函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性

1、,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性,*第六節(jié),一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性,及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,第十一章,一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性,冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)類似于多項(xiàng)式,,但一般函數(shù),項(xiàng)級(jí)數(shù)則不一定有這么好的特點(diǎn).,例如, 級(jí)數(shù),每項(xiàng)在 [0,1] 上都連續(xù),,其前 n 項(xiàng)之和為,和函數(shù),,該和函數(shù)在 x＝1 間斷.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

2、返回 結(jié)束,因?yàn)閷?duì)任意 x 都有:,所以它的收斂域?yàn)?(－∞, +∞) ,,但逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù),其一般項(xiàng)不趨于0,,所以對(duì)任意 x 都發(fā)散 .,又如, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),問題: 對(duì)什么樣的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)才有:,逐項(xiàng)連續(xù),,和函數(shù)連續(xù);,逐項(xiàng)求導(dǎo) = 和函數(shù)求導(dǎo);,逐項(xiàng)積分 = 和函數(shù)積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義.,設(shè) S(x) 為,若對(duì),都有一個(gè)只依賴于? 的自然數(shù) N ,,使,當(dāng)n > N 時(shí),

3、對(duì)區(qū)間 I 上的一切 x 都有,則稱該級(jí)數(shù)在區(qū)間 I 上一致收斂于和函數(shù)S(x) .,在區(qū)間 I 上的和函數(shù),,任意給定的 ? > 0,,顯然, 在區(qū)間 I 上,一致收斂于和函數(shù)S(x),,,部分和序列,一致收斂于S(x),,,余項(xiàng),一致收斂于 0,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,幾何解釋 : (如圖),,,當(dāng)n > N 時(shí),,曲線,總位于曲線,,之間.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

4、 結(jié)束,例1.,研究級(jí)數(shù),在區(qū)間 [0, +∞) 上的收斂性.,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,余項(xiàng)的絕對(duì)值:,因此, 任給 ? > 0,,取自然數(shù),則當(dāng)n > N 時(shí)有,這說明級(jí)數(shù)在 [0, +∞) 上一致收斂于,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.,證明級(jí)數(shù),在 [0,1] 上不一致收斂 .,證:,,,取正數(shù),對(duì)無論多么大的正數(shù) N ,,因此級(jí)數(shù)在 [0, 1]

5、 上不,一致收斂 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,,,,,對(duì)任意正數(shù) r < 1,,級(jí)數(shù)在 [ 0, r ] 上一致收斂 .,事實(shí)上, 因?yàn)樵?[ 0, r ] 上,任給 ? > 0,,欲使,只要,因此取,只要,即級(jí)數(shù)在 [ 0, r ] 上一致收斂 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,維爾斯特拉斯(Weierstrass) 判別法,用一致收斂定義判別級(jí)數(shù)的一致收

6、斂性時(shí), 需求出,這往往比較困難.,下面介紹一個(gè)較方便的,判別法.,若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在區(qū)間 I 上滿足:,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在區(qū)間 I 上一致收斂 .,簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:,由條件2), 根據(jù)柯西審斂原理,,當(dāng),n > N 時(shí),,對(duì)任意正整數(shù) p , 都有,由條件1), 對(duì) x ∈I , 有,故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在區(qū)間 I 上一致收斂 .,證畢,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,推

7、論.,若冪級(jí)數(shù),的收斂半徑 R > 0 ,,則此級(jí),數(shù)在 (－R, R ) 內(nèi)任一閉區(qū)間 [ a , b ] 上一致收斂 .,證:,則對(duì)[ a , b ] 上的一切 x , 都有,由阿貝爾定理(第三節(jié)定理1) 級(jí)數(shù),絕對(duì)收斂 ,,由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立.,說明: 若冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂,,則一致收斂,區(qū)間可包含此端點(diǎn).,證畢,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,證明級(jí)數(shù),在(－∞, +∞

8、) 上 一致收斂 .,證:,而級(jí)數(shù),收斂,,由維爾斯特拉斯判別法知所給級(jí)數(shù),在 (－∞, +∞) 上 一致收斂 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級(jí)數(shù)的一致收,斂性,,而且能判別其絕對(duì)收斂性.,當(dāng)不易觀察到不等式,可利用導(dǎo)數(shù)求,例如, 級(jí)數(shù),用求導(dǎo)法可得,已知,收斂,,因此原級(jí)數(shù)在[0, +∞) 上一致收斂 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、一致

9、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),定理1.,若級(jí)數(shù),證:,只需證明,由于,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因?yàn)榧?jí)數(shù),一致收斂于S (x) ,,使當(dāng) n > N 時(shí), 有,對(duì)這樣選定的 n ,,從而必存在 ? > 0 ,,從而得,證畢,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,(1) 定理1 表明, 對(duì)一致收斂的級(jí)數(shù),,極限運(yùn)算與無限,求和運(yùn)算可交換,,即有,(2) 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí),

10、定理結(jié)論不一定成立.,例如, 級(jí)數(shù),在區(qū)間 [ 0 , 1 ] 上處處收斂,,而其和函數(shù),,在 x = 1 處不連續(xù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2.,若級(jí)數(shù),則該級(jí)數(shù)在 [a, b] 上可逐項(xiàng)積分,,且上式右端級(jí)數(shù)在 [a, b] 上也一致收斂 .,證: 因?yàn)?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,所以只需證明對(duì)任意,一致有,根據(jù)級(jí)數(shù)的一致收斂性,,使當(dāng),n > N 時(shí),

11、有,于是, 當(dāng) n > N 時(shí), 對(duì)一切,有,因此定理結(jié)論正確.,證畢,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,若級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí), 定理結(jié)論不一定成立.,例如, 級(jí)數(shù),它的部分和,因此級(jí)數(shù)在 [ 0 , 1 ] 上,收斂于 S (x) = 0 ,,所以,但是,①,為什么對(duì)級(jí)數(shù)①定理結(jié)論不成立?,分析它是否滿足,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2 條件.,級(jí)數(shù)的余項(xiàng),可見級(jí)數(shù)①在

12、 [ 0, 1 ] 上不一致收斂 ,,此即定理2 結(jié)論,對(duì)級(jí)數(shù)①不成立的原因.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理3.,若級(jí)數(shù),且可逐項(xiàng)求導(dǎo), 即,證:,先證可逐項(xiàng)求導(dǎo).,根據(jù)定理2,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,上式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,再證,根據(jù)定理 2 ,,而,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,所以,級(jí)數(shù)一致收斂并不保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo).,例如, 例3中的級(jí)

13、數(shù),說明:,在任意區(qū)間上都一致收斂,,但求導(dǎo)后的級(jí)數(shù),其一般項(xiàng)不趨于 0,,所以對(duì)任意 x 都發(fā)散 .,證畢,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4.,證明函數(shù),對(duì)任意 x 有連續(xù)導(dǎo)數(shù).,解:,顯然所給級(jí)數(shù)對(duì)任意 x 都收斂 ,,且每項(xiàng)都有連續(xù),導(dǎo)數(shù),,而逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù),故級(jí)數(shù)②在 (－∞,+∞),上一致收斂,,故由定理3可知,②,再由定理1可知,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理4 .

14、 若冪級(jí)數(shù),的收斂半徑,則其和函,在收斂域上連續(xù),,且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與,逐項(xiàng)求積分,,運(yùn)算前后收斂半徑相同,即,證: 關(guān)于和函數(shù)的連續(xù)性及逐項(xiàng)可積的結(jié)論由維爾斯,特拉斯判別法的推論及定理 1, 2 立即可得 .,下面證明逐項(xiàng)可導(dǎo)的結(jié)論:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:,則,由比值審斂法知級(jí)數(shù),故,故存在 M > 0 , 使得,由比較審斂法可知,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

15、結(jié)束,上一致收斂,,故原級(jí)數(shù),內(nèi)任一閉區(qū)間,上滿足定理3條件,,從而可逐項(xiàng)求導(dǎo),,即知,再證級(jí)數(shù),的收斂半徑,由前面的證明可知,若將冪級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,級(jí)數(shù)的收斂半徑不會(huì)縮小,,因逐項(xiàng)積分所得,冪級(jí)數(shù),(－R, R ) 內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),,且有,其收斂半徑都為 R .,推論.,的和函數(shù) S (x) 在收斂區(qū)間,證畢,作業(yè)P237 1; 3(2); 4(2), (4), (5),第七節(jié)