幾類隨機(jī)數(shù)值方法的穩(wěn)定性與收斂性.pdf

1、隨機(jī)微分方程(SDES)廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、生物、物理、自動(dòng)化等領(lǐng)域.很長時(shí)間以來,由于缺乏有效的求解SDES的數(shù)值方法以及充足的計(jì)算機(jī)資源,使得在建立描述物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型時(shí)都忽略了隨機(jī)的因素.近年來,在SDES數(shù)值解方面已取得一定的成果,這意味著某些隨機(jī)模型可以借助于計(jì)算機(jī)進(jìn)行研究.本文首先介紹了隨機(jī)微分方程的背景知識及其理論解的重要性質(zhì),其中給出了解的存在唯一性定理及其矩性質(zhì),對于線性隨機(jī)微分方程,給出了解的解析表達(dá)式.由于隨機(jī)系統(tǒng)的

2、復(fù)雜性,一般情況很難得到方程理論解的解析表達(dá)式.這樣一來,數(shù)值方法的構(gòu)造顯得尤為重要.與常微分方程(ODES)領(lǐng)域相比較,對SDES數(shù)值解的研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.由于隨機(jī)系統(tǒng)自身的特殊性質(zhì),使得不可能將ODES中的數(shù)值方法簡單地平移到SDES中.相反地,為了構(gòu)造有效的數(shù)值方法,要詳實(shí)地分析其收斂性、穩(wěn)定性、誤差傳遞等性質(zhì).Euler方法是求解SDES的數(shù)值方法中最簡單的一種方法.對于兩種特殊情形,即乘性(multiplicative)噪聲和加

3、性(additive)噪聲,本文證明了當(dāng)方程的偏移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)均滿足線性增長條件和Lipschitz條件時(shí),方法的收斂階分別為0.5和1.0.隨機(jī)情形的泰勒展式可以通過結(jié)合ODES中的泰勒展式和Ito法則來獲得,并可將其用于構(gòu)造求解SDES的數(shù)值方法.例如,本文中的三種Milstein方法就是截取泰勒展式的前四項(xiàng).給出乘性噪聲和加性噪聲兩種情形的試驗(yàn)方程后,本文討論了Milstein方法的A-穩(wěn)定性、均方穩(wěn)定性、T-穩(wěn)定性.當(dāng)試驗(yàn)方程