十大高中平面幾何幾何定理匯總及證明

1、高中平面幾何定理匯總及證明高中平面幾何定理匯總及證明1.共邊比例定理有公共邊AB的兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別是P、Q，AB與PQ的連線交于點(diǎn)M，則有以下比例式成立：△PAB的面積：△QAB的面積＝PM：QM.證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證S△PAB=(S△PAMS△PMB)=(S△PAMS△PMB1)S△PMB=(AMBM1)S△PMB(等高底共線，面積比=底長(zhǎng)比）同理，S△QAB=(AMBM1)S△QMB所以，S△P

2、ABS△QAB=S△PMBS△QMB=PMQM(等高底共線，面積比=底長(zhǎng)比）定理得證！特殊情況：當(dāng)PB∥AQ時(shí)，易知△PAB與△QAB的高相等，從而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，則PB∥AQ。2.正弦定理在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”，即asinA=bsinB=csinC=2r=R（r為外接圓半徑，R為直徑）證明：現(xiàn)將△ABC，做其外接圓，設(shè)圓心為O。我們考慮∠C及

3、其對(duì)邊AB。設(shè)AB長(zhǎng)度為c。若∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c=2r。∵（特殊角正弦函數(shù)值）∴3.分角定理在△ABC中，D是邊BC上異于BC或其延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連結(jié)AD，則有BDCD=(sin∠BADsin∠CAD)(ABAC)。證明：S△ABDS△ACD=BDCD…………(1.1)S△ABDS△ACD=[(12)ABADsin∠BAD][(12)ACADsin∠CAD]=(sin∠BADsin∠CAD)(ABAC)…………(1.

4、2)由1.1式和1.2式得BDCD=(sin∠BADsin∠CAD)(ABAC)4.張角定理在△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD。那么。∠∠=∠證明：設(shè)∠1=∠BAD，∠2=∠CAD由分角定理，S△ABDS△ABC=BDBC=(ADAC)(sin∠1sin∠BAC)→(BDBC)(sin∠BACAD)=sin∠1AC(1.1)S△ACDS△ABC=CDBC=(ADAB)(sin∠2sin∠BAC)→(CDBC)(sin∠BACAD)