數(shù)學建模上課

1、1第六部分插值與擬合實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題：給定一批數(shù)據(jù)點，需要確定滿足特殊要求的曲線或曲面。如果要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點，這就是插值問題插值問題，在數(shù)據(jù)教少的情況下，這樣做能取得較好的效果。但是，如果數(shù)據(jù)較多，那么插值函數(shù)是一個次數(shù)很高的函數(shù)，比較復(fù)雜，同時，給定的數(shù)據(jù)一般是由觀察測量所得，往往帶有隨機誤差，因而，要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點就既不現(xiàn)實也不必要。如果不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象

2、整體的變化趨勢，可得到更簡單實用的近似函數(shù)，這就是數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合。函數(shù)插值與數(shù)據(jù)擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者在數(shù)學方法上是完全不同的。一、一、插值問題插值問題1、拉格朗日插值若知道函數(shù)在互異的兩個點和處的函數(shù)值和，而想估計該函數(shù)在另一點處的函數(shù)值，()yfx?0x1x0y1y?最自然的想法是作過點和點的直線，用作為準確值的近似值，如果認為00()xy11()xy1()yLx?1()L?()f?誤

3、差太大，還可增加一點的函數(shù)值，即已知在互異的三個點和處的函數(shù)值和，()fx()yfx?01xx2x01yy2y可以構(gòu)造一個過這三點的二次曲線，用作為準確值的近似值。2()yLx?2()L?()f?【定義1】一般的，若已知在互異的個點處的函數(shù)值，則可以考慮構(gòu)()yfx?1n?01nxxx?01nyyy?造一個過這個點的次數(shù)不超過的多項式，使其滿足1n?n()nyLx?（1）()01nkkLxykn???然后用作為準確值的近似值。此方法就叫

4、做插值法插值法，這樣構(gòu)造出來的多項式稱為的()nL?()f?()nLx()fx次拉格朗日插值多項式或插值函數(shù)次拉格朗日插值多項式或插值函數(shù)。稱點為插值結(jié)點，稱式(1)為插值條件，含n(01)kxkn??的最小區(qū)間叫做插值區(qū)間。(012)ixin??00[](minmax)iiininabaxbx??????【定理1】滿足插值條件(1)的次數(shù)不超過的多項式是存在的而且是唯一的。n1.1線性插值公式線性插值公式已知函數(shù)在互異的兩個點和處的函

5、數(shù)值和，欲求一個次數(shù)不超過1的多項式()yfx?0x1x0y1y，使其滿足：，（2）1()yLx?100111()()LxyLxy??根據(jù)定理1，是存在而且唯一的，稱為線性插值函數(shù)或一次插值多項式。用點斜式可以寫出過點1()Lx1()Lx和點的直線方程：，因此00()xy11()xy100010()yyyyxxxx?????，將它寫成對稱式為（3）1010010()()yyLxyxxxx?????011010110()xxxxLxyyx

6、xxx??????我們稱(3)式為拉格朗日線性插值函數(shù)或一次拉格朗日插值公式拉格朗日線性插值函數(shù)或一次拉格朗日插值公式。若引入記號：，則(3)式可以寫成：(4)01010110()()xxxxlxlxxxxx??????10011()()()Lxylxylx??其中滿足：我們稱為線性插值或一次拉格朗日插01()()lxlx00011011()1()0()0()1lxlxlxlx????01()()lxlx值的基函數(shù)基函數(shù)。例1根據(jù)下表給

7、出的平方根的值，用線性插值計算，510x14916x1234解：取最接近的兩點為插值節(jié)點，運用插值公式（3），得5x?0149xx??159545(5)232.24994L??????????1.2拋物線插值公式拋物線插值公式已知函數(shù)在三個互異點和處的函數(shù)值和，欲求一個次數(shù)不超過2的多項式()yfx?01xx2x01yy2y3插值公式的余項可以給出多項式逼近的誤差估計。()nLx()fx2、分段插值、分段插值多項式歷來都被認為是最好的逼

8、近工具之一。用多項式作插值函數(shù)，就是前面的代數(shù)插值。一般情況下，似乎可以靠增加插值結(jié)點的數(shù)目來改善插值的精度，但插值多項式的次數(shù)會隨著結(jié)點個數(shù)的增加而升高，可能造成插值函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性變差，逼近的效果往往是不理想的，甚至會發(fā)生龍格振蕩現(xiàn)象。（龍格在本世紀初發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間上用個等距結(jié)點作插值多項式，使得它在結(jié)點的值與函數(shù)[11]?1n?()nLx在對應(yīng)結(jié)點的值相等，當時，插值多項式在區(qū)間的中部趨于，但是對于2()1(125)yxx??n

9、??()nLx()yx滿足條件的，并不趨于在對應(yīng)點的值。這種現(xiàn)象就叫做龍格現(xiàn)象。）0.728||1x???x()nLx()yx若插值的范圍較小（在某個局部），用低次插值往往就能奏效，例如對在每個子段上2()1(125)yxx??用線性插值，即用連接相鄰結(jié)點的折線逼近所考察的曲線，就能保證一定的逼近效果。這種增加結(jié)點，用分段低次多項式插值的化整為零的處理辦法稱為分段插值法分段插值法，也就是說不是去尋求整個插值區(qū)間上的一個高次多項式，而是把

10、插值區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上用低次多項式進行插值，在整個插值區(qū)間上就得到一個分段插值函數(shù)。區(qū)間的劃分是任意的，各個區(qū)間上插值多項式的次數(shù)的選取也可按具體問題選擇。分段插值法通常有較好的收斂性和穩(wěn)定性，算法簡單，克服了龍格現(xiàn)象，但插值函數(shù)不如拉格朗日插值多項式光滑。這類插值大致可分為兩類：一類是下面要介紹的局部化的簡單分段插值；另一類是非局部化光滑性較好的分段插值，即后面要介紹的樣條插值。2.1分段線性插值分段線性插值在分段

11、插值中，用得較多的是分段線性插值?！径x1】設(shè)在區(qū)間上取個結(jié)點：(14)在區(qū)[]ab1n?01naxxxb??????間上有二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)在上列結(jié)點的值為(15)于是得到[]ab()fx0011()()()nnfxyfxyfxy????個數(shù)據(jù)點。聯(lián)結(jié)相鄰兩點得條線段，它們組成一條折線，把區(qū)間上這條1n?()iixy11()()iiiixyxy??n[]ab折線表示的函數(shù)稱為函數(shù)關(guān)于這個數(shù)據(jù)點的分段插值函數(shù)，記為它有如下性質(zhì)：()fx1n

12、?()Lx(1)可以用分段函數(shù)表示，，在區(qū)間上連續(xù)。()Lx()()iiiLxfxy??[]ab()Lx(2)在第段區(qū)間上的表達式為()Lxi1[]iixx?(16)11111()iiiiiiiiiixxxxLxyyxxxxxxx?????????????由此構(gòu)造插值基函數(shù)：111111[]()[]010iiiiiiiiiiixxxxxxxxxlxxxxinxx????????????????????????其它則1()0ijjilxj