志著人類科學(xué)研究的公理化方法的初步形成， 《幾何原本》共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我

5、們今天熟知的平面幾何和立體幾何的知識，其余各卷則是數(shù)論和（用幾何方法論證的）初等代數(shù)知識。全書證明了465個命題。,5.3.1 《原本》的公理化體系,《原本》的公理化體系：全書先給出若干條定義和公理，再按由簡到繁的順序編排出一系列的定理(465個命題)。使整個幾何知識形成了一個演繹體系,公設(shè)：（1） 從任一點到任一點作直線是可能的。（2） 把有限直線不斷循直線延長是可能的。（注意，這里所謂的直線，相當于今天我們所說的線段。）（3） 以任

6、一點為中心和任一距離為半徑作一圓是可能的。（4） 所有直角彼此相等。（5） 若一直線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側(cè)的一點（現(xiàn)今稱為平行公理）。,公理： （1） 跟一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。 （2） 等量加等量，總量仍相等。 （3） 等量減等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的東西是相等的。 （5） 整體大于部分。從現(xiàn)代公理化方

7、法的角度來分析，《原本》的公理化體系存在著以下一些缺陷。 沒有認識到公理化的體系一定建立在一些原始概念上 《原本》的公理集合是不完備的，這就使得歐幾里得在推導(dǎo)命題過程中，不自覺地使用了物理的直觀概念. 但是建立在圖形直觀上的幾何推理肯定是不可靠的 例如, 每一個三角形都是等腰的“證明” [插入圖5.18],5.3.2 《原本》中的幾何方法,《原本》在證明相關(guān)結(jié)論中使用了多種幾何方法，如,疊合法,歸謬法,代數(shù)式的

8、幾何證法,等等。這些方法是人類早期研究圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，在現(xiàn)代基礎(chǔ)教育中仍發(fā)揮著積極的作用。 舉例如下：畢德哥拉斯定理，《原本》使用幾何的證法如下：如圖5.19，先證明△ABD△FBC，推得矩形BL與正方形GB等積。同理推得矩形CL與正方形AK等積。,5.4 三大作圖問題與《圓錐曲線》,三個作圖問題： 倍立方，即求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍； 三等分角，即分一個給定的任意

9、角為三個相等的部分； 化圓為方，即作一正方形，使其與一給定的圓面積相等。,直到19世紀，才證實了只用圓規(guī)和直尺來求解這三個作圖題的不可能性，然而對這三個問題的深入探索引出大量的發(fā)現(xiàn)。其中包括 圓錐曲線理論 梅內(nèi)克繆斯（約公元前4世紀）最先發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：[插入圖5.24] 阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》將圓錐曲線的性質(zhì)全部囊括 其中圓錐曲線的定義方法如下：[插入圖5.25],5.5 坐標幾何與曲線方程思

10、想,17世紀法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費馬創(chuàng)立的。這兩位數(shù)學(xué)家敏銳地看到歐氏幾何方法的局限性，認識到利用代數(shù)方法來研究幾何問題，是改變傳統(tǒng)方法的有效途徑。 并為此開始了各自的研究工作，把代數(shù)方程和曲線、曲面的研究聯(lián)系在一起,笛卡爾的工作,幾何學(xué)》是笛卡爾哲學(xué)思想方法實踐的重要結(jié)果首先運用代數(shù)方法解決作圖的問題，指出，幾何作圖實質(zhì)是對線段作加減乘除或平方根的運算，所以它們都可以用代數(shù)的術(shù)語表示。假定某幾何問題歸結(jié)為尋求一個未知長度x，經(jīng)過代數(shù)

11、運算知道x滿足x= ， 他畫出x的方法如下：如圖5.27作直角三角形NLM，其中LM=b , NL=a/2, 延長MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是OM 的長度。[插入圖5.27]曲線與方程的思想明確指出：幾何曲線可以用唯一的含x和y有限次代數(shù)方程來表示的曲線,,費馬的工作,費馬關(guān)于曲線與方程的思想，源于對阿波羅尼茲圓錐曲線的研究。 他使用了傾斜坐標系，建立

12、了圓錐曲線的代數(shù)表述式。,5.6 羅巴切夫斯基幾何學(xué),在歐幾里得幾何學(xué)中第五公設(shè)（即平行公理）的研究過程中，人們不自覺地將得到了許多第五公設(shè)的等價命題。發(fā)現(xiàn)了羅巴切夫斯基幾何學(xué),5.6.1 第五公設(shè)及其等價命題,等價命題 普萊菲爾的平行公理：過直線外一點只能作一條直線平行于該直線三角形三個內(nèi)角之和等于兩個直角；每個三角形的內(nèi)角和都相同；通過一角內(nèi)任一點可以作與此角兩邊相交的截線；存在兩個相似而不全等的三角形；畢達哥拉斯

13、定理；過不在一直線上的三點可作一圓；圓內(nèi)接正六邊形的一邊等于此圓的半徑；四邊形的內(nèi)角和等于四個直角；,一。個等價命題的證明：如果任意三角形內(nèi)角和都等于π，那么過線a外一點A只能引進一條直線與a不交。[證明] 過A引a的垂線AB，并過A引AB的垂線b，則a與b必定不交。 假如另有一條直線AC與a不交，記銳角∠BAC為 － ，在直線a上取點B1，使B1、C在AB同側(cè)，且使∠AB1B=α＜ 。

14、按假設(shè)，直角△ABB1內(nèi)角和等于π，所以∠B1AB= －a＞∠CAB= － ，（因為α＜ ）。于是，作得一個△ABB1,而直線AC經(jīng)過其內(nèi)部，所以AC必與底邊BB1相交。這與AC與a不相交的假設(shè)矛盾,,,,,,,5.6.2 非歐幾何學(xué)的先兆,從反面證明第五公設(shè)，意大利耶穌會教士、數(shù)學(xué)家薩凱里（1667~1733）于1733年第一次發(fā)表了其極具特色的成果。離開了求證第五公設(shè)的目標，朝向創(chuàng)造非歐幾何的目標靠攏但

15、是，他們沒有認識到歐幾里得幾何并不是在經(jīng)驗可證實的范圍內(nèi)描述物質(zhì)空間性質(zhì)的唯一幾何,5.6.3 奇異的羅巴切夫斯基幾何學(xué),羅巴切夫斯基非歐幾何的平行公理：設(shè)a是任一直線，A是a外任一定點。在a與A所決定的平面上，過點A而與a不相交的直線，至少有兩條羅巴切夫斯基非歐幾何命題 三角形內(nèi)角和都是小于π的，而且其和量因三角形而異，并非一個常量。 同一直線的垂線及斜線，并不總是相交的。 不存在相似而不全等的兩個三角形。 如果

16、兩個三角形的各內(nèi)角對應(yīng)相等，則它們必定是全等的。 存在著沒有外接圓的三角形。 三角形三邊的中垂線并非必定交于一點。 在平面上一條已知直線a的同一側(cè)，與已知線a有給定距離的點的 軌跡是一曲線，它上面的任意三點都不在一條直線上。 在任一角內(nèi)，至少存在這樣一點，通過它不能做出一條同時與兩邊相交的直線。 圓內(nèi)接正六邊形的邊大于此圓半徑,5.7 幾何學(xué)的統(tǒng)一性與現(xiàn)實性,5.7.1黎曼幾何 德國數(shù)學(xué)家年提出另一種非歐

17、幾何學(xué)——黎曼幾何（黎曼。1854年）直接起源于微分幾何的研究黎曼幾何的平行公理，是假設(shè)過直線外一點不存在與已知直線平行的直線。在黎曼幾何中，三角形的內(nèi)角和大于兩直角，圓周率小于π,5.7.2非歐幾何學(xué)的“現(xiàn)實性”,直到19世紀初，所有的數(shù)學(xué)家都認為歐氏幾何是物質(zhì)空間和此空間內(nèi)圖形性質(zhì)的正確描述。并且“空間”也專指當時人們所唯一了解的歐幾里得空間羅巴切夫幾何自誕生之日起，其命題的合理性就不斷引起人們的懷疑。非歐幾何早期的發(fā)現(xiàn)者們?yōu)榱?/p>

18、驗證它的合理性，曾作過一些實際的測定。歷史的事實卻殘酷的告訴我們，羅氏幾何遲至今日也沒能在物理空間找到應(yīng)用，只有在邏輯的范疇內(nèi)，利用公理化的思想與方法找到它存在的“合理性”黎曼幾何在相對論中的現(xiàn)實應(yīng)用。愛因斯坦說：“我特別強調(diào)剛才所講的這種幾何學(xué)的觀點，因為要是沒有它，我就不能建立相對論。”,5.7.3 愛爾蘭根綱領(lǐng),19世紀初，運用歐幾里得綜合方法，創(chuàng)造出與解析幾何相媲美的射影幾何學(xué)愛爾蘭根綱領(lǐng)（克萊因，1872年）：所謂幾何學(xué)，

19、就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問，或者說任何一種幾何只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量。克萊因以射影幾何為基礎(chǔ)、對幾何學(xué)做了如下的分類：,利用不變性研究圖形的性質(zhì)，為初等幾何的研究提供了新的方法。,例如，由于在仿射交換下橢圓可以變成圓，相應(yīng)地橢圓中心變?yōu)閳A心，橢圓的切線變?yōu)閳A的切線。我們不妨將原命題應(yīng)用仿射變換轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圓的命題：設(shè)△ABC為圓內(nèi)接三角形，以其頂點作切線構(gòu)成了切線三角形A1B1C1。如果A1B1∥A

20、B. B1C1∥BC。那么A1C1∥AC。一旦我們證明了這個有關(guān)圓的命題，再利用仿射變換下“平行”為不變性，便可知原命題成立。,5.8 幾何基礎(chǔ)與公理化方法,5.8.1 公理化方法非歐幾何、非交換代數(shù)（如四元數(shù)）的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)家注意到古希臘把公理當作自明的真理的局限性。分析的算術(shù)化研究不斷深入，逐漸形成了科學(xué)的公理化方法。公理集合的性質(zhì) 相容性，即由公理導(dǎo)出的定理，沒有哪兩個是相互矛盾的； 完備性，即理論系統(tǒng)中的定理

21、都可以從公理導(dǎo)出 獨立性，即由公理導(dǎo)出的定理中中沒有一個是另一個的邏輯 結(jié)果。在任何一個公理系中，不加定義的概念例如幾何學(xué)中的“點”和“線”，它們在物理領(lǐng)域中的“意義”或關(guān)系，在數(shù)學(xué)上是非本質(zhì)的。它們被當作純粹抽象的東西，它們在演繹系統(tǒng)中的性質(zhì)，完全用公理的形式加以界定,5.8.2 歐氏幾何公理體系的嚴密化,希爾伯特幾何公理體系被劃分為五組，用五組公理聯(lián)結(jié)三種對象及其間的三種關(guān)系（六個原始概念）。如果在這個公理體系中

22、去掉第三種幾何基本對象（“平面”）以及與它有關(guān)的各條公理，余下來的公理和五個原始概念就可以構(gòu)成一個“平面幾何的公理系統(tǒng)”。希爾伯特公理集可以排除歐氏幾何證明中的直觀成分。,例如，用公理IV給出下述命題的證明：命題：聯(lián)接圓內(nèi)的一點A與圓外一點B的直線段與該圓周有一個公共點。 圖5.33 圓內(nèi)外兩點連線必與圓相交的證明事實上，令O為給定圓的圓心，r為半徑，C為從O到AB線段的垂線。線段AB上的點可被分為兩類：對于一些點P，OP＜

23、r，和對于一些點Q，OQ≥r。可證明：對每一種情況，CP＜CQ。根據(jù)戴德金的公設(shè)，在AB上存在一個點R，使得：所有位于它之前的點屬于第一類，并且所有位于它之后的點屬于第二類。于是OR不小于r，否則我們能在R和B之間選AB上的點S，使得RS＜r－OR，但是，因為OS＜OR+RS，這意味著謬論：OS＜r。類似地，能證明：OR不大于r。因此，我們必定有OR = r，于是定理得證。,5.8.3 公理集合的相容性,形式公理體系的相容性證

24、明的模型方法 例如，平面幾何公理系統(tǒng)的解析模型羅巴切夫斯基幾何學(xué)的模型相對相容性的解決方法選用一個，大家都相信它具有邏輯相容性的領(lǐng)域（比如上面這個代數(shù)領(lǐng)域），用這里的材料來保證陌生公理體系的相容性。 厐加萊不無挪揄的指出：為了防止狼，牧羊人修起了柵欄，但卻不知道羊圈里是否還有狼,5.9 學(xué)校中歐氏幾何的教育,中學(xué)歐氏幾何的教學(xué)的目的，主要有兩種類型： 發(fā)展學(xué)生的演繹推理的能力， 培養(yǎng)空間想象和空間推理能力,

25、5.9.1 幾何邏輯思維發(fā)展的培養(yǎng)模式,平面幾何的課程體系就成為邏輯思維發(fā)展的主要思維材料課程體系要適應(yīng)幾何思維發(fā)展的需要在整合狀態(tài)下實現(xiàn)概念、定理的認知發(fā)展注意數(shù)學(xué)方法的中介作用組織問題解決的思維訓(xùn)練,5.9.2 空間觀念的培養(yǎng)策略,空間能力主要包括空間定向和空間想象能力 前者是理解空間中對象的相互位置關(guān)系，并能對其進行操作，例如能夠在大樓里或街道之間順利地行進。空間想象是指能夠在二、三維空間的條件下對想象的物體運