矩陣的合同,等價(jià)與相似的聯(lián)系與區(qū)別

1、矩陣的合同，等價(jià)與相似的聯(lián)系與區(qū)別矩陣的合同，等價(jià)與相似的聯(lián)系與區(qū)別一、基本概念與性質(zhì)（一）等價(jià)：1、概念。若矩陣A可以經(jīng)過有限次初等變換化為B，則稱矩陣A與B等價(jià)，記為。AB?2、矩陣等價(jià)的充要條件：AB?.PQAB?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩陣和，使得PAQ=B成立3、向量組等價(jià)，兩向量組等價(jià)是指兩向量組可相互表出，有此可知：兩向量組的秩相同，但兩向量組各自的線性相關(guān)性卻不相同。（二）合同：1、概念，兩個(gè)n階方陣AB，若

2、存在可逆矩陣P，使得AB?成立，則稱AB合同，記作該過程成為合同變換。PTAPB?AB?2、矩陣合同的充要條件：矩陣AB均為實(shí)對(duì)稱矩陣，則二AB??次型與有相等的E負(fù)慣性指數(shù)，即有相同的標(biāo)準(zhǔn)型。xTAxxTBx（三）相似1、概念：n階方陣AB，若存在一個(gè)可逆矩陣P使得成立，1BPAP??則稱矩陣AB相似，記為。~AB2、矩陣相似的性質(zhì)：①相似等價(jià)：AB同型且?~AB?()()rArBAB???②合同等價(jià)：同型且?ABAB?()()rAr

3、BAB???③相似與合同之間一般情況不能遞推，但有一下附加條件時(shí)可以Ⅰ、若AB均為實(shí)對(duì)稱矩陣，則有AB一定可以合同于對(duì)角矩陣當(dāng)時(shí)，二次型與有相~AB||||EAEB??????()TfxXAX?()TgxXBX?同的標(biāo)準(zhǔn)型，即二者有相同的正負(fù)慣性指數(shù)ABAB???即有~ABABAB???Ⅱ、存在一個(gè)正交矩陣P，即使得即則有TPPE?TPAPB?AB即有1~TBPAPPAPAB????~ABAB?Ⅲ、若AB實(shí)對(duì)稱，且存在一個(gè)正交矩陣P，則

4、時(shí)有~AB~ABABAB???Ⅳ、、、~()()ABrArB??()()ABrArB??()()ABrArB???下面討論時(shí)成立的條件。()()rArB?~ABABAB?由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的論述可知存在正交矩陣P時(shí)，有，則1TPP??記則()()TrPAPrA?TBPAP?()()rArB?此時(shí)~ABABAB???即P為正交矩陣時(shí)，由()()~rArBABABAB???（三）1、矩陣等價(jià)：①同型矩陣而言②一般與初等變換有關(guān)③秩是矩陣等價(jià)的不變