微分方程迭代求解中參數(shù)對收斂性的影響.pdf

1、微分方程初值問題的求解是一個復(fù)雜問題。對算子T限制后，可以用迭代法得到該方程的近似解。所用迭代法有Mann迭代法和Ishikawa迭代法。常見的算子有(強)增生算子，(嚴格)壓縮算子。許多學(xué)者已作了許多研究[1-11，14-24]。 Browder[1]和Martin[2]已經(jīng)證明當T是(Lipschitz)連續(xù)增生算子時，方程x+Tx=f有解。后來Moralez[15]證明T是連續(xù)強增生算子時，方程Tx=f有解。Chidume

2、[24]證明得到當K是Lp空間(P≥2)的有界閉凸子集，T是Lipschitz嚴格偽壓縮映象時，Mann迭代序列強收斂。后來Deng與Ding[18]把Chidume[24]的結(jié)果推廣到P一致光滑Banach(P＞1)空間。另外，TanandXu,[4]研究了兩種迭代法，并證明在P一致光滑Banach空間(1＜p≤2)中，兩個迭代法都強收斂。進一步地，zeng[14]把前面的結(jié)果推廣到P一致光滑Banach空間(1＜p≤2)中Lipsc

3、hitz局部嚴格壓縮映象的情形。 從已有文獻中可見，當算子T給定后，迭代序列{xn}是否強收斂于方程的唯一解x*有根本性的意義。從研究成果可見，兩個重要參數(shù)的性質(zhì)對研究過程有重要作用。 例如Liu[3]文中：實Banach空間中，T是Lipschitz連續(xù)增生算子，滿足3個條件，序列{xn}強收斂，收斂速度為o(1/m)。Zeng[5,6]修改Liu[3]條件(1)、(2)，得到強收斂定理與一般收斂速度估計。Sastry

4、與Babu[9]文中，T為嚴格偽壓縮算子，定義域為P一致光滑Banach空間的子集，參數(shù)滿足2個條件，結(jié)果{xn}收斂且提供收斂速度估計。Zeng在文[10]中修改Sastry與Babu[9]的條件(1)，(2)，提供了不同的收斂速度估計。 一系列作者主要研究如何給出映象T和參數(shù)，證明迭代序列強收斂，只有部分作者提供一般收斂速度，如[3，5，6，9，10]。 本文討論迭代法，構(gòu)造幾類均勻變化的實參數(shù)序列，在T分別是增生算

5、子、m一增生算子、散逸算子、嚴格偽壓縮算子條件下，證明迭代序列{xn}收斂，并且提供較精確的收斂速度，而且歸納每類參數(shù)的收斂速度，分析參數(shù)引起迭代序列收斂速度變化的規(guī)律。 第二節(jié)中，討論實Banach空間中，T是連續(xù)增生算子，修改liu[3]條件，證明迭代序列收斂定理，若參數(shù)取兩類特殊實序列，提供兩種類型的精確逼近階。另外，分析了參數(shù)的收斂速度對迭代序列{xn}收斂速度的互相影響關(guān)系。第三節(jié)，根據(jù)Browder[1]、Marti

6、n[2]和本文第二節(jié)的研究結(jié)果，給出m一增生算子，散逸算子的收斂定理和收斂速度估計。 第四節(jié)，我們研究P一致光滑Banach空間中，當T為嚴格偽壓縮算子，減弱zeng[14]的條件，參數(shù)取幾類均勻變化的數(shù)列時，證明{xn}收斂性仍成立，同時也提供較精確的收斂速度估計。另外，分析了參數(shù)在[0，1]上分布的稠密程度對迭代逼近的影響。另外一部分內(nèi)容討論Mann迭代法，弱化SastryandBabu[9]文中條件，證明迭代序列{xn}收