幾類延遲微分方程數(shù)值方法的收斂性與穩(wěn)定性.pdf

1、微分方程是描述與刻畫(huà)物理過(guò)程、系統(tǒng)狀態(tài)、社會(huì)與生物現(xiàn)象的有力工具。我們通常所研究和應(yīng)用的微分方程多是常微分方程(ODEs)。而在許多現(xiàn)實(shí)模型中,我們需要知道系統(tǒng)過(guò)去時(shí)刻的狀態(tài),這就形成了延遲微分方程(DDEs)。延遲微分方程在自然界中是普遍存在的,它是泛函微分方程的一個(gè)重要分支,它在種群的繁殖、人口的增長(zhǎng)、電力網(wǎng)絡(luò)中的能量損耗、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域中常常被使用到。作為重要的數(shù)學(xué)模型,延遲微分方程在物理學(xué)、生物學(xué)、控制科學(xué)等很多領(lǐng)域中也有著廣泛

2、的應(yīng)用,對(duì)實(shí)際問(wèn)題的描述更精細(xì)。但是只有非常少的延遲微分方程可以獲得解析解的表達(dá)式,絕大部分延遲微分方程真解的顯式表達(dá)難以獲得,所以數(shù)值求解延遲微分方程并研究數(shù)值方法的收斂性與穩(wěn)定性既有理論意義又有實(shí)際價(jià)值。
　　文中系統(tǒng)地研究了幾類線性與非線性延遲微分方程及數(shù)值方法,給出收斂性和穩(wěn)定性結(jié)論。首先研究了線性延遲微分方程隱–顯式線性多步法的穩(wěn)定性,分別討論了隱–顯式 Euler方法和隱–顯式 BDF方法的P-穩(wěn)定性。給出數(shù)值方法穩(wěn)定

3、區(qū)域的一種新的刻畫(huà)方法,并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了這種刻畫(huà)方法的可行性。構(gòu)造了使得線性中立型多延遲積分微分代數(shù)方程(NMDIDAEs)解析解漸近穩(wěn)定的充分條件并給出證明,刻畫(huà)了二步 Runge-Kutta方法(TSRK)的穩(wěn)定區(qū)域,最后構(gòu)造了中立型多延遲積分微分代數(shù)方程二步 Runge-Kutta方法漸近穩(wěn)定的充分條件。
　　對(duì)于非線性延遲微分方程,給出疊加 Runge-Kutta方法(ARK) GDN-穩(wěn)定、強(qiáng)代數(shù)穩(wěn)定的定義,研究多延

4、遲微分方程(MDDEs)疊加 Runge-Kutta方法的收斂性與穩(wěn)定性,證明了若多延遲微分方程疊加 Runge-Kutta方法是強(qiáng)代數(shù)穩(wěn)定的,則相應(yīng)的插值型疊加 Runge-Kutta方法(ARKLM)是GDN-穩(wěn)定的,并指出若插值型疊加 Runge-Kutta方法的級(jí)階為p,且是DA-, DAS-及ASI-穩(wěn)定的,那么該數(shù)值方法是D-收斂的,且收斂階為min{+qp.進(jìn)一步的,,}1研究了多延遲積分微分方程(MDIDEs)疊加 Ru

5、nge-Kutta方法的非線性穩(wěn)定性和D-收斂性,得出類似結(jié)論。對(duì)于非線性中立型延遲微分方程(NNDDEs)、非線性 Volterra延遲積分微分方程(NVDIDEs)和非線性中立型 Volterra延遲積分微分方程(NNVDIDEs),本文研究了一般線性方法的D-收斂性。給出數(shù)值方法D-收斂、代數(shù)穩(wěn)定、對(duì)角穩(wěn)定的定義,指出若一般線性方法是代數(shù)穩(wěn)定的和對(duì)角穩(wěn)定的,其一般級(jí)階為p,則在插值過(guò)程下,一般線性方法數(shù)值求解非線性中立型延遲微分方