高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽-平面幾何的幾個(gè)重要定理——梅涅勞斯定理

1、梅涅勞斯定理：梅涅勞斯定理：1lABCABCBCCAABBPPQR1PCCQARQARB?????定理：若直線不經(jīng)過的頂點(diǎn)，并且與的三邊、、或它們的延長(zhǎng)線分別交于、、，則1ABCCBACABhhhABClhhhBPCQARPCQARBhhh??????證：設(shè)、、分別是、、到直線的垂線的長(zhǎng)度，則：注：此定理常運(yùn)用求證三角形相似的過程中的線段成比例的條件；注：此定理常運(yùn)用求證三角形相似的過程中的線段成比例的條件；1ABCCKCEACKEAK

2、DACFDECKBFCE??例：若直角中，是斜邊上的高，是的平分線，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，證明：。901EBCBBHEBCACKHBCACEHBCHCBACEHCBBHCEEBCBCEPCKEPCDAEKFACKDEFDAEKFCKFEKCKEPBPBKKFBKFCAEACACBCBEFCBEKFBKFKBKCKE?????????????????????????????????證：在中，作的平分線則：即：為等腰三角形作上的高，

3、則：對(duì)于和三點(diǎn)、、依梅涅勞斯定理有：于是＝即：＝依分比定理有：＝CKEBFCE??2PQRABCBCCAABPQRABCBP021PCPQRCQARQARB?????定理：設(shè)、、分別是的三邊、、上或它們的延長(zhǎng)線上的三點(diǎn)，并且、、三點(diǎn)中，位于邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為或，這時(shí)若，求證：、、三點(diǎn)共線；1BPBP11PCPC02PQABRCQARCQARARARQARBQARBRBRBPQRABCRRABABRRABRRARAR?????????證：設(shè)

4、直線與直線交于，于是由定理得：又，則：＝由于在同一直線上的、、三點(diǎn)中，位于邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也為或，因此與或者同在線段上，或者同在的延長(zhǎng)線上；若與同在線段上，則與必定重合，不然的話，設(shè)ARARARARABARABARBRBRBRBRBRBR?????這時(shí)即于是可得這與＝矛盾RRABRRPQR類似地可證得當(dāng)與同在的延長(zhǎng)線上時(shí)，與也重合綜上可得：、、三點(diǎn)共線；注：此定理常用于證明三點(diǎn)共線的問題，且常需要多次使用注：此定理常用于證明三點(diǎn)共線的問題

5、，且常需要多次使用再相乘；再相乘；21112BXCEAFABCXFEXCEAFBBXFBAEAFXCCECYDCAZEAYAAFZBBDBXCYAZXCYAZBXYZABCXYZ???????????練習(xí)的證明證：被直線所截，由定理可得：又代人上式可得：＝同理可得：＝＝將上面三條式子相乘可得：又、、都不在的邊上，由定理可得、、三點(diǎn)共線2221111111121121121121121121121121123()()()111ABCBCB

6、CACACABABOABABCOBCBCAOACACBAAOBBCOCBBCAOACCABOABBACCCOBBAAAOCCBBC?????????練習(xí)的證明證：設(shè)、、分別是直線和，和，和的交點(diǎn)，對(duì)所得的三角形和在它們邊上的點(diǎn)：和，和，和，應(yīng)用梅涅勞斯定理有：將上面的三條式子相乘可得：2222222221ABCAACCBBAABC???由梅涅勞斯定理可知共線4()()()()()11111EFCDEFABABCDUVWUVWLDEAMF