數(shù)學(xué)物理方法第11章

1、,柱坐標(biāo)系中Laplace方程為,將變量變 ? 與 ? 和 z 分離,,,,稱為貝塞爾方程,,,,稱為虛宗量貝塞爾方程,,§11.1 三類柱函數(shù),,（一）、三類柱函數(shù),第二類柱函數(shù),第一類柱函數(shù),第三類柱函數(shù),為?階貝塞爾函數(shù),為?階諾伊曼函數(shù),,為第一種和第二種漢克爾函數(shù),,當(dāng) x?0 時(shí)，,,（二）、x=0， x=?處的自然邊界條件,剩下,,若研究區(qū)域含x=0，要去掉,稱 x=0 處的具有自然邊界條件,當(dāng) x? ? 時(shí)

2、，,,不可任意舍棄其一,,若研究區(qū)域圓柱外區(qū)域，要保留,,(三）、 三類柱函數(shù)的遞推關(guān)系,有遞推關(guān)系,證明：,,,,,,具體寫出導(dǎo)數(shù)關(guān)系,類似有,,消去J’(x),,,得證,,,,,? =0時(shí)，由關(guān)系,? =1時(shí)，由關(guān)系,,或,,,,下面討論柱坐標(biāo)系下，拉斯方程或亥姆霍茲方程分離變量得到的貝塞爾方程在柱內(nèi)的本征值問題,,11.2 貝塞爾方程,（一）、本征值問題,亥姆霍茲方程,,,柱側(cè)面有齊次邊界條件,,,,?、? 是常數(shù)，?=0或?=

3、0，或?、?均不為零時(shí)，分別表示 ?=a 端有第一、第二、第三類齊次邊界條件,貝塞爾方程,,柱側(cè)面有齊次邊界條件??0,,,（1）、 ?=a 端有第一類齊次邊界條件,,,,,可見J0(x)是震蕩衰減的偶函數(shù),可見J1(x)是震蕩衰減的奇函數(shù),,Jn(x)=0 有無限多實(shí)根,由邊界條件,設(shè)第n個(gè)零點(diǎn)根為,本征值由,,,,本征值,本征值函數(shù),（2）、 ?=a 端有第二類齊次邊界條件,,,,本征值,,（3）、 ?=a 端有第三類齊次邊界條件,

4、,,利用關(guān)系,,,,,本征值,(二）、貝塞爾函數(shù)的正交性,對(duì)于不同本征值的同階貝塞爾函數(shù)在區(qū)減[0，a]上帶全重?正交,,(三）、貝塞爾函數(shù)的模,,以下令,,,,由貝塞爾方程,,,,代入,,,,,代入得,,,所以,當(dāng) x?0 時(shí)，,因?yàn)?,,所以,（1）、 ?=a 端有第一類齊次邊界條件,,而,,（2）、 ?=a 端有第二類齊次邊界條件,,（3）、 ?=a 端有第三類齊次邊界條件,,,(四）、廣義Fourier級(jí)數(shù),系數(shù),,積分帶全重

5、?,第三類,第二類,第一類,,,,例：計(jì)算積分,解：,,,,,,例2 在區(qū)間 上， 為基 ，把函數(shù) 展開為傅里葉-貝塞爾級(jí)數(shù)。,解 依（11.2.13），（11.2.14）， 其中系數(shù)這里的 由（11.2.11）給出，本征值

6、 而 是 的第n個(gè)零點(diǎn)，可由貝塞爾函數(shù)表查出。這樣，,令 ，應(yīng)用（11.2.14）從而,例3 在傅里葉光學(xué)中常用到圓域函數(shù)，其定義是試將 展開為傅里葉-貝塞爾積分,解 依（11.2.18）， 的傅里葉-貝塞爾積分中的 應(yīng)是,把 記作x，則應(yīng)用（11.2.17）,例5 用勻質(zhì)材料

7、制作劈形細(xì)桿，寬度很小，首尾一樣，取x軸沿桿身，坐標(biāo)原點(diǎn)在削尖的一端，桿長為 l，粗端是自由的。已知初始位移為f(x),初始速度處處為零，求解桿的縱振動(dòng)。,解：本例雖非圓柱問題，卻也用到貝塞爾函數(shù)。 尖劈的橫截面積S(x)隨x而異。記粗端的高為h,則x處的高y=(h/l)x，記尖劈的寬為?，則S(x)= ?y= ?hx/l,現(xiàn)推導(dǎo)這種桿的縱振動(dòng)方程，設(shè)想在桿上截取一小段B，這小段的兩端分別受到A段、C段的拉力

8、 ，其合力為B段的質(zhì)量是 。于是，B 段的運(yùn)動(dòng)方程是即這樣，本例所研究的定解問題是,在尖端x=0，沒有提出邊界條件。下面將會(huì)發(fā)現(xiàn)在x=0有自然邊界條件。用分離變數(shù)法，以u(píng)(x,t)=X(x)T(t)代入（11.2.26）和（11.2.27），可得,方程（11.2.29）是以kx為宗量的零階貝塞爾方程。它在x=0有自然邊界條件，其在x=0為有限的解是,代入其次邊界條

9、件（11.2.30），有得本征值,其中 是 的第n個(gè)零點(diǎn)。這樣，本征函數(shù)是至于方程（11.2.28）的解，對(duì)于 它是 對(duì)于 它是,把本征解疊加起來，,為決定系數(shù) ，將通解代入初始條件(11.2.28

10、),,由第二式知 再把第一式右邊的f(x)展開為貝塞爾級(jí)數(shù)，然后比較兩邊系數(shù)，,這樣，本例的解是,例6 一圓柱體半徑為 ，高為L，側(cè)面和下底面溫度保持為 ，上底面絕熱，初始溫度為 求圓柱體內(nèi)各處溫度u的變換情況。,解： 采用柱坐標(biāo)系，極點(diǎn)在下底中心，z軸沿著圓柱的軸。定界問題表為,首先把邊界條件化為齊次，為此令,則,這是圓柱內(nèi)部的熱傳導(dǎo)問

11、題，邊界條件全是齊次的。查看9.1末的表。計(jì)及i)上下底的齊次邊界條件，ii)圓柱軸的自然邊界條件，iii)m=0 查得：,以此代入邊界條件（11.2.35）容易求得本征值 其中p為非負(fù)整數(shù)。又代入邊界條件（11.2.34）容易求得本征值 其中 是 的第n個(gè)零點(diǎn)。,把以上特解疊加起來，,為確定系數(shù) ，將上式代入初始條件（11.2.3

12、6），,由此可見，應(yīng)以 為基而將 展為傅里葉-貝塞爾級(jí)數(shù)，以 為基而將展為傅里葉級(jí)數(shù)。然后比較兩邊系數(shù)，即得,將上式代入（11.2.37），又將（11.2.37）代入（11.2.33）即得本例的解,(五）、母函數(shù)、加法公式,加法公式,母函數(shù),,,,以下積分關(guān)系有用，因?yàn)?因?yàn)?（六）諾依曼函數(shù),圖11-3描畫了 的圖像。明顯可見，

13、當(dāng) ， 。其實(shí)，所有的諾依曼函數(shù)都有此性質(zhì)：當(dāng) 前此，研究圓柱內(nèi)部問題，圓柱軸上的自然邊界條件排除了諾依曼函數(shù)。但如果研究的是空心圓柱之類的區(qū)域，并不涉及 的自然邊界條件，那就不能排除諾依曼函數(shù)。,例7 勻質(zhì)空心長圓柱體，內(nèi)外半徑分別為 初始溫度分布是 ，放入溫度為 的烘箱里進(jìn)行保溫。設(shè)圓柱內(nèi)外

14、表面的溫度均保持為 。求解柱內(nèi)各處溫度u的變化情況。,解 定界問題為：,首先移動(dòng)溫標(biāo)的零點(diǎn)，使邊界條件化為齊次，,查看9.1末的表。平面極坐標(biāo)不過是缺少z軸的柱坐標(biāo)系，因此不考慮表中的Z（z），m=0，查得,以此代入邊界條件（11.2.48），,從這個(gè)齊次線性代數(shù)方程組只能解出沒意思的A=0=B，除非系數(shù)行列式等于零，即,將以上本征解疊加起來，,其中 是尚待確定的系數(shù)。為確定

15、以（11.2.50）代入初始條件（11.2.49）,以 為基，將上式右端的 展開，比較兩邊系數(shù)就可定出,這樣，本例的解是（11.2.47），其中的v由（11.2.50）給出。,（七）漢克爾函數(shù),第一式是朝 方向傳播的波，亦即向外發(fā)散的波；第二式是朝 方向傳播的波，亦即向內(nèi)匯聚的波；第三和

16、第四式的變數(shù) 是分離的，他們是駐波。,如果修改時(shí)間因子為 ，則 對(duì)應(yīng)于匯聚波， 對(duì)應(yīng)于發(fā)散波， 仍對(duì)應(yīng)于駐波。,例8 半徑為 的長圓柱面，其徑向速度分布為試求解這柱面所發(fā)射的穩(wěn)恒聲振動(dòng)的速度勢 ，設(shè) 遠(yuǎn)小于聲波的波長,解： 本例正是7.2所說的沒有初始條件的問題。 這里研究的速度勢u滿足二維波動(dòng)方程。在橫剖面上取平面

17、極坐標(biāo)系，極點(diǎn)在柱軸上，則定界問題是,為計(jì)算方便，邊界條件例的 即 寫成了 。這就要求約定在計(jì)算的最后結(jié)果中也應(yīng)取其實(shí)部。 查9.1末的表。不考慮Z(z)，計(jì)及i）問題與 無關(guān)即m=0，ii）邊界條件（11.2.51）的時(shí)間因子 ，查得,且 ,即,考慮到這是聲波發(fā)射的問題，柱函數(shù) 應(yīng)取為

18、 ，而舍棄 本例的k只有 這個(gè)唯一的值，所以無需疊加，,為確定系數(shù)A，把（11.2.52）代入邊界條件（11.2.51），,因 ，即 很小。因而可以引用（9.3.41）和（9.3.42）,即,由此， 于是得答案,在遠(yuǎn)場區(qū)即 大的地方，用漸近公式（11.1.5）,

19、按約定取實(shí)部,這是振幅按 減小的柱面波。,,例：柱內(nèi)穩(wěn)定溫度分布問題，設(shè)半徑為a高為h的圓柱體，下底和側(cè)面保持溫度為零，上底溫度分布為u=u0。,泛定方程,邊界條件,解：,,代入極坐標(biāo)系中Laplace方程,,,,,,邊界條件,,柱側(cè)面有齊次邊界條件 ??0,,,,,,邊界條件,,,邊界條件,,,由,Fourier級(jí)數(shù)展開,,,,,,上面討論柱坐標(biāo)系下，柱側(cè)面有齊次邊界條件 ??0,11.4 虛宗量貝塞爾方程,（一）

20、、本征值問題,但在柱上、下底有齊次邊界條件時(shí)，只有沒意義的解,故，在柱上、下底有齊次邊界條件時(shí) ?<0,有虛宗量貝塞爾方程,令,,和,,為虛宗量貝塞爾方程,,令,,為m階貝塞爾方程,m階虛宗量貝塞爾函數(shù)為實(shí)數(shù),,,m階虛宗量貝塞爾函數(shù)為實(shí)數(shù),,對(duì)于整數(shù)m,尋找另一線性無關(guān)解，定義,稱為虛宗量漢克爾函數(shù),,稱為虛宗量漢克爾函數(shù),當(dāng)?=m時(shí),可計(jì)算出Km(x),,x=0 是Km(x)的奇點(diǎn),而,故虛宗量貝塞爾方程解為,實(shí)際問題中，在柱

21、上、下底有齊次邊界條件，柱側(cè)面有非齊次邊界條件時(shí)，會(huì)出現(xiàn)虛宗量貝塞爾函數(shù),,,例：柱內(nèi)穩(wěn)定溫度分布問題，設(shè)半徑為a高為h的圓柱體，上底和下底保持溫度為零，側(cè)面溫度分布為u=u0。,泛定方程,邊界條件,解：,,代入極坐標(biāo)系中Laplace方程,,,,,代入,,,,令,為零階虛宗量貝塞爾函數(shù),,,,邊界條件,求傅氏變換,,Fourier級(jí)數(shù)展開,故,,,因此,,,亥姆霍茲方程在球坐標(biāo)系中表示為,首先試圖將此變量變r(jià)與 ? 和 ?分離,11

22、.5 球貝塞爾方程,稱為球函數(shù)方程,,,第一式,這稱為 l 階球貝塞爾方程,令,,若 k=0,l 階球貝塞爾方程退化為歐拉型方程,,化為,l 階球貝塞爾方程的線性獨(dú)立解為,,（一）、線性獨(dú)立解,故l 階球貝塞爾方程解為,,(二）、 遞推關(guān)系,令,,遞推關(guān)系,,,,(三）、 初等函數(shù)表示,,,,(四）、 x?0, x??的行為,(五）、 本征值問題,,（?=a 端有第一類齊次邊界條件）,本征值,本征函數(shù),,,本征值,本征函數(shù),廣義Fo

23、urier級(jí)數(shù),系數(shù),廣義Fourier級(jí)數(shù),系數(shù),,,例：半徑為r0的均勻熱介質(zhì)球，原來溫度為u=u0，放入冰水中，使球面溫度保持為零，求球內(nèi)溫度分布。。,泛定方程,邊界條件,解：,代入方程和邊界條件,,,與 ? 無關(guān) m=0，與 ? 無關(guān) l=0,初始條件,,,,本征值,本征函數(shù),,因?yàn)?,本征值,本征函數(shù),特解,,,特解,代入邊界條件,解為,,代入初始條件,兩邊按球貝塞爾函數(shù)展開,,,,（七）平面波展開為球面波的疊加,平面波展開