平面幾何與立體幾何

1、平面幾何與立體幾何最早的幾何學(xué)當(dāng)屬平面幾何。平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線（即圓錐曲線，就是橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結(jié)構(gòu)和度量性質(zhì)（面積、長(zhǎng)度、角度）。平面幾何采用了公理化方法，在數(shù)學(xué)思想史上具有重要的意義。平面幾何的內(nèi)容也很自然地過(guò)渡到了三維空間的立體幾何。為了計(jì)算體積和面積問(wèn)題，人們實(shí)際上已經(jīng)開(kāi)始涉及微積分的最初概念。笛卡爾引進(jìn)坐標(biāo)系后，代數(shù)與幾何的關(guān)系變得明朗，且日益緊密起來(lái)。這就促使了解析幾何的產(chǎn)生。解析幾何是由笛卡

2、爾、費(fèi)馬分別獨(dú)立創(chuàng)建的。這又是一次具有里程碑意義的事件。從解析幾何的觀點(diǎn)出發(fā)，幾何圖形的性質(zhì)可以歸結(jié)為方程的分析性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì)。幾何圖形的分類問(wèn)題（比如把圓錐曲線分為三類），也就轉(zhuǎn)化為方程的代數(shù)特征分類的問(wèn)題，即尋找代數(shù)不變量的問(wèn)題。立體幾何歸結(jié)為三維空間解析幾何的研究范疇，從而研究二次曲面（如球面，橢球面、錐面、雙曲面，鞍面）的幾何分類問(wèn)題，就歸結(jié)為研究代數(shù)學(xué)中二次型的不變量問(wèn)題。總體上說(shuō)，上述的幾何都是在歐氏空間的幾何結(jié)構(gòu)即平坦的空

3、間結(jié)構(gòu)背景下考察，而沒(méi)有真正關(guān)注彎曲空間下的幾何結(jié)構(gòu)。歐幾里得幾何公理本質(zhì)上是描述平坦空間的幾何特性，特別是第五公設(shè)引起了人們對(duì)其正確性的疑慮。由此人們開(kāi)始關(guān)注其彎曲空間的幾何，即“非歐幾何”。非歐幾何中包括了最經(jīng)典幾類幾何學(xué)課題，比如“球面幾何”，“羅氏幾何”等等。另一方面，為了把無(wú)窮遠(yuǎn)的那些虛無(wú)縹緲的點(diǎn)也引入到觀察范圍內(nèi)，人們開(kāi)始考慮射影幾何。這些早期的非歐幾何學(xué)總的來(lái)說(shuō)，是研究非度量的性質(zhì)，即和度量關(guān)系不大，而只關(guān)注幾何對(duì)象的位置

4、問(wèn)題比如平行、相交等等。這幾類幾何學(xué)所研究的空間背景都是彎曲的空間。微分幾何加萊創(chuàng)造，后來(lái)發(fā)展成了成熟的數(shù)學(xué)理論。拓?fù)鋵W(xué)思想是數(shù)學(xué)思想中極為關(guān)鍵的內(nèi)容。它討論了刻畫(huà)幾何物體最基本的一些特征，比如虧格（洞眼個(gè)數(shù)）等等。由此還發(fā)展出了同調(diào)論、同倫論等等基礎(chǔ)性的理論。其他的幾何學(xué)科除了以上傳統(tǒng)幾何學(xué)之外，我們還有閔可夫斯基建立的“數(shù)的幾何”；與近代物理學(xué)密切相關(guān)的新學(xué)科“熱帶幾何”；探討維數(shù)理論的“分形幾何”；還有“凸幾何”、“組合幾何”、“