DG方法求解對(duì)流擴(kuò)散方程的超收斂和一致收斂性.pdf

1、1973年Reed和Hill[72]在求解中子輸運(yùn)方程（一階雙曲型方程）時(shí)提出了間斷有限元方法（the discontinuous Galerkin finite element method，簡記為DG）．自此之后，用間斷有限元求解雙曲問題和橢圓問題的研究幾乎同時(shí)得到了快速的發(fā)展．1997年，Bassi和Rebay[11]設(shè)計(jì)了一種間斷有限元方法求解Navier—Stokes方程，并且獲得了穩(wěn)定的高階收斂格式．受Bassi和Rebay

2、數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果的啟發(fā)，Cockburn和Shu[36]提出了局部間斷有限元法（簡記為LDG），同時(shí)Baumann和Oden[8]也發(fā)展了一種新的DG方法．現(xiàn)在DG方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于求解雙曲守恒律組、橢圓方程、對(duì)流擴(kuò)散方程、Hamilton—Jacobia方程，以及KdV方程等．關(guān)于DG方法的全面綜述及其應(yīng)用參看[31]． 用間斷有限元方法求解對(duì)流擴(kuò)散問題是近年來的熱門研究課題。受DG方法求解雙曲型方程巨大成功的啟發(fā)，本文用DG方

3、法求解對(duì)流擴(kuò)散方程．證明了一大類間斷有限元方法求解定常對(duì)流擴(kuò)散問題的存在唯一性，并且得到u和q=u'的離散誤差的一個(gè)漸進(jìn)展開表達(dá)式．對(duì)md—LDG方法，間斷有限元解U和其導(dǎo)數(shù)Q的離散誤差的主項(xiàng)分別與每個(gè)單元的p+1階右Radau和左Radau多項(xiàng)式成比例．事實(shí)上，單元內(nèi)部的p+1階右Radau點(diǎn)和左Radau點(diǎn)分別是U和Q的p+2階超收斂點(diǎn)．對(duì)其它滿足相容性和守恒性的DG方法，在一定的假設(shè)條件下，其間斷有限元解U和其導(dǎo)數(shù)Q的離散誤差的主

4、項(xiàng)都與p階Legendre多項(xiàng)式成比例．因此間斷有限元解的導(dǎo)數(shù)Q在Gauss點(diǎn)有p+1階超收斂．基于這些超收斂性質(zhì)，我們得到了一個(gè)后驗(yàn)誤差估計(jì)。數(shù)值例子證實(shí)了理論證明的可靠性． 當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)ε趨向于零時(shí)，一般的數(shù)值方法在均勻網(wǎng)格下求解奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散問題，不能得到一致收斂的格式．本文在兩種局部加密網(wǎng)格（即Shishkin網(wǎng)格和改進(jìn)的等級(jí)網(wǎng)格）下，用LDG方法求解一維和二維奇異攝動(dòng)對(duì)流擴(kuò)散問題．?dāng)?shù)值結(jié)果表明，對(duì)任意小的ε，即使在均勻

5、網(wǎng)格下，對(duì)一維和二維情形，LDG方法都不會(huì)產(chǎn)生任何非物理震蕩。在Shishkin網(wǎng)格和改進(jìn)的等級(jí)網(wǎng)格下，數(shù)值通量有2p+1階一致超收斂。改進(jìn)的等級(jí)網(wǎng)格不但保持了Shishkin網(wǎng)格原有的優(yōu)點(diǎn)，而且更有效更穩(wěn)定。值得指出的是，一致收斂性的理論證明非常困難，有待進(jìn)一步研究。 最后本文設(shè)計(jì)了一種新的DG方法求解對(duì)流擴(kuò)散方程，隨后對(duì)解的存在唯一性給出了證明。在節(jié)點(diǎn)處數(shù)值流通量有2p+1階超收斂，在改進(jìn)的等級(jí)網(wǎng)格下，DG解還具有一致的收斂