高分子流變學-習題課1

1、第三章 線性粘性流動,如圖所示，流體沿x軸方向作層狀流動，在y軸方向有速度梯度。在t=0時，任取高度為dy的矩形微元面底邊坐標為y，對應的流體速度為u(y);經(jīng)過dt時間段后，矩形微元面變成如圖所示的平行四邊形，原來的α角變?yōu)棣?dα，其剪切變形速率定義為dα/dt(單位時間內(nèi)因剪切變形產(chǎn)生的角度變化)。試推導證明：流體的剪切變形速率等于流體的速度梯度，即,題1,證明：,題2,如圖所示，采用平板拖曳流動（簡單剪切流動）進行牛

2、頓流體粘度測試，已知板間距為2mm，上板的寬為5cm，長為10cm，以每秒0.1m/s的速度向前拖動，測得上板拖動的力為10牛頓。(1)求流體剪切流動時剪切速率的大小。(2)計算流體的粘度。(3)寫出流體在該剪切速率下的偏應力張量、速度梯度張量、應變速率張量的大小。,解：（1）,(2),,無Z方向的剪切應力,代入應力值,,偏應力張量,(3),應力張量,,無Z方向的剪切應力,其中由于流體無壓縮膨脹變形，故,速度梯度張量,,流體

3、無壓縮（膨脹）,,無z方向速度,y方向無速度,應變速率張量,P 20,題3,如圖所示，已知圓形管道中牛頓流體層流流動時的速度分布為其中 為管內(nèi)流體的平均速度。（1）設流體粘度為μ，求管中流體的剪應力τ的分布公式；（2）如長度為L的水平管道兩端的壓力降為Δp的表達式；（3）求整個圓截面的體積流量。,（1）,解,（2）壁面處流體受力平衡,（3）,題4,已知一牛頓流體在狹縫中流動，狹縫高為15mm，寬為320mm，長為200

4、mm，測得入口處的壓力為500Pa,在30秒測得流出體積為2.4L.(1)求出該流體的粘度。(2)計算壁面處的剪切速率。(3)計算壁面處的剪切應力。(4)計算流動過程中最大速度。,解,（1）,代入已知條件，解得,（2）,根據(jù),當y=h/2,壁面處的剪切速率為,（3）,當y=h/2,壁面處的剪切應力為,（4）,當y=0, 中央平面處的流動速度最大,如圖所示為旋轉黏度測定儀，該測定儀由內(nèi)外兩圓筒組成，外筒以角速度Ω旋轉，通過內(nèi)外

5、筒之間的油液，將力矩傳遞內(nèi)筒；內(nèi)筒上下兩端用平板封閉，上端固定懸掛于一金屬絲下，通過測量金屬絲扭轉角度確定內(nèi)筒所受的力矩為M,若內(nèi)外筒之間的間隙為δ1，底面間隙為δ2，筒高為L，為了修正底面邊界效應的影響，通常更換不同高度的外筒進行同一轉速的力矩的測定。計算油液粘度。,題5,已知理想條件下流體粘度計算公式：,理想條件外筒所需的旋轉扭矩為,解,作業(yè)：,分析牛頓流體在兩平板狹縫間作簡單剪切流動過程中的應力張量、速度梯度張量（剪切速

6、率）以及應變速率張量。,3.1.2.4同軸環(huán)隙中的旋轉流動,采用柱面坐標系（r，θ，z），只是繞軸的圓周運動，τrz= τθz=0只有τ rθ= τθr,同軸環(huán)隙中的旋轉流動也叫做庫埃特流動，是指在外圓筒和內(nèi)圓筒之間環(huán)形部分內(nèi)的流體中的任一質(zhì)點僅圍繞著內(nèi)外管的軸以角速度ω（rad/s）做圓周運動，沒有沿軸向和徑向的流動。,設外圓筒與內(nèi)圓筒之間間隙充滿牛頓流體，內(nèi)圓筒以角速度Ω旋轉，外圓筒固定。環(huán)隙外徑為Ro，內(nèi)徑為Ri,

7、周向剪切速率：,對于離軸線r的周向流體層的作用扭矩M（r）為：,徑向為r的圓周面剪切速率為（根據(jù)牛頓流體方程）,積分并由邊界條件r=Ro，ω=Ω得,對不同位置M(r)=M0，上式變形為,積分,,由邊界條件r=Ro時，ω（r）=0,代入,于是得到角速度函數(shù),于是流體的徑向周向速度,剪切應力,于是,剪切速率,在固定內(nèi)壁面 r=Ri：,在固定外壁面 r=Ro：,例題要設計一臺同軸圓筒式粘度計，其中內(nèi)筒固定，外筒旋轉，使在環(huán)隙內(nèi)的液體周向拖曳

8、流動時，內(nèi)外的剪切速率的差在10%之內(nèi)。外圓筒半徑10cm，高10cm。1）內(nèi)圓筒最小直徑為多少？內(nèi)外圓筒之間的環(huán)隙多大？2）如果此粘度計內(nèi)流體 <100s-1,圓筒的最大轉速（r/min）多少？3）如果粘度計內(nèi)充滿20。C的甘油，其μ=1.496Pa.s。外圓筒以最大轉速旋轉，需多大的消耗功率？,解:(1)內(nèi)圓筒剪切速率為,外圓筒剪切速率為,根據(jù)題意,解得,(2),內(nèi)圓筒剪切速率最大,解得,(3),根據(jù)粘度計算公式,解

9、得,1 繪出簡圖并推導牛頓流體在穩(wěn)定的同軸環(huán)隙中的旋轉拖曳流動的角速度、周向速度、剪切速率分布方程。2 要設計一臺同軸圓筒式粘度計，其中內(nèi)筒旋轉，外筒固定，使在環(huán)隙內(nèi)的液體周向拖曳流動時，內(nèi)外的剪切速率的差在10%之內(nèi)。外圓筒半徑10cm，高10cm。1）內(nèi)圓筒最小直徑為多少？內(nèi)外圓筒之間的環(huán)隙多大？2）如果此粘度計內(nèi)流體 <100s-1,圓筒的最大轉速（r/min）多少？3）如果粘度計內(nèi)充滿20。C的甘油，其μ=1.4

10、96Pa.s。內(nèi)圓筒以最大轉速旋轉，需多大的消耗功率？,作業(yè),解:(1)內(nèi)圓筒剪切速率為,外圓筒剪切速率為,根據(jù)題意,解得,(2),內(nèi)圓筒剪切速率最大,解得,(3),根據(jù)粘度計算公式,解得,作業(yè)：,繪出簡圖并推導牛頓流體在圓管道內(nèi)壓力流動的速度和流量方程。,解：采用柱面坐標系（r，θ，z），假設流體的粘度為μ，壁面處流體速度為零，流體沿周向和徑向速度為零，只有軸向速度，即,取任意半徑為r的圓柱單元體，根據(jù)受力平衡,解得,根據(jù)剪切

11、速率的定義、牛頓流體方程,（1）,r到r+dr的圓柱體的體積流量,整個圓截面的流量，積分得：,2.繪出簡圖并推導牛頓流體在狹縫內(nèi)壓力流動的速度和流量方程。,解：采用直角坐標系，假設流體的粘度為μ，壁面處流體速度為零，流體沿x方向流動。,沿狹縫中央平面任取狹縫中的一薄片單元，受到的驅動力為Δpw2y，上下面的流動阻力為τyx2lw。,根據(jù)受力平衡：,速度分布方程,根據(jù)剪切速率的定義、牛頓流體方程,（1）,單元體體積流量為，得體積流量方

12、程,狹縫截面體積流量,積分得,請分析毛細管內(nèi)非牛頓流體的表觀粘度與真實粘度，表觀剪切速率 與真實剪切速率 的關系。,毛細管流變儀壁面剪切應力,定義表觀粘度,真實粘度,,,解：（1）,（2）,2. 試推導非牛頓流體稠度 與表觀稠度 之間關系。,解：,解 1）求出不同剪切速率下的入口效應壓力值,*在近似相同的剪切速率下，不同口模長徑比的入口處壓力降基本相同，與口模長徑比無關。,當表觀剪切速率為,2）,3）,4）求出長徑比

13、為16的不同剪切速率下的熔體真實粘度,方法一：,方法二：,4對聚合物熔體的粘性流動曲線劃分區(qū)域，并說明區(qū)域名稱及對應的粘度名稱，解釋區(qū)域內(nèi)現(xiàn)象的產(chǎn)生原因。,答：第一牛頓區(qū)：粘度為零切粘度。此時由于切變速率很小，雖然纏結結構能被破壞，但破壞的速率等于形成的速率，纏結點數(shù)目處于動態(tài)平衡，故粘度保持恒定，表現(xiàn)為牛頓流體的流動行為；  假塑區(qū)：粘度為表觀粘度。當切變速率增大時，纏結結構被破壞的速度越來越大于其形成速度，

14、纏結點數(shù)目逐漸減少，故粘度不為常數(shù)，隨切變速度的增大而減小，表現(xiàn)出假塑性流體的流動行為；第二牛頓區(qū)：粘度極限粘度（無窮切粘度）。當達到強剪切的狀態(tài)時，大分子中的纏結結構幾乎完全被破壞，來不及形成新的纏結，取向也達到極限狀態(tài)，大分子的相對運動變得很容易，體系粘度達到恒定的最低值，第二次表現(xiàn)為牛頓流體的流動行為。,解：,計算該剪切速率下的入口效應壓力值,例題 已知毛細管口模直徑是4mm，用毛細管流變儀對聚甲酯丙烯酸甲酯（PMMA）