2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、三、利用向量方法求空間角與距離三、利用向量方法求空間角與距離1、空間位置關系的判定、空間位置關系的判定1)、直線的方向向量與平面的法向量:直線的方向向量、平面的法向量2)、用向量描述空間線面關系設空間兩條直線的方向向量分別為,兩個平面的法向量分別為,則由如下結論平行垂直與與與3)、相關說明:上表給出了用向量研究空間線線、線面、面面位置關系的方法,判斷的依據(jù)是相關的判定定理與性質(zhì)定理,要理解掌握。2、空間的角、空間的角1)、用法向量求線面

2、角:原理:設平面的斜線l與平面所的角為1,斜線l與平面的法向量所成角2,則1與2互余或與2的補角互余。2)、用法向量求二面角:原理:一個二面角的平面角1與這個二面角的兩個半平面的法向量所成的角2相等或互補。方法一:方法一:轉(zhuǎn)化為分別是在二面角的兩個半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的兩個向量的夾角方法二:方法二:先求出二面角一個面內(nèi)一點到另一個面的距離及到棱的距離,再解直角三角形來求角。方法三:方法三:轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個半平面的法向量夾

3、角的補角。3、空間的距離、空間的距離1)、兩點間的距離公式2)、向量法在求異面直線間的距離設分別以這兩異面直線上任意兩點為起點和終點的向量為,與這兩條異面直線都垂直的向量為,則兩異面直線間的距離是在方向上的正射影向量的模。3)、向量法求點到平面的距離設分別以平面外一點P與平面內(nèi)一點M為起點和終點的向量為,平面的法向量為,則P到平(Ⅰ)求二面角的正切值;(Ⅱ)求直線與FD1所成角的余弦值;1CDEC??1EC(Ⅲ)求直線DC與平面所成角的

4、正弦值.1DEC例2已知正四棱柱,,E為的中點.1111DCBAABCD?211??AAAB1CC(Ⅰ)求異面直線與之間的距離;(Ⅱ)求點到平面BDE的距離;1BD1CC1D(Ⅲ)求直線到平面BDE的距離;(Ⅳ)求兩平行平面與面的距離.11DB11DABBDC1例3如圖,四棱錐中,⊥底面,⊥底面為梯形,,.,點在棱上,且(Ⅰ)求證:平面⊥平面;(Ⅱ)求證:∥平面;(Ⅲ)求二面角的大小6、練習、練習如圖矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互

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