第十三章勒讓德多項(xiàng)式 球函數(shù)

1、第十三章第十三章勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式球函數(shù)（球函數(shù)（13）一、內(nèi)容摘要1冪級數(shù)解法冪級數(shù)解法：就是在某個(gè)任意點(diǎn)的鄰域上，把待求的解表為系數(shù)待定的冪0z級數(shù)，代入方程以逐個(gè)確定系數(shù)。不失一般性，我們討論復(fù)變函數(shù)的線性二??wz階常微分方程的級數(shù)解：????????2200010dwdwpzqzwdzdzwzCwzC?????如果函數(shù)和在點(diǎn)的領(lǐng)域中解析，則稱為方程的常點(diǎn)，如果是()pz??qz0z0z0z函數(shù)或的奇點(diǎn)，則稱為方程的奇點(diǎn)。

2、()pz??qz0z定理定理:如果函數(shù)和在點(diǎn)的鄰域中解析則常微分方程在圓()pz??qz0z0zzR??內(nèi)存在唯一的唯一的滿足相應(yīng)定解條件的解析解解析解。0zzR??既然在常點(diǎn)的鄰域內(nèi)存在唯一的解析解，就可以把它在該鄰域內(nèi)表示為Tayl級數(shù)形式：。????00kkkwzazz?????2勒讓德方程的級數(shù)解勒讓德方程的級數(shù)解:（1）時(shí)的連帶Legendre方程稱為Legendre方程0m?????2221210dydyxxllydxdx?

3、????由冪級數(shù)解法可得的系數(shù)的遞推公式：??0kkkyxax????????????????????21112121kkkkkllklklaaakkkk?????????????這樣階Legendre方程的級數(shù)解是：l????211.2!llllldPxxldx??這一關(guān)系又稱作Rodrigues公式②積分形式：積分形式：??????21111.22llllCzPxdzizx??????A這一積分被稱為Schlāfli積分。（4）Le

4、gendre多項(xiàng)式的生成函數(shù)多項(xiàng)式的生成函數(shù)—母函數(shù)母函數(shù)??2011cos12coslllrPdrr?????????令則上式表明:Legendre多項(xiàng)式正是把關(guān)于函數(shù)在cosx??r2112rxr??附近展開為泰勒級數(shù)的展開系數(shù)；類似地，如果把關(guān)于的函數(shù)以0r?xLegendre多項(xiàng)式為基展開，則展開系數(shù)就是相應(yīng)的的冪函數(shù)。因此我們把這個(gè)r函數(shù)叫做Legendre多項(xiàng)式的母函數(shù)或生成函數(shù)多項(xiàng)式的母函數(shù)或生成函數(shù)。（5）遞推公式遞推公

5、式：??????????111210kkkkPxkxPxkPx?????????????????????????????11121=21kkkkkkkkkkPxPxxPxPxkPxxPxPxxPxkxPxkPx?????????????（6）Legendre多項(xiàng)式的正交關(guān)系多項(xiàng)式的正交關(guān)系可以證明不同階的Legendre多項(xiàng)式相互正交：多項(xiàng)式相互正交：????121lmllmPxPxdxN????其中稱作函數(shù)的模定義為:lN??lPx?