函數(shù)極限的十種求法

1、函數(shù)極限的十種求法信科2班江星雨20140202250函數(shù)極限可以分成而運(yùn)用εδ定義更多的見諸于已知極限值的證明題中。掌握這類證明對(duì)初學(xué)者深刻理解運(yùn)用極限定義大有裨益。以的極限為例，f(x)在點(diǎn)以A為極限的定義是：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無(wú)論它多么?。?，總存在正數(shù)，使得當(dāng)x滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的f(x)函數(shù)值都滿足不等式：，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x。時(shí)的極限。1.利用極限的四則運(yùn)算法則利用極限的四則運(yùn)算法則：極限四則運(yùn)算法則的條

2、件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿足極限四則運(yùn)算法則條件，滿足條件者。方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之。不滿足條件者，不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是，井非不滿足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒(méi)有極限，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些技巧如拆項(xiàng)、分子分母同時(shí)約去零因子、分子分母有理化、通分、變量替換

3、等等。例1求lim(x2?3x5).x→2解：lim(x2?3x5)=limx2?lim3xlim5=(limx)2?3limxlim5=22?3?25=3.x→2x→2x→2x→2x→2x→2x→22.利用洛必達(dá)法則利用洛必達(dá)法則洛必達(dá)(LHopital)法則是在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法.簡(jiǎn)單講就是，在求一個(gè)含分式的函數(shù)的極限時(shí)，分別對(duì)分子和分母求導(dǎo)，在求極限，和原函數(shù)的極限是一樣的。一般用在求導(dǎo)后為

4、零比零或無(wú)窮比無(wú)窮的類型。利用洛必達(dá)求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：設(shè)函數(shù)f(x)和F(x)滿足下列條件：（1）x→a時(shí)limf(x)=0limF(x)=0（2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)f(x)與F(x)都可導(dǎo)且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0（3）x→a時(shí)lim(f(x)F(x))存在或?yàn)闊o(wú)窮大則x→a時(shí)lim(f(x)F(x))=lim(f(x)F(x))例1：1cosx=112[sin(x2)]^2=2[sin(x2)]^2xsinx=2xsin(x2)

5、cos(x2)原式=lim2[sin(x2)]^2[2xsin(x2)cos(x2)]=tgxx對(duì)分子分母同時(shí)求導(dǎo)（洛必達(dá)法則）(tgx)=1(cosx)^2(x)=1原式=lim1(cosx)^2當(dāng)x0時(shí)cosx1原式=13.利用兩個(gè)重要極限：利用兩個(gè)重要極限：應(yīng)用第一重要極限時(shí)，必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（就是直接將趨向值帶出函數(shù)自變量中，此時(shí)要要求分母不能為0）描述函數(shù)的一種連綿不斷變化的狀態(tài)，即自變量的微小變動(dòng)只會(huì)引起函數(shù)值的微小變

6、動(dòng)的情況。確切說(shuō)來(lái)，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是指：當(dāng)自變量趨于該點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值的極限與函數(shù)在該點(diǎn)所取的值一致。例1設(shè)f（x）=xsin1xax0解：f(0)＝b1左極限：lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)(xsin(1x)＋a)＝0a＝a左極限：lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)(x^21)＝01＝1f(x)在x＝0處連續(xù)，則lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)f(x)＝f(0)，所以a＝1＝b1，所以a＝1，b＝27.利用等

7、價(jià)無(wú)窮小量代換求極限利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限例8求極限30tansinlimsinxxxx??解由于，而??sintansin1coscosxxxxx???，，??sin~0xxx???21cos~02xxx????33sin~0xxx?故有23300tansin112limlimsincos2xxxxxxxxx???????注在利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限時(shí)，應(yīng)注意只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量替代，而對(duì)極限式中

8、的相加或相減部分則不能隨意替代，如在例題中，若因有，，而推出??tan~0xxx???sin~0xxx?，3300tansinlimlim0sinsinxxxxxxxx??????則得到的式錯(cuò)誤的結(jié)果附常見等價(jià)無(wú)窮小量，，，??sin~0xxx???tan~0xxx???21cos~02xxx??，，，??arcsin~0xxx???arctan~0xxx???1~0xexx??，????ln1~0xxx??????11~0xxx???