三角形四心與向量

1、1三角形三角形“四心四心”的向量性質(zhì)及其應(yīng)用的向量性質(zhì)及其應(yīng)用一、三角形的一、三角形的重心重心的向量表示及應(yīng)用（中線交點）的向量表示及應(yīng)用（中線交點）命題一命題一：已知：已知是不共線的三點，是不共線的三點，是內(nèi)一點，若內(nèi)一點，若則則ABC，，GABC△GAGBGC???0????????????是的重心的重心GABC△命題二：點命題二：點是三角形是三角形的重心則的重心則OABC???AOBBOCCOAS=S=S變式：變式：已知已知分別為

2、分別為的邊的邊的中點則的中點則DEF，，ABC△BCACAB，，ADBECF???0????????????變式引申：如圖變式引申：如圖4，平行四邊形，平行四邊形的中心為的中心為，為該平面上任意一點，為該平面上任意一點，ABCDOP則1()4POPAPBPCPD????????????????????????二、三角形的二、三角形的外心外心的向量表示及應(yīng)用的向量表示及應(yīng)用(外接圓圓心，邊中垂線交點外接圓圓心，邊中垂線交點)命題二：命題二

3、：已知已知是內(nèi)一點，滿足內(nèi)一點，滿足，則點，則點為△ABC△ABC的外心。的外心。GABC△MCMBMA??M三、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用：（高線交點）三、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用：（高線交點）例1：已知：已知是內(nèi)一點，滿足內(nèi)一點，滿足，則點，則點G為垂心。為垂心。GABC△GCGBGCGAGBGA?????變式：若變式：若H為△ABC△ABC所在平面內(nèi)一點，且所在平面內(nèi)一點，且222222ABHCCAHBBCHA?????則點

4、則點H是△ABC△ABC的垂心的垂心四、三角形的四、三角形的內(nèi)心內(nèi)心的向量表示及應(yīng)用（內(nèi)角平分線交點，內(nèi)切圓圓心）的向量表示及應(yīng)用（內(nèi)角平分線交點，內(nèi)切圓圓心）命題四：命題四：O是內(nèi)心是內(nèi)心ABC?的充要條件是的充要條件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA?????????變式變式1：如果記：如果記CABCAB的單位向量為的單位向量為321eee，則，則O是ABC?內(nèi)心的充要條

5、件是內(nèi)心的充要條件是0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131?????????變式變式2：如果記：如果記CABCAB的單位向量為的單位向量為321eee，則，則O是ABC?內(nèi)心的充要條件也內(nèi)心的充要條件也可以是可以是0OCcOBbOAa???。例1（20032003江蘇）已知江蘇）已知O是平面上一定點，是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，滿足是平面上不共線的三個點，滿足3A三個內(nèi)角的角平分線的交點B三條邊的垂直平

6、分線的交點C三條中線的交點D三條高的交點（3）(05年湖南卷文)P是△ABC所在平面上一點，若==，則P是△ABC的（）PBPA?PCPB?PAPC?A外心B內(nèi)心C重心D垂心（06陜西理）已知非零向量與滿足()=0且=則AB→AC→AB→|AB→|AC→|AC→|BC→AB→|AB→|AC→|AC→|12△ABC為()A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形D等邊三角形3以以“各種運算的幾何意義各種運算的幾何意義”為代表的靈

7、活運用階段為代表的靈活運用階段（05浙江卷）已知向量浙江卷）已知向量≠，||＝1，對任意，對任意t∈R，恒有，恒有|－t|≥|－|，則，則a?e?e?a?e?a?e?（C）(A)⊥(B)⊥(－)(C)⊥(－)(D)(＋)⊥(－)a?e?a?a?e?e?a?e?a?e?a?e?例3（06湖南理）如圖1點在由射線、線段及的延ABOMPOMOBAB長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運動且則的取值范圍是；OByOAxOP??x當(dāng)時的取值范圍是.21?